Løse eksponentiallikninger

En eksponentiallikning har den ukjente i EKSPONENTEN, som $5^x = 20$ . Har begge sider SAMME grunntall (eller kan skrives med samme grunntall), kan du sette eksponentene like og løse direkte. Går ikke det, som ofte er tilfelle med naturvitenskapelige forfallsmodeller, ta LOGARITMEN av begge sider. Da kommer $x$ ned fra eksponenten ved hjelp av potensregelen for logaritmer, og du kan løse for $x$ som en vanlig likning.

Løse med logaritme

$a^x = b \Rightarrow x = \frac{\log(b)}{\log(a)}$

To strategier
Situasjon	Strategi
Samme grunntall mulig (16 = 2⁴)	Sett eksponentene like
Ikke samme grunntall (500 · 0,8ᵗ = 200)	Ta logaritmen av begge sider

Tips

Sjekk ALLTID først om tallet på høyre side kan skrives som en potens av samme grunntall som venstre side ( $16 = 2^4$ ). Da slipper du logaritmer helt.
Ta logaritmen av HELE uttrykket på begge sider av likhetstegnet, ikke bare av tallet: $\log(3 \cdot 2^x)$ er IKKE det samme som $3 \cdot \log(2^x)$ .
Gjenkjenn når logaritmer ikke er nødvendig. For en likning som $2^x = 16$ trenger du IKKE logaritmer: $16 = 2^4$ , så likningen blir $2^x = 2^4$ , og siden grunntallet er likt på begge sider, må eksponentene være like: $x = 4$ . Denne snarveien er raskere enn å ta logaritmer når høyresiden faktisk ER en potens av grunntallet: sjekk alltid dette FØRST.

Eksempel: Radioaktivt henfall

Et radioaktivt stoff har massen $M(t) = 500 \cdot 0{,}8^t$ gram, der $t$ er antall år. Etter hvor mange år er massen redusert til $200$ gram, avrundet til to desimaler?

Løsning:

Vi sjekker om $\frac{200}{500} = 0{,}4$ kan skrives som en enkel potens av $0{,}8$ . Det kan den ikke, så vi må bruke logaritmer
sett opp likningen: $500 \cdot 0{,}8^t = 200$
del begge sider på $500$ : $0{,}8^t = 0{,}4$
ta logaritmen av begge sider: $\log(0{,}8^t) = \log(0{,}4)$
bruk potensregelen for logaritmer: $t \cdot \log(0{,}8) = \log(0{,}4)$
del begge sider på $\log(0{,}8)$ : $t = \frac{\log(0{,}4)}{\log(0{,}8)}$
regn ut: $\log(0{,}4) \approx -0{,}398$ og $\log(0{,}8) \approx -0{,}097$
$t \approx \frac{-0{,}398}{-0{,}097}$ . Massen er redusert til $200$ gram etter $t \approx 4{,}11$ år.

Fra forfallsmodell til t
Steg	Uttrykk
Del på 500	0,8ᵗ = 0,4
Ta logaritmen	t · log(0,8) = log(0,4)
Del på log(0,8)	t = log(0,4) / log(0,8)
Regn ut	t ≈ 4,11 år

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Løs likningen $2^x = 16$ .

Vis fasit

16 = 2⁴, samme grunntall som venstre side
x = 4

Løs 2^x=16
Steg	Uttrykk
16 = 2^?	2⁴
Løsning	x = 4

L-22Løs likningen

3^x = 81

Vis fasit

81 = 3⁴, samme grunntall
x = 4

Løs 3^x=81
Steg	Uttrykk
81 = 3^?	3⁴
Løsning	x = 4

L-23Hvorfor trenger du IKKE logaritmer for å løse

2^x = 16

Vis fasit

16 = 2⁴, samme grunntall på begge sider
eksponentene settes like uten logaritmer

Hvorfor logaritmer ikke er nødvendig her
Situasjon	Grunn
16 = 2⁴	Samme grunntall, eksponentene settes like direkte

Middels(3)

M-21Et radioaktivt stoff følger $M(t) = 800 \cdot 0{,}5^t$ gram. Etter hvor mange halveringstider $t$ er massen $100$ gram?

Vis fasit

800 · 0,5^t = 100
del på 800: 0,5^t = 0,125
0,125 = 0,5³
t = 3

M(t)=800·0,5^t, når er massen 100 g
Steg	Uttrykk
800·0,5^t = 100	0,5^t = 0,125
0,125 = 0,5^?	0,5³
Løsning	t = 3

M-22Løs likningen

4^x = 64

Vis fasit

64 = 4³, samme grunntall
x = 3

Løs 4^x=64
Steg	Uttrykk
64 = 4^?	4³
Løsning	x = 3

M-23Løs likningen

7^x = 50

, avrundet til to desimaler. Svar med bare tallet.

Vis fasit

50 er ikke en potens av 7
ta logaritmen: x = log(50) delt på log(7)
x ≈ 2,01

Løs 7^x=50
Steg	Uttrykk
Ta logaritmen	x = log(50) / log(7)
Løsning	x ≈ 2,01

Vanskelig(3)

V-21Løs likningen

10^x = 250

, avrundet til to desimaler. Svar med bare tallet.

Vis fasit

250 er ikke en enkel potens av 10
x = log(250) delt på log(10)
log(10) = 1
x ≈ 2,40

Løs 10^x=250
Steg	Uttrykk
Ta logaritmen	x = log(250) / log(10)
log(10)	1
Løsning	x ≈ 2,40

V-22Løsningen av

10^x = 250

x \approx 2{,}40

(avrundet til to desimaler). Kontroller svaret: er

10^{2{,}40}

omtrent lik

250

Vis fasit

$10^{2{,}40}$ gir omtrent 251
stemmer godt med det avrundede svaret 250

Kontroll: er 10^2,40 ≈ 250?
Steg	Uttrykk
10^2,40	≈ 251
Konklusjon	Stemmer godt med 250

V-23En bakteriekultur følger $N(t) = 50 \cdot 3^t$ . Etter hvor mange timer $t$ er kulturen $1\ 350$ bakterier? Svar i timer.

Vis fasit

1 350 = 50 · 3^t
del på 50: 3^t = 27
27 = 3³
t = 3 timer

N(t)=50·3^t, når er N=1 350
Steg	Uttrykk
50·3^t = 1 350	3^t = 27
27 = 3^?	3³
Løsning	t = 3 timer