Fra parameterframstilling til vanlig linjelikning

Du kan OMFORME en parameterframstilling til den kjente formen $y = ax + b$ fra 1T: løs $x$ -likningen for $t$ , og sett dette uttrykket inn i $y$ -likningen. Dette er nyttig når du vil sammenligne med eller kombinere med annen kunnskap om rette linjer (som stigningstall og skjæringspunkt med $y$ -aksen).

Isolere t

$x = x_0 + at \Rightarrow t = \dfrac{x - x_0}{a}$

Fra parameterframstilling til y=ax+b
Steg	Gjør dette
1	Løs x-likningen for t
2	Sett t-uttrykket inn i y-likningen
3	Forenkle til formen y = ax + b

Tips

Stigningstallet i den ferdige likningen $y = ax + b$ blir alltid $\frac{b}{a}$ (retningsvektorens $y$ -komponent delt på $x$ -komponenten) – en rask sjekk på svaret.
Denne omformingen fungerer KUN når $a \neq 0$ (retningsvektoren ikke er loddrett) – en loddrett linje kan ikke skrives som $y = ax + b$ i det hele tatt.

Eksempel: Omforme til y = ax + b

Linjen har parameterframstilling $x = 1 + 3t$ , $y = 2 + t$ . Omform til likningen $y = ax + b$ .

Fra t til y=ax+b
Steg	Uttrykk
Løs for t	t = (x−1)/3
Sett inn i y	y = 2 + (x−1)/3
Forenklet	y = x/3 + $\frac{5}{3}$

Løsning:

Vi løser $x$ -likningen for $t$ : $x = 1 + 3t \Rightarrow t = \frac{x - 1}{3}$
sett dette inn i $y$ -likningen: $y = 2 + \frac{x-1}{3}$
skriv om med felles brøkstrek: $y = \frac{6}{3} + \frac{x-1}{3} = \frac{x + 5}{3} = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$ . Linjelikningen er $y = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}$ .

Alternativ forklaring/metode: Les av stigningstallet uten å omforme hele likningen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sjekke stigningstallet direkte fra retningsvektoren

Stigningstallet i $y = ax + b$ er ALLTID $\frac{b}{a}$ , der $(a, b)$ er retningsvektoren. For denne linjen er retningsvektoren $(3, 1)$ , så stigningstallet blir $\frac{1}{3}$ – som stemmer med svaret over, uten å måtte gjøre hele omformingen. Denne snarveien er nyttig når du KUN trenger stigningstallet, ikke hele likningen.

Direkte stigningstall vs. full omforming
Metode	Resultat
Full omforming	y = $\frac{1}{3}$ x + $\frac{5}{3}$
Direkte fra retningsvektor b/a	$\frac{1}{3}$ , samme stigningstall

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hvilket steg gjør du FØRST når du omformer en parameterframstilling til y = ax + b?

Vis fasit

Første steg i omformingen
Steg	Rekkefølge
Løs x-likningen for t	Først

t må isoleres FØR den kan settes inn i y-likningen
løs x-likningen for t først

L-22En linje har parameterframstilling

x = 2 + t

y = 3t

. Omform til

y = ax + b

Vis fasit

Omform x=2+t, y=3t
Steg	Uttrykk
Løs for t	t = x − 2
Sett inn i y	y = 3(x−2)
Forenklet	y = 3x − 6

t = x-2
y = 3(x-2) = 3x − 6

L-23Hva er stigningstallet til en linje med retningsvektor

(2, 4)

Vis fasit

Stigningstall for retning (2,4)
Steg	Uttrykk
Stigningstall	b/a = $\frac{4}{2}$
Løsning	2

Stigningstallet er b/a = $\frac{4}{2}$ = 2

Middels(3)

M-21En linje har parameterframstilling $x = \frac{t}{2}$ , $y = 1 + 4t$ . Omform til $y = ax + b$ .

Vis fasit

Omform x=t/2, y=1+4t
Steg	Uttrykk
Løs for t	t = 2x
Sett inn i y	y = 1 + 4(2x)
Forenklet	y = 8x + 1

t = 2x
y = 1 + 4(2x) = 8x + 1

M-22En linje har parameterframstilling

x = 4 + t

y = 5 + 3t

. Omform til

y = ax + b

Vis fasit

Omform x=4+t, y=5+3t
Steg	Uttrykk
Løs for t	t = x − 4
Sett inn i y	y = 5 + 3(x−4)
Forenklet	y = 3x − 7

t = x-4
y = 5 + 3(x-4) = 5+3x-12 = 3x − 7

M-23Kontroller svaret i forrige oppgave ved å sette

x = 4

inn i

y = 3x - 7

, og sjekke at det stemmer med parameterframstillingens startpunkt.

Vis fasit

Kontroller ved x=4
Steg	Uttrykk
y	3·4 − 7
Løsning	5, stemmer med startpunkt (4,5)

y = 3 gange 4 minus 7
= 12-7 = 5, stemmer med (4, 5) fra parameterframstillingen ved t=0

Vanskelig(3)

V-21En linje har parameterframstilling

x = 3t

y = 7 - 2t

. Omform til

y = ax + b

, og forklar hvorfor stigningstallet er negativt.

Vis fasit

Omform x=3t, y=7-2t
Steg	Uttrykk
Løs for t	t = x/3
Sett inn i y	y = 7 − 2(x/3)
Forenklet	y = − $\frac{2}{3}$ x + 7

t = x/3
y = 7 - 2(x/3) = -( $\frac{2}{3}$ )x + 7
negativt stigningstall fordi retningsvektoren (3,-2) peker delvis nedover mens den peker fremover i x

V-22Forklar hvorfor omformingen til $y = ax + b$ IKKE fungerer for en linje med retningsvektor $(0, 5)$ (en loddrett linje).

Vis fasit

Hvorfor omformingen svikter for (0,5)
Komponent	Problem
x-komponent = 0	Kan ikke isolere t (divisjon med 0)

x = x₀ + 0·t = x₀ (konstant)
t kan ikke isoleres fra x-likningen
en loddrett linje har ingen entydig y=ax+b-form

V-23Vis at parameterframstillingene

x=1+2t,y=3+4t

x=1+t,y=3+2t

gir SAMME likning

y=ax+b

, selv om de har ulike retningsvektorer.

Vis fasit

Vis at begge gir samme likning
Parameterframstilling	Resultat
Første: t=(x−1)/2	y = 2x + 1
Andre: t=x−1	y = 2x + 1, samme likning

Første: t=(x-1)/2
y=3+4·(x-1)/2=3+2(x-1)=2x+1
andre: t=x-1
y=3+2(x-1)=2x+1
begge gir y = 2x + 1, siden retningsvektorene er parallelle