Parameterframstilling av en linje

En linje gjennom punktet $(x_0, y_0)$ med RETNINGSVEKTOR $(a, b)$ har parameterframstillingen $x = x_0 + at$ , $y = y_0 + bt$ . For hver verdi av parameteren $t$ gir dette ETT punkt på linjen: $t = 0$ gir startpunktet $(x_0, y_0)$ , og andre $t$ -verdier gir andre punkter langs linjen i retningen $(a, b)$ .

$x = x_0 + at, \quad y = y_0 + bt$

Parameterframstilling av en linje
Del	Betydning
(x₀, y₀)	Et kjent punkt på linjen
(a, b)	Retningsvektoren
t	Parameteren – hver verdi gir ett punkt

Tips

Sjekk alltid at $t = 0$ gir NØYAKTIG startpunktet $(x_0, y_0)$ – en rask sjekk for å bekrefte at du har satt opp parameterframstillingen riktig.
Retningsvektoren $(a, b)$ er IKKE unik – enhver vektor PARALLELL med linjen (som $(2a, 2b)$ ) fungerer også, og gir samme linje, bare med en annen «fart» langs den.

Eksempel: Sette opp og bruke en parameterframstilling

En linje går gjennom punktet $(1, 2)$ med retningsvektor $(3, 1)$ . Sett opp parameterframstillingen, og finn punktet på linjen ved $t = 2$ .

Fra parameterframstilling til punkt
Ledd	Verdi ved t=2
x = 1 + 3t	1 + 6 = 7
y = 2 + t	2 + 2 = 4

Løsning:

Vi bruker formelen med $x_0 = 1$ , $y_0 = 2$ , $a = 3$ , $b = 1$ : $x = 1 + 3t$ , $y = 2 + t$
sett inn $t = 2$ : $x = 1 + 3 \cdot 2 = 7$ , $y = 2 + 2 = 4$ . Punktet på linjen ved $t = 2$ er $(7, 4)$ .

Alternativ forklaring/metode: Sett inn flere t-verdier og tegn punktene

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Tegne linjen punkt for punkt

Usikker på hvordan parameterframstillingen henger sammen med selve linjen? Regn ut punktene for $t = -1, 0, 1, 2$ : $(-2, 1)$ , $(1, 2)$ , $(4, 3)$ , $(7, 4)$ . Tegn disse fire punktene i et koordinatsystem – de ligger alle på SAMME rette linje, med jevn avstand mellom hvert steg i $t$ . Dette gjør sammenhengen mellom parameteren og selve linjen konkret og visuell.

Punkter langs linjen for ulike t
t	Punkt
−1	(−2, 1)
0	(1, 2)
1	(4, 3)
2	(7, 4)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva gir $t = 0$ i en parameterframstilling $x = x_0 + at$ , $y = y_0 + bt$ ?

Vis fasit

Hva t=0 gir
t-verdi	Gir
t = 0	Startpunktet (x₀, y₀)

Sett t=0: x=x₀+0=x₀, y=y₀+0=y₀
startpunktet (x₀, y₀)

L-12En linje har parameterframstilling

x = 2 + t

y = 3t

. Finn punktet ved

t = 4

Vis fasit

Finn punkt ved t=4 for x=2+t, y=3t
Komponent	Uttrykk
x	2 + 4
y	3 · 4
Punkt	(6, 12)

x = 2+4 = 6, y = 3·4 = 12, altså (6, 12)

L-13Hva representerer

(a, b)

i parameterframstillingen til en linje?

Vis fasit

Hva (a,b) representerer
Symbol	Betydning
(a, b)	Retningsvektoren til linjen

(a,b) bestemmer hvilken vei linjen går
retningsvektoren

Middels(3)

M-11En linje går gjennom

(-1, 3)

med retningsvektor

(2, -1)

. Sett opp parameterframstillingen, og finn punktet ved

t = 2

Vis fasit

Finn punkt ved t=2 for linje gjennom (-1,3)
Komponent	Uttrykk
x	−1 + 2·2
y	3 − 2
Punkt	(3, 1)

x=-1+2t, y=3-t
sett inn t=2: x=-1+4=3, y=3-2=1
(3, 1)

M-12En linje har parameterframstilling

x = 5 - t

y = 1 + 2t

. Finn punktet ved

t = 3

Vis fasit

Finn punkt ved t=3 for x=5-t, y=1+2t
Komponent	Uttrykk
x	5 − 3
y	1 + 6
Punkt	(2, 7)

x = 5-3 = 2, y = 1+6 = 7, altså (2, 7)

M-13For linjen i forrige oppgave: for hvilken

t

x = 0

Vis fasit

Finn t der x=0
Steg	Uttrykk
5 − t = 0	t = 5
Løsning	t = 5

5 - t = 0
t = 5

Vanskelig(3)

V-11En linje går gjennom

(0, 0)

med retningsvektor

(3, -2)

. Finn TO ulike

t

-verdier som gir punkter med POSITIV

y

-verdi, eller forklar hvorfor ingen finnes.

Vis fasit

Når blir y positiv?
y-fortegn	Krever
y = −2t > 0	t < 0 (negativ t)

y = -2t
for y>0 kreves t<0
t må være NEGATIV for at y skal bli positiv, siden retningsvektorens y-komponent er negativ

V-12To parameterframstillinger,

x=1+2t, y=3+4t

x=1+t, y=3+2t

, beskriver de SAMME linjen eller to ulike linjer? Begrunn.

Vis fasit

Samme linje eller to ulike?
Retningsvektor	Sammenheng
(2, 4)	Parallell med (1,2)
(1, 2)	2·(1,2) = (2,4), samme linje

(2,4) = 2·(1,2), altså parallelle retningsvektorer
begge går gjennom (1,3)
samme linje, bare med ulik «fart» langs den

V-13Forklar hvorfor retningsvektoren til en linjes parameterframstilling IKKE er unik.

Vis fasit

Hvorfor retningsvektoren ikke er unik
Skalering	Effekt
(ka, kb), k ≠ 0	Samme linje, ulik «fart»

Skalerer du (a,b) med en konstant k≠0, endres bare hvor fort t 'beveger' punktet langs linjen
(ka,kb) gir samme linje som (a,b)