Eksamensoppgaver – Rasjonale uttrykk og funksjoner (1T)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler – 2 poeng

En funksjon $f$ er gitt ved

$f(x) = \dfrac{12x - 3}{2x + 1}$

Bestem likningene for eventuelle asymptoter til grafen til $f$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne likningene for asymptotene til grafen til $f$ .

Strategi og formel: Den vertikale asymptoten finner vi der nevneren er null. Den horisontale asymptoten finner vi ved å skrive om brøken slik at vi ser hva $f(x)$ nærmer seg når $x$ blir veldig stor.

Trinnvis utregning:

Vertikal asymptote: nevneren er null når $2x+1=0$
$x=-\frac{1}{2}$
horisontal asymptote: skriv om $f(x) = \frac{12x-3}{2x+1}$ ved polynomdivisjon: $\frac{12x-3}{2x+1} = 6 - \frac{9}{2x+1}$
når $x$ blir veldig stor, går $\frac{9}{2x+1}$ mot $0$
$f(x)$ nærmer seg $6$

Svar: Vertikal asymptote: $x=-\frac{1}{2}$ . Horisontal asymptote: $y=6$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Finner riktig vertikal asymptote ( $x=-\frac{1}{2}$ ) og riktig horisontal asymptote (y=6), med synlig fremgangsmåte for begge.
1/2	Finner kun én av de to asymptotene riktig, eller finner begge uten fremgangsmåte.
0/2	Feil metode eller feil svar på begge.

Sensor-tips

Den horisontale asymptoten for en rasjonal funksjon der teller og nevner har samme grad, er forholdet mellom de ledende koeffisientene ( $\frac{12}{2}=6$ ) – en rask kontroll av svaret uten å utføre hele divisjonen.
Asymptoter skal skrives som likninger (x=... og y=...), ikke bare som tall.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Vår 2025, Del 1, Oppgave 1