NumiSum

Vurdere om en modell er gyldig

En modell er en FORENKLING, ikke virkeligheten. Derfor er neste spørsmål alltid: for hvilke verdier gir den mening? En modell for antall solgte iskrem som funksjon av temperatur er ubrukelig ved −40°C-40°C, og en befolkningsmodell med eksponentiell vekst gir etter hvert flere mennesker enn det er plass til. Å oppgi GYLDIGHETSOMRÅDET – hvilke xx-verdier modellen skal brukes for – er en del av svaret, ikke en ekstra kommentar. For å sjekke hvor god modellen faktisk er, sammenligner du med virkelige, målte verdier: AVVIKET er forskjellen mellom det du observerer og det modellen sier, avvik=observert−modell\text{avvik} = \text{observert} - \text{modell}. Et lite avvik betyr at modellen treffer godt; et stort eller systematisk voksende avvik betyr at modellen bør justeres eller byttes ut.

Gyldighetsområde

x∈[xmin⁡,xmax⁡]x \in [x_{\min}, x_{\max}]

Avvik

avvik=observert−modell\text{avvik} = \text{observert} - \text{modell}

xy-2-1123456789101112-2020(5, 25)
En modell kan være god i midten og meningsløs i ytterkantene

Tips

  • Spør alltid: hva skjer når xx blir veldig stor, og når x=0x = 0? Modeller ryker nesten alltid i ytterkantene, ikke i midten.
  • Negative verdier for antall, tid eller lengde er et varsel: enten er gyldighetsområdet for vidt, eller så er modellen feil.

Eksempel: Når slutter modellen å gjelde?

En modell for høyden til en plante er h(t)=2t+5h(t) = 2t + 5 cm, der tt er antall uker. Hva sier modellen etter 100100 uker, og er det rimelig?

Modellen testet ved ulike t
t (uker)h(t) (cm)Rimelig?
05ja
413ja
100205nei
Løsning:
  1. Modellen h(t)=2t+5h(t) = 2t + 5 testes ved t=100t = 100
  2. h(100)=2⋅100+5h(100) = 2 \cdot 100 + 5
  3. 2⋅100=2002 \cdot 100 = 200, og 200+5=205200 + 5 = 205 cm
  4. modellen sier altså at planten er over to meter høy etter to år, og fortsetter å vokse 22 cm hver uke i all framtid
  5. ingen plante vokser lineært for alltid; veksten flater ut. Modellen er brukbar bare for små tt, ikke for t=100t = 100.
Alternativ forklaring/metode: Regn ut avviket punkt for punkt

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sammenlign med målte data

I stedet for bare å vurdere modellen med sunn fornuft, sett opp målte verdier ved siden av modellens verdier og regn ut differansen for hvert punkt. Er avvikene små og tilfeldig fordelt over og under, treffer modellen. Vokser avvikene systematisk i én retning, har modellen feil form – og da hjelper det ikke å justere tallene, du må bytte modelltype.

Målt høyde mot modellen h(t) = 2t + 5
t (uker)Målt (cm)Modell (cm)Avvik
0550
41213-1
203545-10

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Er en modell det samme som virkeligheten?

Vis fasit
BeregningResultat
En modell forenkler for å kunne regne
nei, den er en forenkling
  1. En modell forenkler for å kunne regne
  2. nei, den er en forenkling

L-22Hva kaller vi xx-verdiene der modellen skal brukes?

Vis fasit
BeregningResultat
Området modellen gjelder for kalles gyldighetsområdet

Området modellen gjelder for kalles gyldighetsområdet

L-23En modell gir −3-3 solgte billetter. Hva er galt?

Vis fasit
BeregningResultat
Modellen gir -3 billetter, men antall er aldri negativt
vi er utenfor gyldighetsområdet
  1. Modellen gir -3 billetter, men antall er aldri negativt
  2. vi er utenfor gyldighetsområdet
Middels(3)

M-21h(t)=2t+5h(t) = 2t + 5. Hva er h(0)h(0), og hva betyr det?

Vis fasit
BeregningResultat
Sett t0 i 2t + 5
0 + 55
5 cm, altså høyden ved start
  1. Sett t = 0 i 2t + 5
  2. 0 + 5 = 5
  3. 5 cm, altså høyden ved start

M-22Modellen P(t)=100⋅1,2tP(t) = 100 \cdot 1{,}2^t beskriver en bestand. Hva blir P(50)P(50) omtrent?

Vis fasit
BeregningResultat
100 gange 1,2 opphøyd i 50
1,2^50 er ca. 9 100
100 gange 9 100ca. 910 000
  1. 100 gange 1,2 opphøyd i 50
  2. 1,2^50 er ca. 9 100
  3. 100 gange 9 100 = ca. 910 000

M-23Er svaret over realistisk for en bestand i et lite område?

Vis fasit
BeregningResultat
910 000 individer i et lite område er umulig
nei, modellen bryter sammen
  1. 910 000 individer i et lite område er umulig
  2. nei, modellen bryter sammen
Vanskelig(3)

V-21En modell treffer godt for xx mellom 00 og 1010, men bommer stadig mer over 1010. Hva bør du gjøre?

Vis fasit
BeregningResultat
Modellen treffer bare mellom 0 og 10
oppgi gyldighetsområdet som 0 til 10
  1. Modellen treffer bare mellom 0 og 10
  2. oppgi gyldighetsområdet som 0 til 10

V-22Målt verdi er 4848, modellen gir 4545. Hva er avviket?

Vis fasit
BeregningResultat
Avvik = observert minus modell = 48 - 453

Avvik = observert minus modell = 48 - 45 = 3

V-23Alle avvikene er positive og vokser med xx. Hva forteller det?

Vis fasit
BeregningResultat
Systematisk voksende avvik i samme retning
modelltypen er feil, ikke bare konstantene
  1. Systematisk voksende avvik i samme retning
  2. modelltypen er feil, ikke bare konstantene