Argumentere for når modellen er gyldig

En modell er en FORENKLING, og kompetansemålet krever at du sier hvor langt forenklingen holder. Tre spørsmål avdekker det meste: hva skjer ved $x = 0$ , hva skjer når $x$ blir stor, og finnes det verdier som er umulige i virkeligheten? Bilmodellen over sier at bilen aldri blir helt verdiløs, uansett hvor mange år som går, i praksis blir den vraket. Lønnsmodellen gjelder ikke for negative timer, og neppe for $t = 100$ heller. Å oppgi GYLDIGHETSOMRÅDET er en del av svaret, ikke en fotnote.

Gyldighetsområde

$x_{\min} \le x \le x_{\max}$

Avvik

$\text{avvik} = \text{observert} - \text{modell}$

Tre kontrollspørsmål
Spørsmål	Eksempel	Konsekvens
Hva ved x = 0?	L(0) = 500 kr	rimelig
Hva ved stor x?	L(100) = 20 500 kr	urimelig vaktlengde
Umulige verdier?	negative timer	gyldig for 0 ≤ t ≤ 12

Tips

Negative verdier for antall, tid, lengde eller pris er et varsel: gyldighetsområdet er for vidt, eller modellen er feil type.
Sammenlign modellen med et par faktiske målinger hvis du har dem. Vokser avvikene systematisk i én retning, er det modelltypen som er feil. Ikke tallene.

Eksempel: Argumentere for gyldighetsområdet

Lønnsmodellen $L(t) = 500 + 200t$ gjelder for en ekstravakt. Vurder hva modellen sier ved $t = 0$ , $t = 8$ og $t = 100$ , og oppgi et gyldighetsområde.

Løsning:

Vi tester modellen ved $t = 0$ : $L(0) = 500$ kr
det er oppmøtetillegget, og rimelig
ved $t = 8$ : $L(8) = 500 + 1\ 600 = 2\ 100$ kr
en normal arbeidsdag, også rimelig
ved $t = 100$ : $L(100) = 500 + 20\ 000 = 20\ 500$ kr
men $100$ timer er over fire døgn sammenhengende, som verken er lovlig eller mulig
modellen er altså riktig regnet, men meningsløs der. Et rimelig gyldighetsområde er $0 \le t \le 12$ timer.

Modellen testet i ytterkantene
t	L(t)	Rimelig?
0	500 kr	ja
8	2 100 kr	ja
100	20 500 kr	nei

Alternativ forklaring/metode: Regn avviket for hvert målepunkt

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sammenlign med faktiske tall

Har du reelle tall, for eksempel tre lønnsslipper eller tre årlige takstverdier: sett modellens verdi ved siden av den observerte og regn differansen for hver. Er avvikene små og fordelt både over og under, treffer modellen. Vokser de systematisk i samme retning, har modellen feil FORM, og da hjelper det ikke å justere konstantene. Du må bytte modelltype. Metoden krever data, men den gir et argument som er sterkere enn «det virker rimelig».

Avvik mellom modell og observasjon
Målepunkt	Modell	Observert	Avvik
1	500 kr	505 kr	5 kr
2	700 kr	698 kr	−2 kr, lite og usystematisk

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Er en modell det samme som virkeligheten?

Vis fasit

En modell forenkler for å kunne regne
nei, den er en forenkling

L-42Hva kaller vi de $x$ -verdiene modellen skal brukes for?

Vis fasit

Området modellen gjelder for kalles gyldighetsområdet

L-43En modell gir $-4$ deltakere. Hva er galt?

Vis fasit

Modellen gir -4 deltakere, men antall er aldri negativt
vi er utenfor gyldighetsområdet

Middels(3)

M-41 $L(t) = 500 + 200t$ . Hva er $L(8)$ ? Svar i kroner.

Vis fasit

Sett t = 8 i 500 + 200t
$200 \cdot 8 = 1\,600$
500 + 1 600 = 2 100 kr

M-42Hva sier $L(t) = 500 + 200t$ ved $t = 100$ , og er det rimelig?

Vis fasit

Sett t = 100
$200 \cdot 100 = 20\,000$
500 + 20 000 = 20 500 kr
riktig regnet, men 100 timer er umulig

M-43Bilmodellen $V(t) = 300\ 000 \cdot 0{,}85^t$ ved $t = 40$ . Hva er problemet?

Vis fasit

Sett t = 40
$0{,}85^{40}$ er ca. 0,0015
ca. 450 kr
modellen når aldri null, men i praksis vrakes bilen

Vanskelig(3)

V-41Alle avvikene mellom modell og målinger er positive og vokser. Hva betyr det?

Vis fasit

Systematisk voksende avvik i 1 retning
modelltypen er feil, ikke bare konstantene

V-42Observert verdi er $2\ 250$ kr, modellen gir $2\ 100$ kr. Hva er avviket? Svar i kroner.

Vis fasit

Observert 2 250 kr og modell 2 100 kr
avvik = observert minus modell
$2\,250 - 2\,100 =$ 150 kr

V-43Hvorfor holder det ikke å skrive «modellen er $L(t) = 500 + 200t$ » som svar?

Vis fasit

Modellen 500 + 200t er bare én av tre deler
kompetansemålet krever to ting til
definer variablene med enhet, og oppgi gyldighetsområdet