Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2013, Del 1 – Oppgave 13

Uten hjelpemidler – 1 poeng

En bil kjører med farten 60 km/h. På 2,5 h kjører bilen

54 km
90 km
125 km
150 km

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne strekningen bilen kjører når vi kjenner farten og tiden.

Strategi og formel: Vi bruker fartsformelen løst med hensyn på strekning: $s = v \cdot t$ , siden fart er strekning delt på tid, må strekning være fart ganger tid.

Trinnvis utregning:

$v = 60$ km/h, $t = 2{,}5$ h
$s = v \cdot t = 60 \cdot 2{,}5$
$s = 150$ km

Svar: 150 km

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Krysser av for 150 km.
0/1	Krysser av for et annet alternativ.

Sensor-tips

En vanlig feil er å dele i stedet for å gange (60 : 2,5 = 24, som ikke er noen av alternativene): husk at $s = v \cdot t$ , ikke $v : t$ .
Rask sannsynlighetssjekk: på 1 time kjører bilen 60 km, så på 2,5 timer må svaret være mer enn 60 km men mindre enn det dobbelte (120 km) pluss litt til: kun 150 km passer.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2013, Del 1, Oppgave 13

Utdanningsdirektoratet

Vår 2009, Del 1 – Oppgave 7

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Arkimedes fra Syrakus (ca. 287–212 f.Kr.) hjalp kong Hieron å avsløre en gullsmed som hadde brukt for lite gull da han laget kongens krone.

Arkimedes brukte massetettheten til gullet for å avsløre gullsmeden.

Vekten til en gullkrone er 500,01 g. Volumet av kronen er 25,88 cm³.

Hva er massetettheten til gull, målt som g/cm³?

12,29
19,32
25,88
43,47

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne massetettheten til gullet i kronen.

Strategi og formel: Vi bruker tetthetsformelen $\rho = \frac{m}{V}$ : tetthet er masse delt på volum.

Trinnvis utregning:

$m = 500{,}01$ g, $V = 25{,}88$ cm³
$\rho = \frac{m}{V} = \frac{500{,}01}{25{,}88}$
$\rho \approx 19{,}32$ g/cm³

Svar: 19,32 g/cm³

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Krysser av for 19,32.
0/1	Krysser av for et annet alternativ.

Sensor-tips

Alternativet «25,88» er en klassisk felle. Det er volumet, ikke tettheten, satt inn som svar direkte uten å regne.
Tetthetsformelen $\rho = \frac{m}{V}$ har samme struktur som fartsformelen $v = \frac{s}{t}$ : masse/vekt tilsvarer strekning, volum tilsvarer tid.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2009, Del 1, Oppgave 7

Utdanningsdirektoratet

Vår 2016, Del 1 – Oppgave 15

Uten hjelpemidler – 0.5 poeng

Et tog går fra Oslo kl. 22.46. Toget er framme i Trondheim kl. 06.34 morgenen etter.

Da har toget brukt _______ h _______ min

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hvor lang tid toget bruker fra Oslo til Trondheim.

Strategi og formel: Vi regner tiden fram til midnatt og legger til tiden etter midnatt.

Trinnvis utregning:

fra kl. 22.46 til kl. 24.00: $60 - 46 = 14$ min, pluss $1$ time
$1$ h $14$ min
fra kl. 00.00 til kl. 06.34: $6$ h $34$ min
til sammen: $1$ h $14$ min $+ 6$ h $34$ min $= 7$ h $48$ min

Svar: Toget har brukt 7 h 48 min.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 0.5 poeng)

Poeng	Krav
0,5/0,5	7 h 48 min.
0/0,5	Feil tid.

Sensor-tips

Tid regnes i 60-systemet. kl. 22.46 til kl. 06.34 er ikke bare 6 timer og 34 − 46 minutter. Gå via midnatt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2016, Del 1, Oppgave 15

Utdanningsdirektoratet

Høst 2013, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 3 poeng

Espen bruker disse ingrediensene for å bake 4 like store brød:

Ingrediens	Mengde
Hvetemel	1,8 kg
Grovt mel	600 g
Gjær	50 g
Havregryn	150 g
Havrekli	100 g
Olje	100 g
Vann	1,5 L (1,0 L vann veier 1,0 kg)

a) Hvor mye veier ingrediensene til sammen?

En annen dag vil Espen bake 5 brød. Han bruker samme mengde gjær som til 4 brød.

b) Hvor mye av hver ingrediens må Espen ha for å bake disse 5 brødene?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne den samlede vekten av ingrediensene, og mengdene som trengs for 5 brød i stedet for 4.

Strategi og formel: I a) gjør vi alt om til samme enhet og legger sammen. I b) finner vi faktoren fra 4 til 5 brød, $\frac{5}{4} = 1{,}25$ , og ganger alle mengder unntatt gjær.

Trinnvis utregning:

a) gram: $1\ 800 + 600 + 50 + 150 + 100 + 100 = 2\ 800$ g
vann: $1{,}5$ L veier $1{,}5$ kg $= 1\ 500$ g
til sammen: $2\ 800 + 1\ 500 = 4\ 300$ g $= 4{,}3$ kg
b) faktor: $\frac{5}{4} = 1{,}25$
hvetemel: $1{,}8 \cdot 1{,}25 = 2{,}25$ kg
grovt mel: $600 \cdot 1{,}25 = 750$ g
gjær: $50$ g (uendret)
havregryn: $150 \cdot 1{,}25 = 187{,}5$ g
havrekli: $100 \cdot 1{,}25 = 125$ g
olje: $125$ g
vann: $1{,}5 \cdot 1{,}25 = 1{,}875$ L

Svar: a) Ingrediensene veier $4{,}3$ kg til sammen. b) Hvetemel $2{,}25$ kg, grovt mel $750$ g, gjær $50$ g, havregryn $187{,}5$ g, havrekli $125$ g, olje $125$ g og vann $1{,}875$ L.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	a) og b) riktig, med enhetene regnet om og gjær uendret.
2/3	a) riktig og b) delvis riktig, eller a) feil på grunn av enhetene og b) riktig.
1/3	Delvis riktig i én av delene.
0/3	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Husk at vann regnes om fra liter til kilogram (1,0 L veier 1,0 kg) før vi legger sammen i a).
Gjær skal ikke ganges med 1,25. Oppgaven sier at mengden er den samme.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Høst 2013, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2013, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 2 poeng

En flaske munnskyllevann inneholder 300 mL. Live vil blande det ut med vann i forholdet 1 : 3 (1 del munnskyllevann og 3 deler vann).

Hun bruker 40 mL ferdig utblandet munnskyllevann to ganger per dag.

Regn ut hvor mange dager en flaske med munnskyllevann vil vare for Live.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hvor mange dager en flaske munnskyllevann varer, når den blandes ut med vann i forholdet 1 : 3.

Strategi og formel: Vi finner først hvor mye utblandet munnskyllevann en flaske gir, og deler på hvor mye Live bruker per dag.

Trinnvis utregning:

1 del munnskyllevann og 3 deler vann gir 4 deler
utblandet mengde: $4 \cdot 300 = 1\ 200$ mL
bruk per dag: $2 \cdot 40 = 80$ mL
antall dager: $1\ 200 : 80 = 15$

Svar: En flaske vil vare i $15$ dager.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	15 dager med riktig forståelse av blandingsforholdet.
1/2	Riktig utblandet mengde (1 200 mL) eller riktig dagsforbruk (80 mL), men feil svar.
0/2	Ingen riktige delresultater.

Sensor-tips

Blandingsforholdet 1 : 3 gir 4 deler til sammen. Den hele flasken utgjør 1 av disse 4 delene.
Feilen $300 : 80 = 3{,}75$ dager oversetter ikke til utblandet mengde.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2013, Del 2, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Vår 2021, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler – 2 poeng

a) En løpebane på en friidrettsbane er 400 meter.

Cornelia løper 6 runder.

Cornelia løper __________ kilometer.

Philip vil kjøpe en caps til 299 kroner, et par sko til 949 kroner og en t-skjorte til 149 kroner.

b) Han må til sammen betale __________ kroner.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne om meter til kilometer, og finne totalprisen for tre varer.

Strategi og formel: I a) finner vi først antall meter og regner om til kilometer. I b) legger vi sammen prisene.

Trinnvis utregning:

a) $6 \cdot 400 = 2\ 400$ m
$1\ \text{km} = 1\ 000$ m
$2\ 400 : 1\ 000 = 2{,}4$ km
b) $299 + 949 + 149 = 1\ 397$ kr

Svar: a) Cornelia løper $2{,}4$ kilometer. b) Philip må betale $1\ 397$ kroner.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	a) 2,4 km og b) 1 397 kroner.
1/2	Én av delene riktig.
0/2	Ingen riktige svar.

Sensor-tips

Husk å regne om fra meter til kilometer. 2 400 meter er 2,4 km, ikke 24 km.
Det er trygt å legge sammen i to steg: $299 + 149 = 448$ og $448 + 949 = 1\ 397$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2021, Del 1, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave høst 2021, Del 1 – Oppgave 1

Helltunnelen utenfor Trondheim er 4 km lang. En bil kjører i 80 km/h gjennom tunnelen.

Hvor lang tid vil bilen bruke gjennom tunnelen?

A) 2 min
B) 3 min
C) 5 min
D) 20 min

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne tiden bilen bruker gjennom tunnelen.

Strategi og formel: Tid er strekning delt på fart. Vi regner om fra timer til minutter.

Trinnvis utregning:

tid: $\frac{4\ \text{km}}{80\ \text{km/t}} = 0{,}05$ t
$0{,}05 \cdot 60 = 3$ min

Svar: Bilen bruker $3$ minutter (alternativ B).

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	Alternativ B: 3 min.
Feil	Annet alternativ eller ikke besvart.

Sensor-tips

80 km/h betyr at bilen kjører 80 km på én time, og 80 km på 60 min er $\frac{4}{3}$ km per minutt. Da bruker den 3 minutter på 4 km.
Det er raskere å tenke: 1 km tar $\frac{60}{80} = 0{,}75$ min, så 4 km tar 3 min.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Høst 2021, Del 1, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2020, Del 1 – Oppgave 11

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Qusay lager saftis. Han bruker to desiliter saft og seks desiliter vann.

Hva blir blandingsforholdet mellom saft og vann i saftisene til Qusay?

A) 1 : 2
B) 1 : 3
C) 1 : 6
D) 2 : 4

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne blandingsforholdet mellom saft og vann.

Strategi og formel: Vi skriver forholdet 2 dl til 6 dl og forkorter det med en felles faktor.

Trinnvis utregning:

forholdet saft til vann: $2 : 6$
deler begge på 2: $1 : 3$

Svar: Blandingsforholdet er $1 : 3$ (alternativ B).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Alternativ B: 1 : 3.
0/1	Annet alternativ eller ikke besvart.

Sensor-tips

Forholdet 2 : 4 er ikke riktig, selv om begge tallene er mindre. 2 dl saft og 6 dl vann gir 2 : 6.
Forholdet 1 : 3 betyr 1 del saft og 3 deler vann, ikke 3 deler til sammen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2020, Del 1, Oppgave 11

Utdanningsdirektoratet

Vår 2009, Del 1 – Oppgave 22

Uten hjelpemidler – 2 poeng

3 speedbåter har forskjellig fart. Hvilken båt går raskest? Begrunn svaret.

1 knop = 1,852 km/t og 1 m/s = 3,6 km/t

Båt A: 65 knop
Båt B: 100 km/t
Båt C: 30 m/s

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne alle tre fartene om til samme enhet og sammenligne dem.

Strategi og formel: Vi regner om til km/t, siden båt B allerede er oppgitt i det.

Trinnvis utregning:

båt A: $65 \cdot 1{,}852 = 120{,}38$ km/t
båt B: $100$ km/t
båt C: $30 \cdot 3{,}6 = 108$ km/t
$120{,}38 > 108 > 100$

Svar: Båt A går raskest, med $120{,}38$ km/t. Båt C har $108$ km/t, og båt B har $100$ km/t.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Alle tre farter regnet om til samme enhet, og båt A valgt med begrunnelse.
1/2	To av fartene regnet riktig om, eller riktig svar uten tilstrekkelig begrunnelse.
0/2	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Sammenlign alltid tall i samme enhet. 65, 100 og 30 kan ikke sammenlignes direkte.
1 knop er 1,852 km/t, så 65 knop er langt mer enn 65 km/t.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2009, Del 1, Oppgave 22

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 1 – Oppgave 14

Michael Jordan (USA) var kanskje den beste basketballspilleren i verden da han spilte i den amerikanske basketballserien (NBA).

Hans høyde er 6 fot og 6 tommer.

1 amerikansk fot = 30,48 cm

1 amerikansk tomme = 2,54 cm

Omtrent hvor høy er Michael Jordan målt i meter?

Svar: Omtrent _________________ meter.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne om fot og tommer til meter.

Strategi og formel: Vi regner om fot og tommer til centimeter hver for seg, legger sammen, og regner om til meter.

Trinnvis utregning:

6 fot: $6 \cdot 30{,}48 = 182{,}88$ cm
6 tommer: $6 \cdot 2{,}54 = 15{,}24$ cm
til sammen: $182{,}88 + 15{,}24 = 198{,}12$ cm
i meter: $198{,}12 : 100 = 1{,}9812$ m

Svar: Michael Jordan er omtrent $1{,}98$ meter høy, altså ca. 2 meter.

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	Omtrent 1,98 m eller 2 m.
Feil	Annet svar.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 2 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
Husk at 100 cm er 1 m. $198{,}12$ cm er ikke $19{,}8$ m.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 1, Oppgave 14

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 2 – Oppgave 307

Du har kanskje hørt på nyhetene at oljeprisen har vært for eksempel 108,33 dollar per fat (10. september 2008). Et fat olje er 159 liter olje. 159 liter er det samme som 42 amerikanske gallon.

I Norge fyller vi oljen på sylinderformede beholdere som rommer 200 liter. Beholderne fylles bare med 159 liter olje.

a) Hvor mange gallon er 200 liter?

Diameteren på beholderen som rommer 200 liter, er ca. 55 cm.

b) Hvor høy er da beholderen?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne om 200 liter til gallon, og finne høyden til en sylinder med volum 200 liter.

Strategi og formel: I a) bruker vi at 159 liter er 42 gallon. I b) bruker vi volumformelen for en sylinder og løser for høyden.

Trinnvis utregning:

a) $159$ L $= 42$ gallon
$1$ L $= \frac{42}{159}$ gallon
$200$ L $= 200 \cdot \frac{42}{159} = 52{,}8$ gallon
b) $200$ L $= 200$ dm $^3 = 200\ 000$ cm $^3$
radius: $55 : 2 = 27{,}5$ cm
$V = \pi r^2 h$
$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{200\ 000}{\pi \cdot 27{,}5^2} = \frac{200\ 000}{2\ 375{,}8} = 84{,}2$ cm

Svar: a) 200 liter er $52{,}8$ gallon. b) Beholderen er omtrent $84$ cm høy.

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	a) ca. 52,8 gallon og b) ca. 84 cm.
Delvis	Én del riktig, eller riktig metode med enhetsfeil.
Feil	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 2 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
1 liter er 1 dm $^3$ , og 1 dm $^3$ er 1 000 cm $^3$ . Derfor er 200 liter lik 200 000 cm $^3$ .
Husk at diameteren er 55 cm, så radien er halvparten, 27,5 cm.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 2, Oppgave 307

Utdanningsdirektoratet

Vår 2012, Del 1 – Oppgave 8

Uten hjelpemidler – 1 poeng

En hårspray selges i tre ulike størrelser:

Størrelse	Mini	Normal	Biggie
Innhold	100 mL	400 mL	600 mL

«Normal» koster 140 kroner.

Hva koster «Biggie» og «Mini» dersom forholdet mellom pris og antall milliliter skal være likt for de tre hårsprayene?

Mini koster ___________ kroner.
Biggie koster ___________ kroner.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne prisene til Mini og Biggie når prisen per milliliter er den samme som for Normal.

Strategi og formel: Vi finner prisen per milliliter for Normal og ganger med innholdet i de to andre størrelsene.

Trinnvis utregning:

pris per mL for Normal: $140 : 400 = 0{,}35$ kr
Mini: $100 \cdot 0{,}35 = 35$ kr
Biggie: $600 \cdot 0{,}35 = 210$ kr
alternativt: Mini er en fjerdedel av Normal, $140 : 4 = 35$ , og Biggie er halvannen gang så stor, $140 \cdot 1{,}5 = 210$

Svar: Mini koster $35$ kroner, og Biggie koster $210$ kroner.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Begge priser riktige: 35 kroner og 210 kroner.
0/1	Bare én pris riktig, eller feil svar.

Sensor-tips

Innholdet (100 mL, 400 mL og 600 mL) står under flaskene i originaloppgaven, og er skrevet som tabell her.
Likt forhold mellom pris og mengde betyr proporsjonalitet: dobler du mengden, dobles prisen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2012, Del 1, Oppgave 8

Utdanningsdirektoratet

Vår 2009, Del 1 – Oppgave 10

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Flytoget starter fra Asker og går til Oslo Lufthavn Gardermoen. Rutetabellen er gyldig fra 6. januar 2008.

Fra	Asker	Sandvika	Lysaker	Skøyen	Nationaltheatret	Oslo S	Lillestrøm	Oslo Lufthavn
Første avgang	0418	0424	0431	0435	0439	0445	0455	0507
Minutter over hver hele time	38	44	51	55	59	05	15	27
						15*		34*
	58	04	11	15	19	25	35	47
						35*		54*
	18	24	31	35	39	45	55	07
						55*		14*
Siste avgang	2338	2344	2351	2355	2359	0005	0015	0027

Avgang hvert 10. minutt mandag–fredag kl 0615–2235, søndag kl 1215–2315. Lørdager samt perioden 6. juli til 3. august avganger hvert 20. minutt, dvs. avganger med stjerne bortfaller.

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne ved å sette ett kryss for hver påstand.

Påstand	Sann	Usann
Flytoget har første avgang fra Asker kl. 04:38.
Flytoget bruker 49 minutter fra Asker til Oslo Lufthavn.
Når flytoget starter i Asker 04:58, er toget på Skøyen 05:19.
For å være på Oslo Lufthavn kl. 05:47, må du ta toget senest kl. 05:11 fra Lysaker.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal avgjøre om fire påstander om Flytogets rutetabell er sanne eller usanne.

Strategi og formel: Vi leser av rutetabellen kolonne for kolonne, og følger samme tog fra stasjon til stasjon i samme rad.

Trinnvis utregning:

1) første avgang fra Asker er 0418, ikke 0438
usann
2) første tog: Asker 0418 og Oslo Lufthavn 0507
$5:07 - 4:18 = 49$ minutter
sann
3) toget som går fra Asker :58, er på Skøyen :15, altså 05:15, ikke 05:19 (05:19 er Nationaltheatret)
usann
4) toget som kommer til Oslo Lufthavn :47, går fra Lysaker :11, altså 05:11, og neste tog fra Lysaker (05:31) kommer for sent
sann

Svar: Påstand 1 er usann, påstand 2 er sann, påstand 3 er usann og påstand 4 er sann.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Alle fire påstander riktig vurdert.
1/2	Tre av fire riktig.
0/2	To eller færre riktige.

Sensor-tips

Rutetabellen er gjenskapt som tabell etter Flytogets offentlige rutetider i originaloppgaven (fakta, ikke bilde).
Følg alltid samme rad: avgangstidene i en rad hører til samme tog.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2009, Del 1, Oppgave 10

Utdanningsdirektoratet

Vår 2011, Del 1 – Oppgave 18

Uten hjelpemidler – 1 poeng

Målestokken på kartet er 1 : 10 000. Avstanden fra A til B på kartet er 2 cm.

Hvor langt (i luftlinje) er det fra A til B i virkeligheten?

Svar: ______________ m

Figuren er gjenskapt av Numisum etter Udirs original.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne om en avstand på kartet til virkelig avstand.

Strategi og formel: Målestokken 1 : 10 000 betyr at 1 cm på kartet er 10 000 cm i virkeligheten. Vi ganger og regner om til meter.

Trinnvis utregning:

$2 \cdot 10\ 000 = 20\ 000$ cm
$1$ m $= 100$ cm
$20\ 000 : 100 = 200$ m

Svar: Avstanden fra A til B i virkeligheten er $200$ m.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Svar mellom 190 m og 210 m, med riktig bruk av målestokken.
0/1	Annet svar eller ikke besvart.

Sensor-tips

Poenget er ikke selve målingen, men å kunne bruke målestokken. Udirs sensorveiledning godkjente svar mellom 190 og 210 meter fordi eleven måler selv.
Husk å regne om fra centimeter til meter. 20 000 cm er 200 m, ikke 2 000 m.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2011, Del 1, Oppgave 18

Utdanningsdirektoratet

Vår 2010, Del 1 – Oppgave 10

Uten hjelpemidler – 0.5 poeng

Avstanden fra Oslo til Bergen er ca. 300 km i luftlinje. På kartet er avstanden mellom Oslo og Bergen 2 cm.

Hva er målestokken for dette kartet?

A) 1 : 30 000
B) 1 : 150 000
C) 1 : 3 000 000
D) 1 : 15 000 000

Figuren er gjenskapt av Numisum etter Udirs original.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne målestokken når vi kjenner avstanden på kartet og i virkeligheten.

Strategi og formel: Vi regner 300 km om til centimeter og sammenligner med 2 cm på kartet.

Trinnvis utregning:

$300$ km $= 300 \cdot 100\ 000 = 30\ 000\ 000$ cm
forhold: $2 : 30\ 000\ 000$
delt på 2: $1 : 15\ 000\ 000$

Svar: Målestokken er $1 : 15\ 000\ 000$ (alternativ D).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 0.5 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Alternativ D: 1 : 15 000 000.
0/1	Annet alternativ eller ikke besvart.

Sensor-tips

Kartet i originaloppgaven viser Sør-Norge med Oslo og Bergen markert. Avstanden på kartet (ca. 2 cm) er oppgitt her, siden den ellers måtte måles med linjal på utskriften.
1 km er 100 000 cm. Regn om til samme enhet før du forkorter forholdet.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2010, Del 1, Oppgave 10

Utdanningsdirektoratet

Vår 2010, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 4 poeng

Med størrelsen på en mobilskjerm mener vi lengden av diagonalen på skjermen, målt i tommer. Se diagonalen $d$ på figuren.

a) Mobiltelefonen på figuren er avbildet i målestokk 1:2. Diagonalen $d$ på bildet er 4,1 cm. Regn ut den virkelige lengden av diagonalen på skjermen. Oppgi lengden i centimeter med én desimal.
b) Gjør om den virkelige lengden av diagonalen fra centimeter til tommer. 1 tomme = 2,54 cm.

En annen mobiltelefon har en kvadratisk skjerm. Diagonalen på denne skjermen er 2,5 tommer.

c) Finn arealet av skjermen. Oppgi svaret i cm $^2$ .

Figuren er gjenskapt av Numisum etter Udirs original.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne virkelig diagonal i centimeter og tommer, og arealet av en kvadratisk skjerm.

Strategi og formel: Målestokk 1:2 betyr at virkeligheten er dobbelt så stor som bildet. I c) bruker vi Pytagoras’ setning, eller at arealet av et kvadrat er halve diagonalen ganger diagonalen.

Trinnvis utregning:

a) $4{,}1 \cdot 2 = 8{,}2$ cm
b) $8{,}2 : 2{,}54 = 3{,}2$ tommer
c) diagonalen i cm: $2{,}5 \cdot 2{,}54 = 6{,}35$ cm
siden $s$ i kvadratet: $s^2 + s^2 = 6{,}35^2$
$2s^2 = 40{,}32$
$s^2 = 20{,}16$
arealet er $s^2 = 20{,}2$ cm $^2$

Svar: a) Diagonalen er $8{,}2$ cm. b) Det er $3{,}2$ tommer. c) Arealet er $20{,}2$ cm $^2$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	a), b) og c) riktig med utregning.
3/4	To deler riktige og en delvis.
2/4	To deler riktige, eller alle delvis.
1/4	Én del riktig.
0/4	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Diagonalen på bildet (4,1 cm) er målt på det utskrevne bildet i originaloppgaven og er oppgitt her. Udirs elever målte selv, så små avvik ble godtatt.
Målestokk 1:2 gjør at den virkelige skjermen er dobbelt så stor som på bildet, ikke halvparten.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2010, Del 2, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2010, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 4 poeng

Teano (500-tallet f.Kr.) var gift med den berømte Pytagoras. Teano er en av de første kvinnelige matematikerne vi vet om. Hun tilhørte den pytagoreiske skolen i Hellas og skrev om «det gylne snitt».

Det gylne snitt er et forholdstall som vi finner i naturen, kunsten, arkitekturen og i teknologi og design. Dette forholdstallet er tilnærmet lik 1,618.

I et gyllent rektangel er $\dfrac{\text{lengde}}{\text{bredde}} = 1{,}618$

a) Ta mål og avgjør hvilken av iPod-ene nedenfor som har en form som likner mest på et gyllent rektangel.

	iPod nano	iPod classic	iPod touch
Bredde på bildet	3,0 cm	3,6 cm	3,6 cm
Lengde på bildet	4,1 cm	6,1 cm	6,4 cm

b) Et kredittkort er et tilnærmet gyllent rektangel. Bildet av kredittkortet er forminsket. Den korteste siden på kredittkortet er 5,4 cm.

Regn ut den lengste siden på kredittkortet.

Figuren er gjenskapt av Numisum etter Udirs original.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hvilken iPod som er nærmest et gyllent rektangel, og regne ut lengste side på et kredittkort.

Strategi og formel: I a) deler vi lengde på bredde for hver iPod og sammenligner med 1,618. I b) ganger vi den korteste siden med 1,618.

Trinnvis utregning:

a) nano: $4{,}1 : 3{,}0 = 1{,}37$
classic: $6{,}1 : 3{,}6 = 1{,}69$
touch: $6{,}4 : 3{,}6 = 1{,}78$
nærmest $1{,}618$ er $1{,}69$
b) lengde $= 1{,}618 \cdot 5{,}4 = 8{,}74$ cm

Svar: a) iPod classic likner mest på et gyllent rektangel (forholdet er $1{,}69$ ). b) Den lengste siden er ca. $8{,}7$ cm.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	a) iPod classic med utregnede forhold og b) 8,7 cm.
3/4	a) riktig og b) delvis riktig, eller omvendt.
2/4	Riktig metode, men feil i begge deler.
1/4	Delvis riktig i én del.
0/4	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Målene på iPod-ene er målt på bildene i originaloppgaven. De er oppgitt her, siden et digitalt bilde ikke kan måles med linjal.
Forholdet lengde delt på bredde skal sammenlignes med 1,618. Den iPod-en som er nærmest, vinner, selv om ingen er helt nøyaktig.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2010, Del 2, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Vår 2009, Del 1 – Oppgave 21

Uten hjelpemidler – 1 poeng

En arkitekt har tegnet et hus som i virkeligheten er 6 meter høyt fra bakken til toppen av det høyeste taket (pipen er ikke regnet med). På tegningen er huset 6 cm høyt.

Finn målestokken som arkitekten har brukt.

Svar: _____________

Figuren er gjenskapt av Numisum etter Udirs original.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne målestokken når vi kjenner høyden på tegningen og i virkeligheten.

Strategi og formel: Vi regner 6 m om til centimeter og setter opp forholdet mellom tegningens mål og virkelig mål.

Trinnvis utregning:

$6$ m $= 600$ cm
forhold: $6 : 600$
delt på 6: $1 : 100$

Svar: Målestokken er $1 : 100$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Målestokk 1 : 100.
0/1	Annet svar eller ikke besvart.

Sensor-tips

Høyden på tegningen i originaloppgaven er målt til omtrent 6 cm. Den er oppgitt her, siden et digitalt bilde ikke kan måles med linjal.
Målestokken skrives alltid som tegning : virkelighet, og mål i samme enhet.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2009, Del 1, Oppgave 21

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 2 – Oppgave 209

Tusenfryd leier en tomt. Fornøyelsesparken kan bruke et lysegrønt område samt tre mindre områder merket 1, 2 og 3. På kartet over tomten er målestokklinjen 200 m, og hele området er omtrent 600 m bredt og 1 250 m langt, med form som et uregelmessig mangekant.

Bruk målestokken på kartet og gjør et overslag over hvor mange mål (dekar) Tusenfryd kan bruke.

Figur i originaloppgaven: Kartet over tomten som Tusenfryd leier (kilde: Tusenfryd AS, brukt etter tillatelse) vises i originaloppgaven (MAT0010, eksempeloppgave 1 til eksamen våren 2009, Del 2, oppgave 9). Kartet er ikke tatt med her. Se originalen hos Utdanningsdirektoratet

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal gjøre et overslag over arealet av tomten i dekar.

Strategi og formel: Vi erstatter den uregelmessige formen med et rektangel som har omtrent like stort areal, og regner om til dekar. 1 dekar er 1 000 m $^2$ .

Trinnvis utregning:

omtrent areal: $600 \cdot 1\ 250 = 750\ 000$ m $^2$
1 dekar $= 1\ 000$ m $^2$
$750\ 000 : 1\ 000 = 750$ dekar
tomten har skrå sider, så arealet er litt mindre enn rektangelet, men de tre små områdene kommer i tillegg

Svar: Tusenfryd kan bruke omtrent $750$ dekar, altså ca. 0,75 km $^2$ .

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	Overslag mellom 650 og 850 dekar med fornuftig begrunnelse.
Delvis	Riktig metode, men feil omregning til dekar.
Feil	Ingen fornuftig fremgangsmåte.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 1 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her. Svaret er Numisums eget overslag fra kartet, ikke Udirs fasit.
1 dekar er 1 000 m $^2$ (for eksempel 20 m ganger 50 m). Husk at 1 km $^2$ er 1 000 dekar.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 2, Oppgave 209