NumiSum

Regne med rasjonale uttrykk

Reglene er de samme som for tallbrøker. Ved multiplikasjon ganger du teller med teller og nevner med nevner. Ved divisjon snur du den siste brøken og ganger. Ved addisjon og subtraksjon må du først finne fellesnevner. Faktoriser gjerne før du ganger – da ser du med én gang hva som kan forkortes bort.

Multiplikasjon

ab⋅cd=acbd\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Divisjon

ab:cd=ab⋅dc\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Tips

  • Faktoriser FØR du ganger sammen. Ganger du ut først, får du et rot av et uttrykk du må faktorisere på nytt for å forkorte.
  • Ved addisjon: fellesnevneren er produktet av nevnerne hvis de ikke har noe felles. Har de en felles faktor, holder det med den minste felles.

Eksempel: Multiplisere to rasjonale uttrykk

Regn ut x+1x⋅x2x2−1\frac{x+1}{x} \cdot \frac{x^2}{x^2 - 1}.

Faktorer før og etter stryking
TellerNevner
Før(x+1) * x²x * (x+1)(x-1)
Stryk(x+1), én x(x+1), x
Etterx(x-1)
Løsning:
  1. Vi faktoriserer det som kan faktoriseres: x2−1=(x+1)(x−1)x^2 - 1 = (x+1)(x-1)
  2. sett opp produktet: (x+1)⋅x2x⋅(x+1)(x−1)\frac{(x+1) \cdot x^2}{x \cdot (x+1)(x-1)}
  3. stryk felles faktor (x+1)(x+1)
  4. stryk én xx mot x2x^2, så det står igjen xx i telleren. Svaret er xx−1\frac{x}{x-1}.
Alternativ forklaring/metode: Gjør det samme med tall først

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Analogien til tallbrøker

Er du usikker på regelen, gjør samme regnestykke med tall: 23⋅94=1812=32\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}, der du kunne strøket 33 mot 99 og 22 mot 44 på forhånd. Nøyaktig samme framgangsmåte gjelder med bokstaver – forskjellen er bare at du må faktorisere for å FINNE de felles faktorene.

Tallbrøk: 2/3 · 9/4
StegUttrykk
Uten stryking23⋅94=1812\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{18}{12}
Med stryking (3 mot 9, 2 mot 4)11⋅32\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2}
Svar32\frac{3}{2}
Alternativ forklaring/metode: Gang i kryss for å løse en likning

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Kryssmultiplikasjon

Skal du LØSE en likning på formen AB=CD\frac{A}{B} = \frac{C}{D}, i stedet for å regne ut et produkt, går det raskere å gange i kryss: A⋅D=B⋅CA \cdot D = B \cdot C. For x+13=5x−1\frac{x+1}{3} = \frac{5}{x -1}: gang i kryss, (x+1)(x−1)=3⋅5(x+1)(x-1) = 3 \cdot 5 → gang ut venstre side med konjugatsetningen: x2−1=15x^2 - 1 = 15 → x2=16x^2 = 16 → x=4x = 4 eller x=−4x = -4. Sjekk til slutt at ingen av løsningene gjør en nevner null – her er x≠1x \neq 1, og begge løsningene er gyldige.

Kryssmultiplikasjon på (x+1)/3 = 5/(x-1)
StegUttrykk
Gang i kryss(x+1)(x−1)=3⋅5(x+1)(x-1)=3 \cdot 5
Gang ut venstre sidex2−1=15x^2-1=15
Flytt konstantenx2=16x^2=16
Ta kvadratrotenx=4x=4 eller x=−4x=-4

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Regn ut 2x⋅x3\frac{2}{x} \cdot \frac{x}{3}.

Vis fasit
BeregningResultat
2 gange x over x gange 3
stryk x
2 delt på 3
  1. 2 gange x over x gange 3
  2. stryk x
  3. 2 delt på 3

L-22Regn ut x2⋅4x\frac{x}{2} \cdot \frac{4}{x}.

Vis fasit
BeregningResultat
x gange 4 over 2 gange x
stryk x, og 4 : 22
2
  1. x gange 4 over 2 gange x
  2. stryk x, og 4 : 2 = 2
  3. 2

L-23Regn ut 1x:1x\frac{1}{x} : \frac{1}{x}.

Vis fasit
BeregningResultat
1 delt på x, delt på 1 delt på x
å dele på seg selv
snu og gang
1
  1. 1 delt på x, delt på 1 delt på x
  2. å dele på seg selv
  3. snu og gang
  4. 1
Middels(3)

M-21Regn ut x+12⋅4x+1\frac{x+1}{2} \cdot \frac{4}{x+1}.

Vis fasit
BeregningResultat
(x+1) gange 4 over 2 gange (x+1)
stryk (x+1), 4 : 22
2
  1. (x+1) gange 4 over 2 gange (x+1)
  2. stryk (x+1), 4 : 2 = 2
  3. 2

M-22Regn ut 1x+1x\frac{1}{x} + \frac{1}{x}.

Vis fasit
BeregningResultat
1 delt på x pluss 1 delt på x
samme nevner
legg sammen tellerne: 1 + 12
2 delt på x
  1. 1 delt på x pluss 1 delt på x
  2. samme nevner
  3. legg sammen tellerne: 1 + 1 = 2
  4. 2 delt på x

M-23Regn ut x3:x6\frac{x}{3} : \frac{x}{6}.

Vis fasit
BeregningResultat
x over 3 delt på x over 6
snu: x/3 gange 6/x
stryk x, 6 : 32
2
  1. x over 3 delt på x over 6
  2. snu: x/3 gange 6/x
  3. stryk x, 6 : 3 = 2
  4. 2
Vanskelig(3)

V-21Regn ut 1x+12\frac{1}{x} + \frac{1}{2}.

Vis fasit
BeregningResultat
1 over x pluss 1 over 2
fellesnevner 2x
2/(2x) + x/(2x)
(2 + x) delt på 2x
  1. 1 over x pluss 1 over 2
  2. fellesnevner 2x
  3. 2/(2x) + x/(2x)
  4. (2 + x) delt på 2x

V-22Regn ut x2−1x⋅1x+1\frac{x^2 - 1}{x} \cdot \frac{1}{x + 1}.

Vis fasit
BeregningResultat
x² - 1(x+1)(x-1)
(x+1)(x-1) over x(x+1)
stryk (x+1)
(x - 1) delt på x
  1. x² - 1 = (x+1)(x-1)
  2. (x+1)(x-1) over x(x+1)
  3. stryk (x+1)
  4. (x - 1) delt på x

V-23Regn ut 2x−1x\frac{2}{x} - \frac{1}{x}.

Vis fasit
BeregningResultat
2 over x minus 1 over x
samme nevner
2 - 11
1 delt på x
  1. 2 over x minus 1 over x
  2. samme nevner
  3. 2 - 1 = 1
  4. 1 delt på x