Løse eksponentiallikninger

En eksponentiallikning har den ukjente i EKSPONENTEN, som $5^x = 20$ . Har begge sider SAMME grunntall (eller kan skrives med samme grunntall), kan du sette eksponentene like og løse direkte. Går ikke det – som ofte er tilfelle med naturvitenskapelige forfallsmodeller – ta LOGARITMEN av begge sider – da kommer $x$ ned fra eksponenten ved hjelp av potensregelen for logaritmer, og du kan løse for $x$ som en vanlig likning.

Løse med logaritme

$a^x = b \Rightarrow x = \frac{\log(b)}{\log(a)}$

To strategier
Situasjon	Strategi
Samme grunntall mulig (16 = 2⁴)	Sett eksponentene like
Ikke samme grunntall (500 · 0,8ᵗ = 200)	Ta logaritmen av begge sider

Tips

Sjekk ALLTID først om tallet på høyre side kan skrives som en potens av samme grunntall som venstre side ( $16 = 2^4$ ) – da slipper du logaritmer helt.
Ta logaritmen av HELE uttrykket på begge sider av likhetstegnet, ikke bare av tallet – $\log(3 \cdot 2^x)$ er IKKE det samme som $3 \cdot \log(2^x)$ .

Eksempel: Radioaktivt henfall

Et radioaktivt stoff har massen $M(t) = 500 \cdot 0,8^t$ gram, der $t$ er antall år. Etter hvor mange år er massen redusert til $200$ gram, avrundet til to desimaler?

Fra forfallsmodell til t
Steg	Uttrykk
Del på 500	0,8ᵗ = 0,4
Ta logaritmen	t · log(0,8) = log(0,4)
Del på log(0,8)	t = log(0,4) / log(0,8)
Regn ut	t ≈ 4,11 år

Løsning:

Vi sjekker om $\frac{200}{500} = 0,4$ kan skrives som en enkel potens av $0,8$ – det kan den ikke, så vi må bruke logaritmer
sett opp likningen: $500 \cdot 0,8^t = 200$
del begge sider på $500$ : $0,8^t = 0,4$
ta logaritmen av begge sider: $\log(0,8^t) = \log(0,4)$
bruk potensregelen for logaritmer: $t \cdot \log(0,8) = \log(0,4)$
del begge sider på $\log(0,8)$ : $t = \frac{\log(0,4)}{\log(0,8)}$
regn ut: $\log(0,4) \approx -0,398$ og $\log(0,8) \approx -0,097$
$t \approx \frac{-0,398}{-0,097}$ . Massen er redusert til $200$ gram etter $t \approx 4,11$ år.

Alternativ forklaring/metode: Gjenkjenn når logaritmer ikke er nødvendig

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Løse med samme grunntall der det er mulig

For en likning som $2^x = 16$ trenger du IKKE logaritmer: $16 = 2^4$ , så likningen blir $2^x = 2^4$ , og siden grunntallet er likt på begge sider, må eksponentene være like: $x = 4$ . Denne snarveien er raskere enn å ta logaritmer når høyresiden faktisk ER en potens av grunntallet – sjekk alltid dette FØRST.

Når trengs logaritmer?
Likning	Strategi
2^x = 16 (16=2⁴)	Sett eksponentene like: x = 4
Generell a^x=b (b ikke potens av a)	Ta logaritmen av begge sider

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Løs likningen $2^x = 16$ .

Vis fasit

Løs 2^x=16
Steg	Uttrykk
16 = 2^?	2⁴
Løsning	x = 4

16 = 2⁴, samme grunntall som venstre side
x = 4

L-22Løs likningen

3^x = 81

Vis fasit

Løs 3^x=81
Steg	Uttrykk
81 = 3^?	3⁴
Løsning	x = 4

81 = 3⁴, samme grunntall
x = 4

L-23Hvorfor trenger du IKKE logaritmer for å løse

2^x = 16

Vis fasit

Hvorfor logaritmer ikke er nødvendig her
Situasjon	Grunn
16 = 2⁴	Samme grunntall, eksponentene settes like direkte

16 = 2⁴, samme grunntall på begge sider
eksponentene settes like uten logaritmer

Middels(3)

M-21Et radioaktivt stoff følger

M(t) = 800 \cdot 0,5^t

gram. Etter hvor mange halveringstider

t

er massen

100

gram?

Vis fasit

M(t)=800·0,5^t, når er massen 100 g
Steg	Uttrykk
800·0,5^t = 100	0,5^t = 0,125
0,125 = 0,5^?	0,5³
Løsning	t = 3

800 · 0,5^t = 100
del på 800: 0,5^t = 0,125
0,125 = 0,5³
t = 3

M-22Løs likningen

4^x = 64

Vis fasit

Løs 4^x=64
Steg	Uttrykk
64 = 4^?	4³
Løsning	x = 3

64 = 4³, samme grunntall
x = 3

M-23Løs likningen

7^x = 50

, avrundet til to desimaler.

Vis fasit

Løs 7^x=50
Steg	Uttrykk
Ta logaritmen	x = log(50) / log(7)
Løsning	x ≈ 2,01

50 er ikke en potens av 7
ta logaritmen: x = log(50) delt på log(7)
x ≈ 2,01

Vanskelig(3)

V-21Løs likningen

10^x = 250

, avrundet til to desimaler.

Vis fasit

Løs 10^x=250
Steg	Uttrykk
Ta logaritmen	x = log(250) / log(10)
log(10)	1
Løsning	x ≈ 2,40

250 er ikke en enkel potens av 10
x = log(250) delt på log(10)
log(10) = 1
x ≈ 2,40

V-22Kontroller svaret i forrige oppgave: er

10^{2,40}

omtrent lik

250

Vis fasit

Kontroll: er 10^2,40 ≈ 250?
Steg	Uttrykk
10^2,40	≈ 251
Konklusjon	Stemmer godt med 250

10 opphøyd i 2,40 gir omtrent 251
stemmer godt med det avrundede svaret 250

V-23En bakteriekultur følger

N(t) = 50 \cdot 3^t

. Etter hvor mange timer

t

er kulturen

1\ 350

bakterier?

Vis fasit

N(t)=50·3^t, når er N=1 350
Steg	Uttrykk
50·3^t = 1 350	3^t = 27
27 = 3^?	3³
Løsning	t = 3 timer

1 350 = 50 · 3^t
del på 50: 3^t = 27
27 = 3³
t = 3 timer