Løse logaritmelikninger

En logaritmelikning har den ukjente INNI en logaritme, som $\log(x) = 2$ . Løs den ved å bruke $10$ opphøyd i BEGGE sider. Dette «fjerner» logaritmen på venstre side siden $10^{\log(x)} = x$ . Er det FLERE logaritme-ledd i likningen, slå dem sammen til ÉN logaritme med regnereglene FØRST. Sjekk til slutt at løsningen faktisk gir et POSITIVT tall inni hver logaritme: logaritmen av et negativt tall eller null er udefinert, akkurat som en negativ konsentrasjon ikke gir naturvitenskapelig mening.

Fjerne logaritmen

$\log(x) = k \Rightarrow x = 10^k$

Fra logaritmelikning til x
Steg	Uttrykk
Original	log(x) + log(x-9) = 1
Slå sammen (produktregel)	log(x(x-9)) = 1
Opphøy 10 på begge sider	x(x-9) = 10
Løs andregradslikningen	x = 10 (x = -1 forkastes)

Tips

SJEKK ALLTID løsningen i den ORIGINALE likningen. Logaritmen av et negativt tall er udefinert, så en løsning som gir et negativt tall inni en logaritme må FORKASTES.
Har likningen flere logaritme-ledd, bruk produkt-/kvotientregelen til å slå dem sammen til ÉN logaritme FØR du opphøyer $10$ på begge sider.

Eksempel: Løse en logaritmelikning med to ledd

Løs likningen $\log(x) + \log(x - 9) = 1$ for $x$ .

Løsning:

Vi har to logaritme-ledd, så vi slår dem sammen med produktregelen: $\log(x) + \log(x-9) = \log(x(x-9))$
likningen blir $\log(x(x-9)) = 1$
opphøy $10$ på begge sider: $x(x-9) = 10^1 = 10$
gang ut og flytt over: $x^2 - 9x - 10 = 0$
faktoriser: $(x-10)(x+1) = 0$
dette gir $x = 10$ eller $x = -1$
sjekk i den ORIGINALE likningen: $x = -1$ gir $\log(-1)$ , som er UDEFINERT, og må forkastes
$x = 10$ gir $\log(10) + \log(1)$ , som er definert. Løsningen er $x = 10$ .

To kandidater, én gyldig
Kandidat	Gyldig?
x = 10	Ja (10 og 10-9=1 er begge positive)
x = −1	Nei (log(-1) er udefinert)

Alternativ forklaring/metode: Isoler logaritmen og opphøy 10 med én gang

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Løse en enklere logaritmelikning direkte

For en enklere likning med bare ETT logaritme-ledd, som $\log(x) = 2$ , trenger du ikke slå sammen noe: isoler logaritmen (den er allerede alene) og opphøy $10$ på begge sider direkte: $x = 10^2 = 100$ . Denne raske metoden fungerer når likningen allerede har logaritmen alene på én side, uten flere ledd å kombinere først.

Ett ledd vs. flere logaritme-ledd
Likning	Strategi
log(x)=2 (ett ledd)	Opphøy 10 direkte: x = 100
Flere logaritme-ledd	Slå sammen først, opphøy deretter

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Løs likningen $\log(x) = 2$ .

Vis fasit

Opphøy 10 på begge sider: x =

10^{2} =

100

Løs log(x)=2
Steg	Uttrykk
Opphøy 10	x = 10²
Løsning	x = 100

L-32Hvorfor må du sjekke løsningen av en logaritmelikning i den ORIGINALE likningen?

Vis fasit

En algebraisk løsning kan gi en verdi som ikke er gyldig inni en logaritme
sjekk at argumentet blir positivt

Hvorfor sjekke i den originale likningen
Risiko	Grunn
Løsning kan gi negativt argument	log av negativt tall er udefinert

L-33Bruk produktregelen til å slå sammen $\log(x) + \log(5)$ til én logaritme.

Vis fasit

log(x) og log(5): produktregelen sier log(a) + log(b) = log(a·b)
log(5x)

Slå sammen log(x)+log(5)
Steg	Uttrykk
Regel	Produktregelen
log(x) + log(5)	log(5x)

Middels(3)

M-31Løs likningen

\log(3x) = 2

. Svar med bare tallet.

Vis fasit

Opphøy 10 på begge sider: 3x = $10^{2} = 100$
del på 3
x ≈ 33,33

Løs log(3x)=2
Steg	Uttrykk
Opphøy 10	3x = 10²
3x	100
Løsning	x ≈ 33,33

M-32Løs likningen $\log(x) - \log(5) = 1$ .

Vis fasit

Kvotientregelen: log(x) - log(5) = log(x/5)
log(x/5) = 1
x/5 = 10
x = 50

Løs log(x)-log(5)=1
Steg	Uttrykk
Kvotientregel	log(x/5) = 1
Opphøy 10	x/5 = 10
Løsning	x = 50

M-33En løsning har

[\text{H}^+] = 10^{-4}

. Finn pH-verdien, gitt

\text{pH} = -\log([\text{H}^+])

Vis fasit

pH = -log(10⁻⁴) = -(-4)
pH = 4

pH fra [H+]=10^-4
Steg	Uttrykk
pH	−log(10⁻⁴)
Løsning	pH = 4

Vanskelig(3)

V-31Løs likningen

\log(x) + \log(x + 3) = 1

. Oppgi bare løsningen som er gyldig.

Vis fasit

Produktregelen: log(x(x+3)) = 1
x(x+3) = 10
x² + 3x - 10 = 0
faktoriser (x-2)(x+5)=0
x=2 eller x=-5
x=-5 gir log av negativt tall, forkastes
x = 2

Løs log(x)+log(x+3)=1
Steg	Uttrykk
Produktregel	log(x(x+3)) = 1
Opphøy 10	x(x+3) = 10
Faktoriser	(x−2)(x+5) = 0
Gyldig løsning	x = 2

V-32En løsning har pH

= -\log([\text{H}^+]) = 5{,}5

. Finn

[\text{H}^+]

, avrundet med to gjeldende sifre.

Vis fasit

5,5 = -log([H+])
log([H+]) = -5,5
opphøy 10: [H+] = $10^{-5{,}5}$
[H+] ≈ 3,2 · 10⁻⁶

Finn [H+] fra pH=5,5
Steg	Uttrykk
log([H+])	−5,5
Opphøy 10	10^−5,5
Løsning	[H+] ≈ 3,2 · 10⁻⁶

V-33Forklar hvorfor $x = -1$ må forkastes i likningen $\log(x) + \log(x-9) = 1$ , selv om det løser den ALGEBRAISKE likningen $x(x-9) = 10$ korrekt.

Vis fasit

x(x-9)=10 er en omskrivning som MISTER kravet om positive logaritme-argumenter
x=-1 løser den omskrevne likningen, men ikke den opprinnelige, siden log(-1) er udefinert

Hvorfor x=-1 forkastes
Kandidat	Gyldig?
x = −1	Nei, log(−1) er udefinert
Kravet	Både x og x−9 må være positive