Eksamensoppgaver – Potenser, logaritmer og eksponentiallikninger (R1)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 1 – Oppgave 2

Uten hjelpemidler – 3 poeng

Skriv uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge. $2\ln e^3,\quad 3\lg 70,\quad e^{3\ln 2}$ Husk å begrunne svaret.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne ut den eksakte (eller tilnærmede) tallverdien til hvert av de tre uttrykkene, og deretter sortere dem.

Strategi og formel: Bruk logaritme-/eksponentregler til å forenkle hvert uttrykk til et rent tall FØR sammenligning – ikke sammenlign de "urene" uttrykkene direkte.

Trinnvis utregning:

$2\ln e^3 = 2\cdot 3 = 6$ (siden $\ln e^3=3$ )
$3\lg 70 = 3\log_{10}(70) \approx 3\cdot 1{,}845 \approx 5{,}54$
$e^{3\ln 2} = e^{\ln 2^3} = e^{\ln 8} = 8$ (siden $e^{\ln x}=x$ )
stigende rekkefølge: $3\lg 70\ (\approx 5{,}54) \to 2\ln e^3\ (=6) \to e^{3\ln 2}\ (=8)$ .

Svar: Stigende rekkefølge: $3\lg 70 < 2\ln e^3 < e^{3\ln 2}$ (verdiene er $\approx 5{,}54$ , $6$ og $8$ ).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	Forenkler alle tre uttrykk riktig til tallverdier ( $6$ , $\approx 5{,}54$ , $8$ ) ved bruk av logaritme-/eksponentregler (ikke bare kalkulator uten vist mellomregning), og setter dem i riktig stigende rekkefølge.
2/3	Forenkler to av de tre uttrykkene riktig, men gjør en regelfeil på det tredje (f.eks. $e^{3\ln 2}=3\cdot 2=6$ ved å forveksle med produktregelen i stedet for $e^{\ln(\cdot)}$ -kanselleringen).
1/3	Regner ut alle tre kun ved kalkulator uten å vise/forstå regelen som forenkler dem (mister poeng for manglende begrunnelse, selv om rekkefølgen blir riktig).
0/3	Bruker feil logaritme-/eksponentregler gjennomgående (f.eks. $\ln e^3=e^3$ i stedet for $3$ ).

Sensor-tips

Den vanligste feilen er å glemme at $\ln e^3=3$ (IKKE $e^3$ ) og $e^{\ln 8}=8$ (IKKE $\ln 8$ eller noe annet) – dette er de to kanselleringsreglene ( $\ln(e^x)=x$ og $e^{\ln x}=x$ ) som hele oppgaven bygger på.
Godta både eksakt håndregning og kalkulatorbruk for $3\lg 70$ (dette tallet forenkles ikke til noe pent uttrykk), men eleven bør vise HVORFOR de to andre uttrykkene forenkles til hele tall.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Høst 2023, Del 1, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 6 poeng

En influensaepidemi bryter ut på en videregående skole med 1 000 elever. I starten er det få smittede, men antallet øker raskt. Antallet smittede elever $S(t)$ etter $t$ dager er tilnærmet gitt ved $S(t) = \dfrac{300}{1+28\cdot e^{-0{,}3t}}$ .

a) Hvor lang tid tar det før 100 elever er smittet?

b) På hvilket tidspunkt blir flest elever smittet, og hvor raskt sprer smitten seg da?

c) Undersøk om $S$ har asymptoter, og forklar hvilken praktisk tolkning asymptotene eventuelt har.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi løse $S(t)=100$ for $t$ . I b) skal vi finne VENDEPUNKTET til den logistiske kurven (der spredningsFARTEN, altså $S'(t)$ , er størst) – for en logistisk modell skjer dette alltid der antallet smittede er HALVPARTEN av bæreevnen. I c) skal vi finne grenseverdiene til $S(t)$ når $t\to\pm\infty$ .

Strategi og formel: a) Løs likningen $S(t)=100$ algebraisk (isoler eksponentialleddet). b) Bruk enten CAS/graftegner til å finne toppunktet til $S'(t)$ direkte, eller bruk den kjente egenskapen til logistiske modeller: vendepunktet er der $S(t)=\frac{B}{2}$ (halvparten av bæreevnen $B$ ). c) Undersøk $\lim_{t\to\infty} S(t)$ og $\lim_{t\to-\infty}S(t)$ .

Trinnvis utregning:

a) $\dfrac{300}{1+28e^{-0{,}3t}}=100 \Rightarrow 300=100(1+28e^{-0{,}3t}) \Rightarrow 3=1+28e^{-0{,}3t} \Rightarrow 2=28e^{-0{,}3t} \Rightarrow e^{-0{,}3t}=\dfrac{1}{14} \Rightarrow -0{,}3t=\ln\dfrac{1}{14} \Rightarrow t=\dfrac{\ln 14}{0{,}3}\approx 8{,}80$ dager. b) Bæreevnen er $B=300$ (telleren, verdien $S(t)$ nærmer seg for store $t$ )
vendepunktet er der $S(t)=150$ . Ved graftegner/CAS (finn nullpunktet til $S''(t)$ , eller finn toppunktet til $S'(t)$ direkte) er dette ved $t\approx 11{,}1$ dager, med $S'(11{,}1)\approx 22{,}5$ elever/dag. c) $\lim_{t\to\infty}S(t)=\dfrac{300}{1+28\cdot 0}=300$
horisontal asymptote $S=300$ : på lang sikt smittes maksimalt $300$ av de $1 000$ elevene. $\lim_{t\to-\infty}S(t)=\dfrac{300}{1+28\cdot\infty}=0$
asymptote $S=0$ bakover i tid: modellen viser ingen smittede langt før utbruddet startet (naturlig, men praktisk mindre relevant siden modellen bare gjelder for $t\geq 0$ ).

Svar: a) Etter $t\approx 8{,}8$ dager. b) Flest smittes per dag ved $t\approx 11{,}1$ dager, med en spredningsfart på $\approx 22{,}5$ elever/dag (da er $150$ elever smittet – halvparten av bæreevnen). c) $S$ har horisontal asymptote $S=300$ ( $t\to\infty$ ): maksimalt $300$ elever smittes til sammen; og $S=0$ ( $t\to-\infty$ , mindre praktisk relevant).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Løser riktig $t\approx 8{,}8$ i a), identifiserer riktig at vendepunktet er der $S=150$ (halve bæreevnen) og finner riktig $t\approx 11{,}1$ med spredningsfart $\approx 22{,}5$ i b), og finner begge asymptotene med riktig praktisk tolkning i c).
4/6	Riktig i a) og c), men i b) finnes vendepunktet uten å bruke halvparten-av-bæreevnen-innsikten (f.eks. ved å bare gjette et tidspunkt), eller spredningsfarten oppgis ikke.
2/6	Riktig algebraisk løsning i a), men ingen fungerende strategi i b), og kun én av de to asymptotene funnet i c).
0/6	Feil isolering av eksponentialleddet i a) (f.eks. glemmer å trekke fra $1$ før divisjon), og ingen fungerende strategi videre.

Sensor-tips

Egenskapen «vendepunktet til en logistisk modell er der funksjonsverdien er nøyaktig halvparten av bæreevnen» er en nyttig SNARVEI som sparer mye algebra i b) – godta både denne og en direkte $S''(t)=0$ -utregning, men sjekk at eleven har en FORKLARING, ikke bare et tall hentet fra graftegneren uten begrunnelse.
I c) er $S=0$ -asymptoten bakover i tid matematisk korrekt, men praktisk mindre relevant siden modellen kun beskriver situasjonen for $t\geq 0$ (etter utbruddet) – godta at eleven nevner denne begrensningen, men ikke krev det for full uttelling.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 1