Eksamensoppgaver – Rasjonale uttrykk og funksjoner (1T)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler – 2 poeng

En funksjon $f$ er gitt ved

$f(x) = \dfrac{12x - 3}{2x + 1}$

Bestem likningene for eventuelle asymptoter til grafen til $f$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne likningene for asymptotene til grafen til $f$ .

Strategi og formel: Den vertikale asymptoten finner vi der nevneren er null. Den horisontale asymptoten finner vi ved å skrive om brøken slik at vi ser hva $f(x)$ nærmer seg når $x$ blir veldig stor.

Trinnvis utregning:

Vertikal asymptote: nevneren er null når $2x+1=0$
$x=-\frac{1}{2}$
horisontal asymptote: skriv om $f(x) = \frac{12x-3}{2x+1}$ ved polynomdivisjon: $\frac{12x-3}{2x+1} = 6 - \frac{9}{2x+1}$
når $x$ blir veldig stor, går $\frac{9}{2x+1}$ mot $0$
$f(x)$ nærmer seg $6$

Svar: Vertikal asymptote: $x=-\frac{1}{2}$ . Horisontal asymptote: $y=6$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Finner riktig vertikal asymptote ( $x=-\frac{1}{2}$ ) og riktig horisontal asymptote (y=6), med synlig fremgangsmåte for begge.
1/2	Finner kun én av de to asymptotene riktig, eller finner begge uten fremgangsmåte.
0/2	Feil metode eller feil svar på begge.

Sensor-tips

Den horisontale asymptoten for en rasjonal funksjon der teller og nevner har samme grad, er forholdet mellom de ledende koeffisientene ( $\frac{12}{2}=6$ ), en rask kontroll av svaret uten å utføre hele divisjonen.
Asymptoter skal skrives som likninger (x=... og y=...), ikke bare som tall.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Vår 2025, Del 1, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 2 – Oppgave 7

Med hjelpemidler – 6 poeng

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

$f(x) = \frac{8}{x^2 + 20}$

Rektangelet under grafen har hjørner i punktene $(0, 0)$ , $(5, 0)$ , $(5, f(5))$ og $(0, f(5))$ .

a) Bestem arealet av rektangelet.
b) Lag en systematisk oversikt som viser arealet av rektanglene som har hjørner i punktene $(0, 0)$ , $(n, 0)$ , $(n, f(n))$ og $(0, f(n))$ for $n \in \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$
c) Bestem $k$ slik at arealet av rektangelet som har hjørner i punktene $(0, 0)$ , $(k, 0)$ , $(k, f(k))$ og $(0, f(k))$ , blir størst mulig.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne arealet av rektangelet med bredde 5, lage en tabell over arealene for $n = 1, \ldots, 10$ , og finne hvilken $k$ som gir størst areal.

Strategi og formel: Rektangelet har bredde $n$ og høyde $f(n)$ , så arealet er $A(n) = n \cdot f(n) = \frac{8n}{n^2 + 20}$ . Vi regner ut $A(n)$ for hver $n$ i en tabell (regneark eller CAS), og finner maksimum ved å derivere $A(k) = \frac{8k}{k^2 + 20}$ og sette den deriverte lik null.

Trinnvis utregning:

a) $f(5) = \frac{8}{5^2 + 20} = \frac{8}{45}$
areal: $5 \cdot \frac{8}{45} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9} \approx 0{,}889$
b) areal for $n = 1, 2, \ldots, 10$ : $0{,}381$ , $0{,}667$ , $0{,}828$ , $0{,}889$ , $0{,}889$ , $0{,}857$ , $0{,}812$ , $0{,}762$ , $0{,}713$ , $0{,}667$
tabellen viser at arealet øker til $n = 4$ og $n = 5$ , og så avtar
maksimum ligger mellom $4$ og $5$
c) $A(k) = \frac{8k}{k^2 + 20}$
$A'(k) = \frac{8(k^2 + 20) - 8k \cdot 2k}{(k^2 + 20)^2} = \frac{8(20 - k^2)}{(k^2 + 20)^2}$
$A'(k) = 0$ når $k^2 = 20$
$k = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$
$A(\sqrt{20}) = \frac{8\sqrt{20}}{40} = \frac{\sqrt{20}}{5} \approx 0{,}894$

Svar: a) Arealet er $\frac{8}{9} \approx 0{,}889$ . b) Se tabellen over. c) Arealet er størst for $k = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$ , og det største arealet er ca. $0{,}894$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	a) Riktig areal $\frac{8}{9}$ , b) en systematisk og ryddig oversikt for $n$ fra 1 til 10 med riktige verdier, og c) riktig $k = \sqrt{20} \approx 4{,}47$ (med derivasjon, CAS eller en finere tabell).
4-5/6	To av deloppgavene riktige og en tredje med riktig strategi. Sensor: mindre systematiske og mangelfulle oversikter kan gi 1 poeng i b).
2-3/6	Riktig areal i a) og en riktig strategi i en av de andre.
0-1/6	Gjør bare noen riktige beregninger.

Sensor-tips

Sensor fordeler poengene 2 + 2 + 2 på a), b) og c). I c) kan en kandidat som velger en riktig strategi men ikke kommer fram til riktig svar, få 1 poeng.
Tabellen viser at $n = 4$ og $n = 5$ gir samme areal, $\frac{8}{9}$ . Det betyr at toppunktet ligger imellom, og at svaret $k = 4$ eller $k = 5$ ikke er riktig.
Svaret på c) kan også finnes ved å la CAS finne maksimum av $A(x)$ , eller med en tabell med mindre steg enn 1.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Høst 2023, Del 2, Oppgave 7