Lage en modell fra en situasjon

Ikke alle situasjoner er lineære. Tre typer dekker det meste i 1P: LINEÆR ( $y = ax + b$ ) når noe endrer seg med et fast BELØP per enhet, PROPORSJONAL ( $y = ax$ ) når det i tillegg ikke finnes noe fastledd, og EKSPONENTIELL ( $y = b \cdot v^x$ ) når noe endrer seg med en fast PROSENT per periode. Nøkkelspørsmålet er derfor: øker det med like mange kroner hver gang, eller med like mange prosent? Renter, prisstigning og verdifall på bil er prosent, altså eksponentielt.

Lineær

$y = ax + b$

Proporsjonal

$y = ax$

Eksponentiell

$y = b \cdot v^x$

L(t) = 500 + 200t – konstantleddet 500 er der grafen krysser y-aksen

Tips

Fast beløp per enhet gir lineær modell; fast prosent per periode gir eksponentiell. Ordet «prosent» i oppgaveteksten er nesten alltid et signal.
Skriv modellen med en setning under: « $t$ er antall år, $V$ er verdi i kroner, modellen gjelder for $0 \le t \le 10$ ».

Eksempel: Velge riktig modelltype

En bil er kjøpt for $300\ 000$ kr og taper $15\ \%$ av verdien hvert år. Sett opp en modell for verdien $V$ etter $t$ år, og finn verdien etter $4$ år.

Løsning:

Vi har startverdi $300\ 000$ kr og et tap på $15\ \%$ per år
tapet er oppgitt i PROSENT, ikke i kroner, så modellen er eksponentiell, ikke lineær
vekstfaktoren for et fall på $15\ \%$ er $1 - 0{,}15 = 0{,}85$
modellen blir $V(t) = 300\ 000 \cdot 0{,}85^t$ , der $t$ er antall år
sett inn $t = 4$ : $0{,}85^4 = 0{,}52200625$
gang med startverdien: $300\ 000 \cdot 0{,}52200625$ . Etter fire år er bilen verdt ca. $156\ 602$ kr.

Prosent gir eksponentiell, ikke lineær
År	Eksponentiell (riktig)	Lineær (feil)
1	255 000 kr	255 000 kr
2	216 750 kr	210 000 kr
3	ca. 184 238 kr	165 000 kr
4	ca. 156 602 kr	120 000 kr

Alternativ forklaring/metode: Bygg modellen rad for rad

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regneark, én rad per periode

Skriv startverdien i første rad, og i neste rad formelen «raden over ganget med $0{,}85$ ». Dra formelen nedover. Du får samme svar som med potensen, men ser hvert år for seg, og du oppdager selv at verditapet i kroner blir MINDRE for hvert år, fordi prosenten regnes av en stadig mindre verdi. Det er nettopp den observasjonen som skiller en eksponentiell modell fra en lineær, og den er vanskelig å se i formelen alene.

Rad for rad i regnearket
Rad	Verdi	Tap dette året
0	300 000 kr	–
1	255 000 kr	45 000 kr
2	216 750 kr	38 250 kr, mindre enn år 1

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hvilken modelltype passer når noe øker med et fast BELØP?

Vis fasit

Fast beløp per enhet
samme tillegg hver gang
lineær modell

L-32Hvilken modelltype passer når noe endrer seg med en fast PROSENT?

Vis fasit

Fast prosent per periode
vekstfaktor opphøyes
eksponentiell modell

L-33Hva er vekstfaktoren ved $15\ \%$ verdifall?

Vis fasit

Fall på 15 prosent
$1 - 0{,}15 =$ 0,85

Middels(3)

M-31 $50\ 000$ kr vokser $4\ \%$ i året. Sett opp modellen.

Vis fasit

50 000 kr og 4 prosent vekst
vekstfaktor 1,04
V(t) = $50\,000 \cdot 1{,}04^{t}$

M-32 $50\ 000$ kr vokser $4\ \%$ i året, så $V(t) = 50\ 000 \cdot 1{,}04^t$ . Hva er verdien etter $3$ år?

Vis fasit

50 000 kr og $1{,}04^{3} = 1{,}125$
$50\,000 \cdot 1{,}125 =$ ca. 56 243 kr

M-33En strømpris på $80$ øre stiger $5$ øre i året. Lineær eller eksponentiell?

Vis fasit

80 øre og 5 øre i året er et fast beløp, ikke prosent
lineær

Vanskelig(3)

V-31En bil til $300\ 000$ kr taper $15\ \%$ i året. Verdi etter $4$ år?

Vis fasit

300 000 kr og vekstfaktor 0,85 i 4 år
$0{,}85^{4} = 0{,}522$
$300\,000 \cdot 0{,}522 =$ ca. 156 602 kr

V-32Hvorfor gir lineær modell feil svar for bilen over?

Vis fasit

15 prosent av 300 000 er 45 000, men 15 prosent av 255 000 er bare 38 250
tapet i kroner synker, så en fast kronesum blir feil

V-33Er $y = 22x$ lineær, proporsjonal eller begge deler?

Vis fasit

y = 22x har form y = ax + b med b = 0
linja går gjennom origo
begge deler