Asymptoter

En asymptote er en linje grafen nærmer seg mer og mer, men aldri treffer. En VERTIKAL asymptote står der nevneren er null – der er funksjonen ikke definert, og grafen skyter mot uendelig. En HORISONTAL asymptote beskriver hva som skjer når $x$ blir svært stor eller svært liten. For $f(x) = \frac{a}{x-h} + k$ er asymptotene $x = h$ og $y = k$ .

Asymptoter

$f(x) = \frac{a}{x-h} + k \Rightarrow x = h, \; y = k$

f(x) = 1/(x-2) + 1

Tips

Vertikal asymptote finner du ved å sette NEVNEREN lik null. Det er samme verdi som utelates fra definisjonsmengden.
Grafen kan aldri krysse en vertikal asymptote, men den KAN i noen tilfeller krysse en horisontal asymptote.

Eksempel: Finne asymptotene

Finn asymptotene til $f(x) = \frac{1}{x - 2} + 1$ .

Verdier når x vokser
x	1/(x-2)	f(x)
12	0,1	1,1
102	0,01	1,01
1 002	0,001	1,001
stor x	→ 0	→ 1

Løsning:

Vi finner den vertikale først: sett nevneren lik null, $x - 2 = 0$
det gir $x = 2$ , som er den vertikale asymptoten
for den horisontale ser vi hva som skjer når $x$ blir stor: brøken $\frac{1}{x-2}$ nærmer seg $0$
da nærmer hele funksjonen seg $0 + 1 = 1$ . Asymptotene er $x = 2$ og $y = 1$ .

Alternativ forklaring/metode: Sett inn store tall og se hva som skjer

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Tabell i stedet for grenseverdi

Formelle grenseverdier kommer først i R1/S1. I 1T holder det å sette inn stadig større tall og se hvor verdiene samler seg: $f(12) = 1,1$ , $f(102) = 1,01$ , $f(1 002) = 1,001$ – de nærmer seg $1$ uten å nå det. Samme triks fungerer for negative $x$ , og gir en konkret følelse av hva en asymptote faktisk er.

f(x) = (x-1)/(x-2), verdier for store x
x	f(x)
12	1,1
102	1,01
1 002	1,001

Alternativ forklaring/metode: Splitt opp brøken for å se asymptotene direkte

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Polynomoppsplitting (delbrøk-lignende)

Er $f(x)$ gitt som én rett brøk $\frac{P(x)}{Q(x)}$ uten at $k+\frac{a}{x-h}$ -formen er synlig, kan du dele opp telleren slik at nevneren går jevnt opp i en del av den. For $f(x) = \frac{x+3}{x-2}$ : skriv telleren om, $x + 3 = (x-2) + 5$ → del hvert ledd på $x-2$ : $f(x) = \frac{x-2}{x-2} + \frac{5}{x-2} = 1 + \frac{5}{x-2}$ . Nå står funksjonen på formen $k + \frac{a}{x-h}$ , og du kan lese av begge asymptotene direkte uten å teste en eneste stor $x$ -verdi.

Splitt (x+3)/(x-2)
Steg	Uttrykk
Skriv telleren om	$x+3=(x-2)+5$
Del hvert ledd på (x-2)	$\frac{x-2}{x-2}+\frac{5}{x-2}$
Forenkle første brøk	$1+\frac{5}{x-2}$
Les av asymptotene	x = 2, y = 1

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hvor er den vertikale asymptoten til $f(x) = \frac{1}{x}$ ?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Nevneren i 1/x er x
sett nevner lik null
x = 0

Nevneren i 1/x er x
sett nevner lik null
x = 0

L-32Hvor er den vertikale asymptoten til

f(x) = \frac{1}{x - 5}

Vis fasit

Beregning	Resultat
Nevneren x - 5 lik null
x = 5

Nevneren x - 5 lik null
x = 5

L-33Hva er den horisontale asymptoten til

f(x) = \frac{1}{x}

Vis fasit

Beregning	Resultat
1 delt på en stor x nærmer seg 0
y = 0

1 delt på en stor x nærmer seg 0
y = 0

Middels(3)

M-31Finn asymptotene til

f(x) = \frac{1}{x - 3} + 2

Vis fasit

Beregning	Resultat
Nevner x - 3 lik null gir x	3
brøken nærmer seg 0, så f nærmer seg 2
x = 3 og y = 2

Nevner x - 3 lik null gir x = 3
brøken nærmer seg 0, så f nærmer seg 2
x = 3 og y = 2

M-32Finn asymptotene til

f(x) = \frac{2}{x + 1} - 4

Vis fasit

Beregning	Resultat
Nevner x + 1 lik null gir x	-1
brøken nærmer seg 0, så f nærmer seg -4
x = -1 og y = -4

Nevner x + 1 lik null gir x = -1
brøken nærmer seg 0, så f nærmer seg -4
x = -1 og y = -4

M-33Kan grafen krysse en vertikal asymptote?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Der er funksjonen ikke definert i det hele tatt
nei, grafen kan aldri krysse den

Der er funksjonen ikke definert i det hele tatt
nei, grafen kan aldri krysse den

Vanskelig(3)

V-31Hva er definisjonsmengden til

f(x) = \frac{1}{x - 2} + 1

Vis fasit

Beregning	Resultat
Nevner x - 2 lik null gir x	2
samme verdi som asymptoten
alle x unntatt 2

Nevner x - 2 lik null gir x = 2
samme verdi som asymptoten
alle x unntatt 2

V-32For

f(x) = \frac{1}{x - 2} + 1

: er

f(1 002)

større eller mindre enn 1?

Vis fasit

Beregning	Resultat
1 delt på 1 000 er et lite positivt tall
1 pluss noe positivt
litt større enn 1

1 delt på 1 000 er et lite positivt tall
1 pluss noe positivt
litt større enn 1

V-33Hvorfor har

f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}

to vertikale asymptoter?

Vis fasit

Beregning	Resultat
x² - 4	0
(x+2)(x-2)	0
to nullpunkt i nevneren
to vertikale asymptoter, x = 2 og x = -2

x² - 4 = 0
(x+2)(x-2) = 0
to nullpunkt i nevneren
to vertikale asymptoter, x = 2 og x = -2