NumiSum

Regne med rasjonale uttrykk

Reglene er de samme som for tallbrøker. Ved multiplikasjon ganger du teller med teller og nevner med nevner. Ved divisjon snur du den siste brøken og ganger. Ved addisjon og subtraksjon må du først finne fellesnevner. Faktoriser gjerne før du ganger. Da ser du med én gang hva som kan forkortes bort.

Multiplikasjon

ab⋅cd=acbd\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Divisjon

ab:cd=ab⋅dc\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Tips

  • Faktoriser FØR du ganger sammen. Ganger du ut først, får du et rot av et uttrykk du må faktorisere på nytt for å forkorte.
  • Ved addisjon: fellesnevneren er produktet av nevnerne hvis de ikke har noe felles. Har de en felles faktor, holder det med den minste felles.
  • Gjør det samme med tall først. Er du usikker på regelen, gjør samme regnestykke med tall: 23⋅94=1812=32\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}, der du kunne strøket 33 mot 99 og 22 mot 44 på forhånd. Nøyaktig samme framgangsmåte gjelder med bokstaver. Forskjellen er bare at du må faktorisere for å FINNE de felles faktorene.

Eksempel: Multiplisere to rasjonale uttrykk

Regn ut x+1x⋅x2x2−1\frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2}{x^2 - 1}.

Løsning:
  1. Vi faktoriserer det som kan faktoriseres: x2−1=(x+1)(x−1)x^2 - 1 = (x+1)(x-1)
  2. sett opp produktet: (x+1)⋅x2x⋅(x+1)(x−1)\frac{(x+1) \cdot x^2}{x \cdot (x+1)(x-1)}
  3. stryk felles faktor (x+1)(x+1)
  4. stryk én xx mot x2x^2, så det står igjen xx i telleren. Svaret er xx−1\frac{x}{x-1}.
Faktorer før og etter stryking
TellerNevner
Før(x+1)⋅x2(x+1) \cdot x^2x⋅(x+1)(x−1)x \cdot (x+1)(x-1)
Stryk(x+1), én x(x+1), x
Etterx(x-1)
Alternativ forklaring/metode: Gang i kryss for å løse en likning

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Kryssmultiplikasjon

Skal du LØSE en likning på formen AB=CD\frac{A}{B} = \frac{C}{D}, i stedet for å regne ut et produkt, går det raskere å gange i kryss: A⋅D=B⋅CA \cdot D = B \cdot C. For x+13=5x−1\frac{x+1}{3} = \frac{5}{x -1}: gang i kryss, (x+1)(x−1)=3⋅5(x+1)(x-1) = 3 \cdot 5 → gang ut venstre side med konjugatsetningen: x2−1=15x^2 - 1 = 15 → x2=16x^2 = 16 → x=4x = 4 eller x=−4x = -4. Sjekk til slutt at ingen av løsningene gjør en nevner null. Her er x≠1x \neq 1, og begge løsningene er gyldige.

Kryssmultiplikasjon på (x+1)/3 = 5/(x-1)
StegUttrykk
Gang i kryss(x+1)(x−1)=3⋅5(x+1)(x-1)=3 \cdot 5
Gang ut venstre sidex2−1=15x^2-1=15
Flytt konstantenx2=16x^2=16
Ta kvadratrotenx=4x=4 eller x=−4x=-4

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Regn ut 2x⋅x3\frac{2}{x} \cdot \frac{x}{3}.

Vis fasit
  1. 2⋅xx⋅3\frac{2 \cdot x}{x \cdot 3}
  2. stryk xx
  3. 23\frac{2}{3}

L-32Regn ut x2⋅4x\frac{x}{2} \cdot \frac{4}{x}.

Vis fasit
  1. x⋅42⋅x\frac{x \cdot 4}{2 \cdot x}
  2. stryk xx, og 4:2=24 : 2 = 2
  3. 22

L-33Regn ut 1x:1x\frac{1}{x} : \frac{1}{x}.

Vis fasit
  1. 1x:1x\frac{1}{x} : \frac{1}{x}
  2. å dele på seg selv
  3. snu og gang
  4. 11
Middels(3)

M-31Regn ut x+12⋅4x+1\frac{x+1}{2} \cdot \frac{4}{x+1}.

Vis fasit
  1. (x+1)⋅42⋅(x+1)\frac{(x+1) \cdot 4}{2 \cdot (x+1)}
  2. stryk (x+1)(x+1), 4:2=24 : 2 = 2
  3. 22

M-32Regn ut 1x+1x\frac{1}{x} + \frac{1}{x}.

Vis fasit
  1. 1x+1x\frac{1}{x} + \frac{1}{x}
  2. samme nevner
  3. legg sammen tellerne: 1+1=21 + 1 = 2
  4. 2x\frac{2}{x}

M-33Regn ut x3:x6\frac{x}{3} : \frac{x}{6}.

Vis fasit
  1. x3:x6\frac{x}{3} : \frac{x}{6}
  2. snu: x3⋅6x\frac{x}{3} \cdot \frac{6}{x}
  3. stryk xx, 6:3=26 : 3 = 2
  4. 22
Vanskelig(3)

V-31Regn ut 1x+12\frac{1}{x} + \frac{1}{2}.

Vis fasit
  1. 1x+12\frac{1}{x} + \frac{1}{2}
  2. fellesnevner 2x2x
  3. 22x+x2x\frac{2}{2x} + \frac{x}{2x}
  4. 2+x2x\frac{2 + x}{2x}

V-32Regn ut x2−1x⋅1x+1\frac{x^2 - 1}{x} \cdot \frac{1}{x + 1}.

Vis fasit
  1. x2−1=(x+1)(x−1)x^2 - 1 = (x+1)(x-1)
  2. (x+1)(x−1)x(x+1)\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+1)}
  3. stryk (x+1)(x+1)
  4. x−1x\frac{x - 1}{x}

V-33Regn ut 2x−1x\frac{2}{x} - \frac{1}{x}.

Vis fasit
  1. 2x−1x\frac{2}{x} - \frac{1}{x}
  2. samme nevner
  3. 2−1=12 - 1 = 1
  4. 1x\frac{1}{x}