Asymptoter

En asymptote er en linje grafen nærmer seg mer og mer, men aldri treffer. En VERTIKAL asymptote står der nevneren er null, der er funksjonen ikke definert, og grafen skyter mot uendelig. En HORISONTAL asymptote beskriver hva som skjer når $x$ blir svært stor eller svært liten. For $f(x) = \frac{a}{x-h} + k$ er asymptotene $x = h$ og $y = k$ .

Asymptoter

$f(x) = \frac{a}{x-h} + k \Rightarrow x = h, \; y = k$

f(x) = 1/(x-2) + 1

Tips

Vertikal asymptote finner du ved å sette NEVNEREN lik null. Det er samme verdi som utelates fra definisjonsmengden.
Grafen kan aldri krysse en vertikal asymptote, men den KAN i noen tilfeller krysse en horisontal asymptote.

Eksempel: Finne asymptotene

Finn asymptotene til $f(x) = \frac{1}{x - 2} + 1$ .

Løsning:

Vi finner den vertikale først: sett nevneren lik null, $x - 2 = 0$
det gir $x = 2$ , som er den vertikale asymptoten
for den horisontale ser vi hva som skjer når $x$ blir stor: brøken $\frac{1}{x-2}$ nærmer seg $0$
da nærmer hele funksjonen seg $0 + 1 = 1$ . Asymptotene er $x = 2$ og $y = 1$ .

Verdier når x vokser
x	1/(x-2)	f(x)
12	0,1	1,1
102	0,01	1,01
1 002	0,001	1,001
stor x	→ 0	→ 1

Alternativ forklaring/metode: Sett inn store tall og se hva som skjer

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Tabell i stedet for grenseverdi

Formelle grenseverdier kommer først i R1/S1. I 1T holder det å sette inn stadig større tall og se hvor verdiene samler seg: $f(12) = 1{,}1$ , $f(102) = 1{,}01$ , $f(1\ 002) = 1{,}001$ . De nærmer seg $1$ uten å nå det. Samme triks fungerer for negative $x$ , og gir en konkret følelse av hva en asymptote faktisk er.

f(x) = (x-1)/(x-2), verdier for store x
x	f(x)
12	1,1
102	1,01
1 002	1,001

Alternativ forklaring/metode: Splitt opp brøken for å se asymptotene direkte

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Polynomoppsplitting (delbrøk-lignende)

Er $f(x)$ gitt som én rett brøk $\frac{P(x)}{Q(x)}$ uten at $k+\frac{a}{x-h}$ -formen er synlig, kan du dele opp telleren slik at nevneren går jevnt opp i en del av den. For $f(x) = \frac{x+3}{x-2}$ : skriv telleren om, $x + 3 = (x-2) + 5$ → del hvert ledd på $x-2$ : $f(x) = \frac{x-2}{x-2} + \frac{5}{x-2} = 1 + \frac{5}{x-2}$ . Nå står funksjonen på formen $k + \frac{a}{x-h}$ , og du kan lese av begge asymptotene direkte uten å teste en eneste stor $x$ -verdi.

Splitt (x+3)/(x-2)
Steg	Uttrykk
Skriv telleren om	$x+3=(x-2)+5$
Del hvert ledd på (x-2)	$\frac{x-2}{x-2}+\frac{5}{x-2}$
Forenkle første brøk	$1+\frac{5}{x-2}$
Les av asymptotene	x = 2, y = 1

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hvor er den vertikale asymptoten til $f(x) = \frac{1}{x}$ ?

Vis fasit

Nevneren i 1/x er x
sett nevner lik null
x = 0

L-42Hvor er den vertikale asymptoten til

f(x) = \frac{1}{x - 5}

Vis fasit

Nevneren x - 5 lik null
x = 5

L-43Hva er den horisontale asymptoten til

f(x) = \frac{1}{x}

Vis fasit

$\frac{1}{x}$ for stor $x$ nærmer seg $0$
$y = 0$

Middels(3)

M-41Finn asymptotene til $f(x) = \frac{1}{x - 3} + 2$ .

Vis fasit

Nevner x - 3 lik null gir x = 3
brøken nærmer seg 0, så f nærmer seg 2
x = 3 og y = 2

M-42Finn asymptotene til $f(x) = \frac{2}{x + 1} - 4$ .

Vis fasit

Nevner x + 1 lik null gir x = -1
brøken nærmer seg 0, så f nærmer seg -4
x = -1 og y = -4

M-43Kan grafen krysse en vertikal asymptote?

Vis fasit

Der er funksjonen ikke definert i det hele tatt
nei, grafen kan aldri krysse den

Vanskelig(3)

V-41Hva er definisjonsmengden til $f(x) = \frac{1}{x - 2} + 1$ ?

Vis fasit

Nevner x - 2 lik null gir x = 2
samme verdi som asymptoten
alle x unntatt 2

V-42For $f(x) = \frac{1}{x - 2} + 1$ : er $f(1\ 002)$ større eller mindre enn 1?

Vis fasit

$\frac{1}{1\,000}$ er et lite positivt tall
$1 +$ noe positivt
litt større enn $1$

V-43Hvorfor har $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$ to vertikale asymptoter?

Vis fasit

x² - 4 = 0
(x+2)(x-2) = 0
to nullpunkt i nevneren
to vertikale asymptoter, x = 2 og x = -2