Løse logaritmelikninger

En logaritmelikning har den ukjente INNI en logaritme, som $\log(x) = 2$ . Løs den ved å bruke $10$ opphøyd i BEGGE sider – dette «fjerner» logaritmen på venstre side siden $10^{\log(x)} = x$ . Er det FLERE logaritme-ledd i likningen, slå dem sammen til ÉN logaritme med regnereglene FØRST. Sjekk til slutt at løsningen faktisk gir et POSITIVT tall inni hver logaritme – logaritmen av et negativt tall eller null er udefinert, akkurat som en negativ konsentrasjon ikke gir naturvitenskapelig mening.

Fjerne logaritmen

$\log(x) = k \Rightarrow x = 10^k$

Fra logaritmelikning til x
Steg	Uttrykk
Original	log(x) + log(x-9) = 1
Slå sammen (produktregel)	log(x(x-9)) = 1
Opphøy 10 på begge sider	x(x-9) = 10
Løs andregradslikningen	x = 10 (x = -1 forkastes)

Tips

SJEKK ALLTID løsningen i den ORIGINALE likningen. Logaritmen av et negativt tall er udefinert, så en løsning som gir et negativt tall inni en logaritme må FORKASTES.
Har likningen flere logaritme-ledd, bruk produkt-/kvotientregelen til å slå dem sammen til ÉN logaritme FØR du opphøyer $10$ på begge sider.

Eksempel: Løse en logaritmelikning med to ledd

Løs likningen $\log(x) + \log(x - 9) = 1$ for $x$ .

To kandidater, én gyldig
Kandidat	Gyldig?
x = 10	Ja (10 og 10-9=1 er begge positive)
x = −1	Nei (log(-1) er udefinert)

Løsning:

Vi har to logaritme-ledd, så vi slår dem sammen med produktregelen: $\log(x) + \log(x-9) = \log(x(x-9))$
likningen blir $\log(x(x-9)) = 1$
opphøy $10$ på begge sider: $x(x-9) = 10^1 = 10$
gang ut og flytt over: $x^2 - 9x - 10 = 0$
faktoriser: $(x-10)(x+1) = 0$
dette gir $x = 10$ eller $x = -1$
sjekk i den ORIGINALE likningen: $x = -1$ gir $\log(-1)$ , som er UDEFINERT, og må forkastes
$x = 10$ gir $\log(10) + \log(1)$ , som er definert. Løsningen er $x = 10$ .

Alternativ forklaring/metode: Isoler logaritmen og opphøy 10 med én gang

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Løse en enklere logaritmelikning direkte

For en enklere likning med bare ETT logaritme-ledd, som $\log(x) = 2$ , trenger du ikke slå sammen noe – isoler logaritmen (den er allerede alene) og opphøy $10$ på begge sider direkte: $x = 10^2 = 100$ . Denne raske metoden fungerer når likningen allerede har logaritmen alene på én side, uten flere ledd å kombinere først.

Ett ledd vs. flere logaritme-ledd
Likning	Strategi
log(x)=2 (ett ledd)	Opphøy 10 direkte: x = 100
Flere logaritme-ledd	Slå sammen først, opphøy deretter

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Løs likningen $\log(x) = 2$ .

Vis fasit

Løs log(x)=2
Steg	Uttrykk
Opphøy 10	x = 10²
Løsning	x = 100

Opphøy 10 på begge sider: x = 10 opphøyd i 2 = 100

L-32Hvorfor må du sjekke løsningen av en logaritmelikning i den ORIGINALE likningen?

Vis fasit

Hvorfor sjekke i den originale likningen
Risiko	Grunn
Løsning kan gi negativt argument	log av negativt tall er udefinert

En algebraisk løsning kan gi en verdi som ikke er gyldig inni en logaritme
sjekk at argumentet blir positivt

L-33Bruk produktregelen til å slå sammen

\log(x) + \log(5)

til én logaritme.

Vis fasit

Slå sammen log(x)+log(5)
Steg	Uttrykk
Regel	Produktregelen
log(x) + log(5)	log(5x)

log(x) og log(5): produktregelen sier log(a) + log(b) = log(a·b)
log(5x)

Middels(3)

M-31Løs likningen

\log(3x) = 2

Vis fasit

Løs log(3x)=2
Steg	Uttrykk
Opphøy 10	3x = 10²
3x	100
Løsning	x ≈ 33,33

Opphøy 10 på begge sider: 3x = 10 opphøyd i 2 = 100
del på 3
x ≈ 33,33

M-32Løs likningen

\log(x) - \log(5) = 1

Vis fasit

Løs log(x)-log(5)=1
Steg	Uttrykk
Kvotientregel	log(x/5) = 1
Opphøy 10	x/5 = 10
Løsning	x = 50

Kvotientregelen: log(x) - log(5) = log(x/5)
log(x/5) = 1
x/5 = 10
x = 50

M-33En løsning har

[\text{H}^+] = 10^{-4}

. Finn pH-verdien, gitt

\text{pH} = -\log([\text{H}^+])

Vis fasit

pH fra [H+]=10^-4
Steg	Uttrykk
pH	−log(10⁻⁴)
Løsning	pH = 4

pH = -log(10⁻⁴) = -(-4)
pH = 4

Vanskelig(3)

V-31Løs likningen

\log(x) + \log(x + 3) = 1

Vis fasit

Løs log(x)+log(x+3)=1
Steg	Uttrykk
Produktregel	log(x(x+3)) = 1
Opphøy 10	x(x+3) = 10
Faktoriser	(x−2)(x+5) = 0
Gyldig løsning	x = 2

Produktregelen: log(x(x+3)) = 1
x(x+3) = 10
x² + 3x - 10 = 0
faktoriser (x-2)(x+5)=0
x=2 eller x=-5
x=-5 gir log av negativt tall, forkastes
x = 2

V-32En løsning har pH

= -\log([\text{H}^+]) = 5,5

. Finn

[\text{H}^+]

, avrundet med to gjeldende sifre.

Vis fasit

Finn [H+] fra pH=5,5
Steg	Uttrykk
log([H+])	−5,5
Opphøy 10	10^−5,5
Løsning	[H+] ≈ 3,2 · 10⁻⁶

5,5 = -log([H+])
log([H+]) = -5,5
opphøy 10: [H+] = 10 opphøyd i -5,5
[H+] ≈ 3,2 · 10⁻⁶

V-33Forklar hvorfor

x = -1

må forkastes i likningen

\log(x) + \log(x-9) = 1

, selv om det løser den ALGEBRAISKE likningen

x(x-9) = 10

korrekt.

Vis fasit

Hvorfor x=-1 forkastes
Kandidat	Gyldig?
x = −1	Nei, log(−1) er udefinert
Kravet	Både x og x−9 må være positive

x(x-9)=10 er en omskrivning som MISTER kravet om positive logaritme-argumenter
x=-1 løser den omskrevne likningen, men ikke den opprinnelige, siden log(-1) er udefinert