Eksamensoppgaver – Regneuttrykk og modellering (1P)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 4 poeng

Knut og Sabrina jobber med tallfølgen

2, 5, 11, 23, 47, ...

Knut: «Jeg tror jeg har oppdaget et mønster, og jeg er nokså sikker på at alle leddene bortsett fra det første er oddetall.»

Sabrina: «Har du funnet en formel som kan gi deg et hvilket som helst ledd i tallfølgen?»

Knut: «Nei, det klarte jeg ikke, men jeg er nokså sikker på at jeg har funnet et mønster som gjør at jeg alltid kan finne det neste leddet i tallfølgen. Jeg er helt sikker på at det bare blir oddetall videre.»

Ta utgangspunkt i det Knut og Sabrina sier og

beskriv et mønster for tallfølgen
argumenter for at alle leddene i tallfølgen bortsett fra det første er oddetall

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal beskrive et mønster som lar oss finne det neste leddet i tallfølgen, og argumentere generelt for at alle ledd unntatt det første er oddetall.

Strategi og formel: Se på differansene mellom påfølgende ledd for å finne mønsteret Knut leter etter. For argumentasjonen: finn et generelt uttrykk for det $n$ -te leddet, og vis at dette uttrykket alltid gir et oddetall for $n \geq 2$ .

Trinnvis utregning:

Differanser: $5-2=3$ , $11-5=6$ , $23-11=12$ , $47-23=24$
hver differanse er DOBBELT så stor som forrige ( $3,6,12,24,...$ )
neste ledd: $47 + 24 \cdot 2 = 47+48=95$
Generell formel (kan bekreftes for $n=1,...,5$ ): $a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$
for $n \geq 2$ er $2^{n-1}$ et PARTALL, så $3 \cdot 2^{n-1}$ er også et partall, og et partall minus 1 er alltid et oddetall

Svar: Mønsteret: differansen mellom leddene DOBLES for hvert nytt ledd ( $3, 6, 12, 24, ...$ ), som gir det neste leddet 95. Siden $a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1$ og $2^{n-1}$ er et partall for alle $n \geq 2$ , er $3 \cdot 2^{n-1}$ også et partall – og et partall minus 1 er alltid et oddetall, uansett hvor langt ut i følgen vi går.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Et korrekt beskrevet mønster (differansene dobles) som lar Knut finne neste ledd, OG en generell argumentasjon (ikke bare sjekk av noen få ledd) for at alle ledd unntatt det første er oddetall.
2–3/4	Riktig mønster beskrevet, men argumentasjonen for oddetall sjekker bare de gitte leddene enkeltvis i stedet for å vise det generelt for et VILKÅRLIG ledd.
0–1/4	Mønsteret er ikke funnet (f.eks. bare listet opp differansene uten å se doblingen), eller argumentasjonen er sirkulær («det er oddetall fordi Knut sa det»).

Sensor-tips

Godta ALLE korrekte generelle argumenter for oddetall-egenskapen, ikke bare formelen $a_n=3\cdot2^{n-1}-1$ – et argument basert på at «hvert ledd er (forrige ledd) · 2 + 1, og et partall ganger 2 pluss 1 er alltid oddetall» er like gyldig og krever ikke at eleven finner den lukkede formelen først.
Sjekk om eleven skiller mellom å VISE mønsteret for de gitte fem leddene (nødvendig, men ikke tilstrekkelig) og å ARGUMENTERE for at det gjelder for ALLE fremtidige ledd (det oppgaven faktisk spør etter) – dette er selve poenget med oppgaven, ikke en formalitet.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1P matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 1 – Oppgave 8

Uten hjelpemidler – 4 poeng

Nora bestemmer seg for å kjøpe en bøtte og fylle den med godteri. Hun ser at det er en lineær sammenheng mellom antall hektogram godteri hun fyller i bøtta, og prisen hun må betale for bøtta med godteriet.

Nedenfor ser du en modell som illustrerer dette, med de to punktene $(5, 90)$ og $(20, 270)$ avmerket på grafen (antall hektogram godteri langs den vannrette aksen, pris for bøtta med godteri i kroner langs den loddrette aksen).

Modellen kan uttrykkes på formen $G(x) = ax + b$ .

a) Bestem $a$ og $b$ .

b) Gi en praktisk tolkning av $a$ og $b$ i denne modellen.

c) Hvor mye koster en bøtte med 8 hg godteri?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne konstantene $a$ og $b$ i den lineære modellen ut fra de to punktene på grafen (a), tolke dem praktisk (b), og bruke modellen til å finne prisen for en bestemt mengde godteri (c).

Strategi og formel: $a$ er stigningstallet mellom de to oppgitte punktene, og $b$ finnes ved å sette inn ett av punktene i uttrykket $G(x)=ax+b$ etter at $a$ er bestemt. For c) settes $x=8$ inn i det ferdige uttrykket.

Trinnvis utregning:

$a = \dfrac{270-90}{20-5} = \dfrac{180}{15} = 12$
$90 = 12 \cdot 5 + b \Rightarrow b = 90-60 = 30$
$G(x) = 12x+30$
c) $G(8) = 12 \cdot 8 + 30 = 96+30 = 126$

Svar: a) $a =$ 12 og $b =$ 30. b) $a=12$ betyr at prisen øker med 12 kr for hver ekstra hektogram godteri, og $b=30$ er en fast grunnpris for selve bøtta (uavhengig av hvor mye godteri den fylles med). c) En bøtte med 8 hg godteri koster 126 kr.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Riktig $a$ og $b$ funnet fra punktene, en praktisk tolkning som kobler $a$ til PRIS PER HEKTOGRAM og $b$ til en FAST GRUNNPRIS, og riktig svar i c).
2–3/4	Riktig $a$ og $b$ , men tolkningen i b) er upresis (f.eks. « $a$ er stigningstallet» uten en praktisk forklaring i kontekst av godteri/pris), eller en regnefeil i c).
0–1/4	$a$ og $b$ byttet om, eller feil metode for å finne dem (f.eks. bruker bare ett punkt uten å regne ut stigningstallet riktig).

Sensor-tips

b) tester om eleven forstår $a$ og $b$ som annet enn abstrakte bokstaver – en tolkning som bare gjentar definisjonen (« $a$ er stigningstallet») uten å knytte den til «kroner per hektogram» bør ikke få full uttelling.
Sjekk at eleven bruker RIKTIG punkt til å finne $b$ (eller like gjerne det andre punktet – begge gir samme svar) – en vanlig feil er å sette inn $x$ og $y$ omvendt i $G(x)=ax+b$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1P matematikk, Vår 2025, Del 1, Oppgave 8