Modellere eksponentiell og logistisk vekst

Et REELT datasett kan brukes til å BESTEMME parameterne i en vekstmodell. Har du to målinger av en eksponentielt voksende størrelse, $N(t) = N_0 \cdot b^t$ , kan du finne vekstfaktoren $b$ ved å sette inn og løse. Men eksponentiell vekst er UBEGRENSET, i virkeligheten møter vekst ofte en GRENSE (mat, plass, ressurser), og da passer LOGISTISK vekst bedre: $N(t) = \frac{K}{1 + A \cdot e^{-kt}}$ , der $K$ er BÆREEVNEN (den øvre grensen veksten flater ut mot).

Eksponentiell vekst

$N(t) = N_0 \cdot b^t$

Logistisk vekst

$N(t) = \dfrac{K}{1 + A \cdot e^{-kt}}$

Eksponentiell vs. logistisk vekst
Modell	Oppførsel
Eksponentiell	Vokser ubegrenset, stadig raskere
Logistisk	Vokser raskt i starten, flater ut mot bæreevnen K

N(t) = 200 · 2ᵗ: 200 bakterier ved t = 0 og 1 600 ved t = 3

Logistisk vekst (blå) flater ut mot bæreevnen K = 2 000. Den ubegrensede eksponentielle veksten (oransje, stiplet) stiger videre. N(5) ≈ 902 og N(10) ≈ 1 717

Tips

Finn ALLTID $N_0$ direkte fra $t = 0$ i datasettet FØR du regner ut vekstfaktoren $b$ . Det gjør likningen med den ukjente $b$ enklere å løse.
En logistisk modell nærmer seg ALDRI bæreevnen $K$ helt nøyaktig, men blir raskt SÅ NÆR at forskjellen er ubetydelig i praksis.
Se hvordan en ressursgrense endrer bildet. I virkeligheten har næringsmediet i kulturen en øvre grense. Med en logistisk modell $N(t) = \frac{2\ 000}{1 + 9 \cdot e^{-0{,}4t}}$ (bæreevne $K = 2\ 000$ ) blir $N(5) \approx 902$ og $N(10) \approx 1\ 717$ : langt lavere enn den ubegrensede eksponentielle modellens anslag, fordi veksten begynner å flate ut etter hvert som kulturen nærmer seg bæreevnen.

Eksempel: Finne vekstfaktoren fra et reelt datasett

En forsker teller bakterier i en kultur: ved $t = 0$ timer er det $200$ bakterier, og ved $t = 3$ timer er det $1\ 600$ bakterier. Anta eksponentiell vekst $N(t) = N_0 \cdot b^t$ . Finn vekstfaktoren $b$ , og bruk modellen til å anslå antall bakterier etter $5$ timer.

Løsning:

Vi finner $N_0$ direkte fra $t = 0$ : $N_0 = 200$
sett inn $t = 3$ og $N(3) = 1\ 600$ : $200 \cdot b^3 = 1\ 600$
del begge sider på $200$ : $b^3 = 8$
$8 = 2^3$ , så $b = 2$
modellen er $N(t) = 200 \cdot 2^t$
sett inn $t = 5$ : $N(5) = 200 \cdot 2^5 = 200 \cdot 32$ . Vekstfaktoren er $b = 2$ (kulturen dobler seg hver time), og etter $5$ timer er det anslagsvis $6\ 400$ bakterier.

Fra datasett til modell
Steg	Verdi
N₀ (avlest ved t=0)	200
b³ = $\dfrac{1\ 600}{200}$	8
b	2
N(5) = 200 · 2⁵	6 400

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41En modell er $N(t) = N_0 \cdot b^t$ . Hva representerer $N_0$ ?

Vis fasit

Sett inn t = 0: N(0) = N₀ · b⁰ = N₀ · 1
N₀ er startverdien

Hva N₀ representerer
Symbol	Betydning
N₀	Startverdien, verdien ved t = 0

L-42Hva representerer $K$ i en logistisk modell $N(t) = \frac{K}{1 + A \cdot e^{-kt}}$ ?

Vis fasit

I nevneren (1 + A·e^{-kt}) er K verdien N(t) nærmer seg når t blir stor
K er bæreevnen

Hva K representerer
Symbol	Betydning
K	Bæreevnen, øvre grense veksten flater ut mot

L-43Hva er hovedforskjellen mellom eksponentiell og logistisk vekst?

Vis fasit

Eksponentiell: b^t vokser for alltid
logistisk: nærmer seg K
logistisk har en øvre grense, eksponentiell har det ikke

Hovedforskjell eksponentiell vs. logistisk
Modell	Oppførsel
Eksponentiell	Ubegrenset vekst
Logistisk	Flater ut mot en øvre grense

Middels(3)

M-41En bakteriekultur har $N(0) = 100$ og $N(2) = 400$ . Finn vekstfaktoren $b$ i $N(t) = 100 \cdot b^t$ .

Vis fasit

100 · b² = 400
b² = 4
b = 2

N(0)=100, N(2)=400, finn b
Steg	Uttrykk
100·b² = 400	b² = 4
Løsning	b = 2

M-42En bakteriekultur har

N(0) = 100

og vekstfaktor

b = 2

, så

N(t) = 100 \cdot 2^t

. Finn

N(4)

Vis fasit

N(4) = 100 ganger

2^{4} = 100

ganger 16 = 1 600

N(t)=100·2^t, finn N(4)
Steg	Uttrykk
N(4)	100 · 2⁴
Løsning	1 600

M-43En logistisk modell har bæreevne $K = 500$ . Hva nærmer $N(t)$ seg når $t$ blir svært stor?

Vis fasit

Med K=500: når t blir stor, går e^(-kt) mot 0, så nevneren går mot 1
N(t) nærmer seg K = 500

K=500, hva nærmer N(t) seg?
t	N(t) nærmer seg
t → stor	K = 500

Vanskelig(3)

V-41En radioaktiv kilde har

N(0) = 800

N(2) = 200

. Finn nedgangsfaktoren

b

N(t) = 800 \cdot b^t

Vis fasit

800 · b² = 200
b² = 0,25
b = 0,5

N(0)=800, N(2)=200, finn b
Steg	Uttrykk
800·b² = 200	b² = 0,25
Løsning	b = 0,5

V-42En logistisk modell er

N(t) = \frac{1\ 000}{1 + 9e^{-0{,}5t}}

. Finn

N(0)

, og forklar hvorfor dette gir mening som startverdi.

Vis fasit

$N(0) = \frac{1\,000}{1 + 9 \cdot e^{0}}$
$\frac{1\,000}{1+9}$
$\frac{1\,000}{10}$
100, en liten brøkdel av bæreevnen 1 000, som forventet ved oppstart

N(0) for logistisk modell
Steg	Uttrykk
N(0)	1 000 / (1 + 9)
Løsning	100

V-43Forklar hvorfor en logistisk modell er mer realistisk enn en eksponentiell modell for en bakteriekultur i et lukket næringsmedium over lang tid.

Vis fasit

Eksponentiell vekst forutsetter uendelige ressurser
et lukket medium har begrenset mat og plass
logistisk vekst modellerer denne begrensningen med en bæreevne K

Hvorfor logistisk er mer realistisk
Modell	Antagelse
Eksponentiell	Uendelige ressurser
Logistisk	Begrensede ressurser (bæreevne K)