Modellere eksponentiell og logistisk vekst

Et REELT datasett kan brukes til å BESTEMME parameterne i en vekstmodell. Har du to målinger av en eksponentielt voksende størrelse, $N(t) = N_0 \cdot b^t$ , kan du finne vekstfaktoren $b$ ved å sette inn og løse. Men eksponentiell vekst er UBEGRENSET – i virkeligheten møter vekst ofte en GRENSE (mat, plass, ressurser), og da passer LOGISTISK vekst bedre: $N(t) = \frac{K}{1 + A \cdot e^{-kt}}$ , der $K$ er BÆREEVNEN (den øvre grensen veksten flater ut mot).

Eksponentiell vekst

$N(t) = N_0 \cdot b^t$

Logistisk vekst

$N(t) = \dfrac{K}{1 + A \cdot e^{-kt}}$

Eksponentiell vs. logistisk vekst
Modell	Oppførsel
Eksponentiell	Vokser ubegrenset, stadig raskere
Logistisk	Vokser raskt i starten, flater ut mot bæreevnen K

Tips

Finn ALLTID $N_0$ direkte fra $t = 0$ i datasettet FØR du regner ut vekstfaktoren $b$ – det gjør likningen med den ukjente $b$ enklere å løse.
En logistisk modell nærmer seg ALDRI bæreevnen $K$ helt nøyaktig, men blir raskt SÅ NÆR at forskjellen er ubetydelig i praksis.

Eksempel: Finne vekstfaktoren fra et reelt datasett

En forsker teller bakterier i en kultur: ved $t = 0$ timer er det $200$ bakterier, og ved $t = 3$ timer er det $1\ 600$ bakterier. Anta eksponentiell vekst $N(t) = N_0 \cdot b^t$ . Finn vekstfaktoren $b$ , og bruk modellen til å anslå antall bakterier etter $5$ timer.

Fra datasett til modell
Steg	Verdi
N₀ (avlest ved t=0)	200
b³ = $\dfrac{1\ 600}{200}$	8
b	2
N(5) = 200 · 2⁵	6 400

Løsning:

Vi finner $N_0$ direkte fra $t = 0$ : $N_0 = 200$
sett inn $t = 3$ og $N(3) = 1\ 600$ : $200 \cdot b^3 = 1\ 600$
del begge sider på $200$ : $b^3 = 8$
$8 = 2^3$ , så $b = 2$
modellen er $N(t) = 200 \cdot 2^t$
sett inn $t = 5$ : $N(5) = 200 \cdot 2^5 = 200 \cdot 32$ . Vekstfaktoren er $b = 2$ (kulturen dobler seg hver time), og etter $5$ timer er det anslagsvis $6\ 400$ bakterier.

Alternativ forklaring/metode: Se hvordan en ressursgrense endrer bildet

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sammenligne med en logistisk modell for samme kultur

I virkeligheten har næringsmediet i kulturen en øvre grense. Med en logistisk modell $N(t) = \frac{2\ 000}{1 + 9 \cdot e^{-0,4t}}$ (bæreevne $K = 2\ 000$ ) blir $N(5) \approx 902$ og $N(10) \approx 1\ 717$ – langt lavere enn den ubegrensede eksponentielle modellens anslag, fordi veksten begynner å flate ut etter hvert som kulturen nærmer seg bæreevnen.

Eksponentiell vs. logistisk anslag for N(5)
Modell	N(5)
Eksponentiell (ubegrenset)	6 400
Logistisk (bæreevne 2 000)	≈902 (mye lavere)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41En modell er $N(t) = N_0 \cdot b^t$ . Hva representerer $N_0$ ?

Vis fasit

Hva N₀ representerer
Symbol	Betydning
N₀	Startverdien, verdien ved t = 0

Sett inn t = 0: N(0) = N₀ · b⁰ = N₀ · 1
N₀ er startverdien

L-42Hva representerer

K

i en logistisk modell

N(t) = \frac{K}{1 + A \cdot e^{-kt}}

Vis fasit

Hva K representerer
Symbol	Betydning
K	Bæreevnen, øvre grense veksten flater ut mot

I nevneren (1 + A·e^{-kt}) er K verdien N(t) nærmer seg når t blir stor
K er bæreevnen

L-43Hva er hovedforskjellen mellom eksponentiell og logistisk vekst?

Vis fasit

Hovedforskjell eksponentiell vs. logistisk
Modell	Oppførsel
Eksponentiell	Ubegrenset vekst
Logistisk	Flater ut mot en øvre grense

Eksponentiell: b^t vokser for alltid
logistisk: nærmer seg K
logistisk har en øvre grense, eksponentiell har det ikke

Middels(3)

M-41En bakteriekultur har

N(0) = 100

N(2) = 400

. Finn vekstfaktoren

b

N(t) = 100 \cdot b^t

Vis fasit

N(0)=100, N(2)=400, finn b
Steg	Uttrykk
100·b² = 400	b² = 4
Løsning	b = 2

100 · b² = 400
b² = 4
b = 2

M-42Bruk modellen

N(t) = 100 \cdot 2^t

fra forrige oppgave til å finne

N(4)

Vis fasit

N(t)=100·2^t, finn N(4)
Steg	Uttrykk
N(4)	100 · 2⁴
Løsning	1 600

N(4) = 100 gange 2 opphøyd i 4 = 100 gange 16 = 1 600

M-43En logistisk modell har bæreevne

K = 500

. Hva nærmer

N(t)

seg når

t

blir svært stor?

Vis fasit

K=500, hva nærmer N(t) seg?
t	N(t) nærmer seg
t → stor	K = 500

Med K=500: når t blir stor, går e^(-kt) mot 0, så nevneren går mot 1
N(t) nærmer seg K = 500

Vanskelig(3)

V-41En radioaktiv kilde har

N(0) = 800

N(2) = 200

. Finn nedgangsfaktoren

b

N(t) = 800 \cdot b^t

Vis fasit

N(0)=800, N(2)=200, finn b
Steg	Uttrykk
800·b² = 200	b² = 0,25
Løsning	b = 0,5

800 · b² = 200
b² = 0,25
b = 0,5

V-42En logistisk modell er

N(t) = \frac{1\ 000}{1 + 9e^{-0,5t}}

. Finn

N(0)

, og forklar hvorfor dette gir mening som startverdi.

Vis fasit

N(0) for logistisk modell
Steg	Uttrykk
N(0)	1 000 / (1 + 9)
Løsning	100

N(0) = 1 000 delt på (1 + 9 gange e opphøyd i 0)
= 1 000 delt på (1+9)
= 1 000 delt på 10
100, en liten brøkdel av bæreevnen 1 000, som forventet ved oppstart

V-43Forklar hvorfor en logistisk modell er mer realistisk enn en eksponentiell modell for en bakteriekultur i et lukket næringsmedium over lang tid.

Vis fasit

Hvorfor logistisk er mer realistisk
Modell	Antagelse
Eksponentiell	Uendelige ressurser
Logistisk	Begrensede ressurser (bæreevne K)

Eksponentiell vekst forutsetter uendelige ressurser
et lukket medium har begrenset mat og plass
logistisk vekst modellerer denne begrensningen med en bæreevne K