NumiSum

Forkorte rasjonale uttrykk

For å forkorte må BÅDE teller og nevner være skrevet som et produkt. Faktoriser først, og stryk deretter faktorer som står i begge. x2−9x−3=(x+3)(x−3)x−3=x+3\frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x+3)(x-3)}{x-3} = x+3. Det du IKKE kan gjøre er å stryke enkeltledd: x+3x\frac{x+3}{x} blir aldri 33, fordi xx i telleren er et ledd, ikke en faktor.

Forkorting

a⋅cb⋅c=ab\frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b}

Tips

  • Faktoriser ALLTID før du forkorter. Uten produktform er det ingenting å stryke.
  • Du kan bare stryke hele faktorer, aldri ledd. Test med tall om du er usikker: 2+32=2,5\frac{2+3}{2} = 2{,}5, ikke 33.
  • Brøkstreken virker som en usynlig parentes rundt telleren: 2+32\frac{2+3}{2} betyr (2+3):2(2+3):2. Nevneren deler HELE telleren, altså begge leddene: 22+32=1+1,5=2,5\frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 1 + 1{,}5 = 2{,}5. Derfor kan du ikke stryke bare ett av leddene.
  • Sett inn et tall før og etter. Har du forkortet riktig, må det opprinnelige og det forkortede uttrykket gi samme verdi. For x2−4x2+2x\frac{x^2-4}{x^2+2x} med x=4x = 4: original gir 1224=0,5\frac{12}{24} = 0{,}5, og x−2x\frac{x-2}{x} gir 24=0,5\frac{2}{4} = 0{,}5 → like. En feilaktig «forkorting» av ledd ville gitt ulike tall, og avsløres umiddelbart av denne testen.
  • Kontroller i CAS. Forenkle((x^2-9)/(x-3)) gir x+3x+3. CAS viser ikke at x=3x = 3 må utelates, så husk definisjonsmengden selv.

Eksempel: Forkorte ved å faktorisere

Forkort x2−4x2+2x\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x}.

Løsning:
  1. Vi faktoriserer teller og nevner hver for seg. Telleren er en differanse av kvadrater: x2−4=(x+2)(x−2)x^2 - 4 = (x+2)(x-2)
  2. nevneren har felles faktor xx: x2+2x=x(x+2)x^2 + 2x = x(x+2)
  3. nå står begge som produkt: (x+2)(x−2)x(x+2)\frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}
  4. stryk den felles faktoren (x+2)(x+2). Svaret er x−2x\frac{x-2}{x}.
Faktorisering før forkorting
DelFaktorisertFelles faktor
Teller(x+2)(x-2)(x+2)
Nevnerx(x+2)(x+2)
Resultat(x-2)/x

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Forkort 2xx\frac{2x}{x}.

Vis fasit
  1. 2xx\frac{2x}{x}
  2. xx er felles faktor i teller og nevner
  3. 22

L-22Forkort x2x\frac{x^2}{x}.

Vis fasit
  1. x2x\frac{x^2}{x}
  2. stryk én xx
  3. xx

L-23Forkort 6x3\frac{6x}{3}.

Vis fasit
  1. 6x3\frac{6x}{3}
  2. 6:3=26 : 3 = 2
  3. 2x2x
Middels(3)

M-21Forkort x2−9x−3\frac{x^2 - 9}{x - 3}.

Vis fasit
  1. x2−9=(x+3)(x−3)x^2 - 9 = (x+3)(x-3)
  2. (x+3)(x−3)x−3\frac{(x+3)(x-3)}{x - 3}
  3. stryk (x−3)(x-3)
  4. x+3x + 3

M-22Forkort x2−1x+1\frac{x^2 - 1}{x + 1}.

Vis fasit
  1. x2−1=(x+1)(x−1)x^2 - 1 = (x+1)(x-1)
  2. (x+1)(x−1)x+1\frac{(x+1)(x-1)}{x + 1}
  3. stryk (x+1)(x+1)
  4. x−1x - 1

M-23Forkort 3x+6x+2\frac{3x + 6}{x + 2}.

Vis fasit
  1. 3x+6=3(x+2)3x + 6 = 3(x+2)
  2. 3(x+2)x+2\frac{3(x+2)}{x + 2}
  3. stryk (x+2)(x+2)
  4. 33
Vanskelig(3)

V-21Kan x+3x\frac{x + 3}{x} forkortes til 3? Begrunn.

Vis fasit
  1. x + 3 er en SUM, ikke et produkt
  2. ingenting å stryke
  3. nei, uttrykket kan ikke forkortes

V-22Forkort x2−5x+6x−2\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}.

Vis fasit
  1. x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)
  2. (x−2)(x−3)x−2\frac{(x-2)(x-3)}{x - 2}
  3. stryk (x−2)(x-2)
  4. x−3x - 3

V-23Forkort 2x2−8x+2\frac{2x^2 - 8}{x + 2}.

Vis fasit
  1. 2x2−8=2(x+2)(x−2)2x^2 - 8 = 2(x+2)(x-2)
  2. 2(x+2)(x−2)x+2\frac{2(x+2)(x-2)}{x + 2}
  3. stryk (x+2)(x+2)
  4. 2(x−2)2(x - 2)