Vurdere om en modell er gyldig

En modell er en FORENKLING, ikke virkeligheten. Derfor er neste spørsmål alltid: for hvilke verdier gir den mening? En modell for antall solgte iskrem som funksjon av temperatur er ubrukelig ved $-40°C$ , og en befolkningsmodell med eksponentiell vekst gir etter hvert flere mennesker enn det er plass til. Å oppgi GYLDIGHETSOMRÅDET, hvilke $x$ -verdier modellen skal brukes for: er en del av svaret, ikke en ekstra kommentar. For å sjekke hvor god modellen faktisk er, sammenligner du med virkelige, målte verdier: AVVIKET er forskjellen mellom det du observerer og det modellen sier, $\text{avvik} = \text{observert} - \text{modell}$ . Et lite avvik betyr at modellen treffer godt; et stort eller systematisk voksende avvik betyr at modellen bør justeres eller byttes ut.

Gyldighetsområde

$x \in [x_{\min}, x_{\max}]$

Avvik

$\text{avvik} = \text{observert} - \text{modell}$

En modell kan være god i midten og meningsløs i ytterkantene

Tips

Spør alltid: hva skjer når $x$ blir veldig stor, og når $x = 0$ ? Modeller ryker nesten alltid i ytterkantene, ikke i midten.
Negative verdier for antall, tid eller lengde er et varsel: enten er gyldighetsområdet for vidt, eller så er modellen feil.

Eksempel: Når slutter modellen å gjelde?

En modell for høyden til en plante er $h(t) = 2t + 5$ cm, der $t$ er antall uker. Hva sier modellen etter $100$ uker, og er det rimelig?

Løsning:

Modellen $h(t) = 2t + 5$ testes ved $t = 100$
$h(100) = 2 \cdot 100 + 5$
$2 \cdot 100 = 200$ , og $200 + 5 = 205$ cm
modellen sier altså at planten er over to meter høy etter to år, og fortsetter å vokse $2$ cm hver uke i all framtid
ingen plante vokser lineært for alltid; veksten flater ut. Modellen er brukbar bare for små $t$ , ikke for $t = 100$ .

Modellen testet ved ulike t
t (uker)	h(t) (cm)	Rimelig?
0	5	ja
4	13	ja
100	205	nei

Alternativ forklaring/metode: Regn ut avviket punkt for punkt

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sammenlign med målte data

I stedet for bare å vurdere modellen med sunn fornuft, sett opp målte verdier ved siden av modellens verdier og regn ut differansen for hvert punkt. Er avvikene små og tilfeldig fordelt over og under, treffer modellen. Vokser avvikene systematisk i én retning, har modellen feil form, og da hjelper det ikke å justere tallene, du må bytte modelltype.

Målt høyde mot modellen h(t) = 2t + 5
t (uker)	Målt (cm)	Modell (cm)	Avvik
0	5	5	0
4	12	13	-1
20	35	45	-10

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Er en modell det samme som virkeligheten?

Vis fasit

En modell forenkler for å kunne regne
nei, den er en forenkling

L-42Hva kaller vi $x$ -verdiene der modellen skal brukes?

Vis fasit

Området modellen gjelder for kalles gyldighetsområdet

L-43En modell gir $-3$ solgte billetter. Hva er galt?

Vis fasit

Modellen gir -3 billetter, men antall er aldri negativt
vi er utenfor gyldighetsområdet

Middels(3)

M-41 $h(t) = 2t + 5$ . Hva er $h(0)$ , og hva betyr det?

Vis fasit

Sett t = 0 i 2t + 5
0 + 5 = 5
5 cm, altså høyden ved start

M-42Modellen $P(t) = 100 \cdot 1{,}2^t$ beskriver en bestand. Hva blir $P(50)$ omtrent?

Vis fasit

$100 \cdot 1{,}2^{50}$
$1{,}2^{50} \approx 9\,100$
$100 \cdot 9\,100 \approx$ $910\,000$

M-43Modellen $P(t) = 100 \cdot 1{,}2^t$ gir $P(50) \approx 910\ 000$ . Er svaret realistisk for en bestand i et lite område?

Vis fasit

910 000 individer i et lite område er umulig
nei, modellen bryter sammen

Vanskelig(3)

V-41En modell treffer godt for $x$ mellom $0$ og $10$ , men bommer stadig mer over $10$ . Hva bør du gjøre?

Vis fasit

Modellen treffer bare mellom 0 og 10
oppgi gyldighetsområdet som 0 til 10

V-42Målt verdi er $48$ , modellen gir $45$ . Hva er avviket?

Vis fasit

Avvik = observert

-

modell

= 48 - 45 =

3

V-43Alle avvikene er positive og vokser med $x$ . Hva forteller det?

Vis fasit

Systematisk voksende avvik i samme retning
modelltypen er feil, ikke bare konstantene