Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 2 – Oppgave 5

Med hjelpemidler – 8 poeng

En ishockeybane er 60 m lang og 30 m bred. Vi plasserer et koordinatsystem slik at origo er midt på banen: $x$ -aksen langs lengderetningen (banen strekker seg fra $x=-30$ til $x=30$ ), og $y$ -aksen langs breddretningen (fra $y=-15$ til $y=15$ ).

En hockeyspiller sendte av gårde en puck. Vektorfunksjonen $\vec{r}$ gitt ved $\vec{r}(t) = \big[8(e^{-t}-t),\ 5(e^{-t}-t)\big]$ gir puckens posisjon $t$ sekunder etter at den ble sendt av gårde. Denne vektorfunksjonen gir puckens posisjon helt til den treffer vantet (veggen på banen).

a) Hvilken fart hadde pucken idet den ble sendt av gårde?

b) Hvor lang tid gikk det før pucken traff vantet?

En annen hockeyspiller var i posisjonen $P(-18,11)$ da pucken ble sendt av gårde. Spilleren hadde konstant fart $\vec{v} = [3,-7]$ .

c) Begrunn at denne spilleren ikke ble truffet av pucken.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi finne farten (farten er lengden til hastighetsvektoren $\vec{r}\,'(t)$ ) idet pucken sendes av gårde, altså ved $t=0$ . I b) skal vi finne når pucken når banens kant (vantet). I c) skal vi undersøke om den andre spillerens posisjon NOENSINNE stemmer overens med puckens posisjon på SAMME tidspunkt.

Strategi og formel: a) Deriver $\vec{r}(t)$ for å finne hastighetsvektoren $\vec{r}\,'(t)$ , sett inn $t=0$ , og regn ut lengden. b) Følg puckens $x$ - og $y$ -koordinat over tid, og finn det første tidspunktet der $|x|=30$ eller $|y|=15$ (grafisk/numerisk med graftegner, siden likningen ikke løses enkelt for hånd). c) Puckens bane ligger hele tiden på linjen $y=\frac{5}{8}x$ (siden $y$ -koordinaten alltid er $\frac{5}{8}$ av $x$ -koordinaten). Sett opp spillerens posisjon som funksjon av $t$ , og undersøk om spillerens posisjon og puckens posisjon noensinne er like ved SAMME $t$ – ikke bare om banene deres krysser hverandre i rommet.

Trinnvis utregning:

a) $\vec{r}\,'(t)=\big[-8(e^{-t}+1),\ -5(e^{-t}+1)\big]$
$\vec{r}\,'(0)=[-8(1+1),\ -5(1+1)]=[-16,-10]$
farten er $|\vec{r}\,'(0)|=\sqrt{(-16)^2+(-10)^2}=\sqrt{356}=2\sqrt{89}\approx 18{,}87$ m/s. b) Ved graftegning/numerisk søk finner vi at $|y|=15$ (pucken treffer langsiden av vantet) inntreffer først, ved $t\approx 3{,}05$ s (da er $x\approx -24$ , $y\approx -15$ – innenfor banens lengde, så det er faktisk langsiden pucken treffer). c) Puckens bane: siden $r_y(t)=\frac{5}{8}r_x(t)$ for alle $t$ , ligger hele puckens bane på linjen $y=\frac{5}{8}x$ . Spillerens posisjon ved tid $t$ er $(-18+3t,\ 11-7t)$ . For at spilleren skal bli truffet, må spillerens posisjon og puckens posisjon være IDENTISKE ved samme $t$ – ikke bare ligge på samme linje. Ved numerisk sammenligning av avstanden mellom spiller og puck for $t\in[0,\,3{,}05]$ (perioden pucken faktisk er i spill) er MINSTE avstand omtrent $6{,}6$ m, ved $t\approx 1{,}81$ s – aldri null. Spilleren ble derfor ikke truffet.

Svar: a) Farten var $2\sqrt{89}\approx 18{,}9$ m/s. b) Pucken traff vantet etter $t\approx 3{,}05$ sekunder. c) Spilleren ble ikke truffet – minste avstand mellom spiller og puck i løpet av puckens flukt var ca. $6{,}6$ m, ved $t\approx 1{,}8$ s.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 8 poeng)

Poeng	Krav
8/8	Deriverer $\vec{r}(t)$ riktig og finner korrekt fart $2\sqrt{89}\approx 18{,}9$ m/s i a), finner (grafisk/numerisk) riktig tidspunkt $t\approx 3{,}05$ s i b), og gjennomfører i c) en fullstendig begrunnelse som sammenligner POSISJONENE ved samme $t$ (ikke bare om banene som geometriske linjer krysser hverandre), med riktig konklusjon om at spilleren ikke ble truffet.
5/8	Riktig i a) og b), men i c) begrunnes svaret KUN ved å vise at banene (som rette linjer) krysser hverandre et sted, uten å sjekke om puck og spiller er der SAMTIDIG – dette er ufullstendig argumentasjon selv om konklusjonen tilfeldigvis blir riktig.
3/8	Riktig fart i a), men mangler en fungerende strategi for å finne tidspunktet i b) (f.eks. løser algebraisk uten graftegner og gir opp), og ingen fungerende strategi i c).
0/8	Deriverer $\vec{r}(t)$ feil (f.eks. glemmer at $\frac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}$ , ikke $e^{-t}$ ), som gir feil fart i a) og kaskaderer videre.

Sensor-tips

Den viktigste distinksjonen i c) er GEOMETRISK KRYSNING (banene som linjer møtes) versus SAMTIDIG TILSTEDEVÆRELSE (begge er på det punktet ved SAMME $t$ ) – to rette linjer i planet krysser hverandre nesten alltid et sted, men det beviser INGENTING om kollisjon med mindre tidspunktene også stemmer overens. Godta kun løsninger som faktisk sjekker tidsavhengigheten.
I b) er det ikke forventet at eleven løser $|x|=30$ eller $|y|=15$ algebraisk for hånd (ingen enkel lukket løsning finnes for en likning med $e^{-t}$ og $t$ blandet) – bruk av graftegner/CAS er den forventede metoden.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Høst 2023, Del 2, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 6 poeng

To biler, $A$ og $B$ , kjører på hver sin vei. Posisjonen til bil $A$ er gitt ved $\vec{r}_A(t)$ , og posisjonen til bil $B$ er gitt ved $\vec{r}_B(t)$ , der $\vec{r}_A(t) = \left[\dfrac{1}{2}(t-4),\ t\right]$ og $\vec{r}_B(t) = \left[\dfrac{1}{2}t,\ \dfrac{3}{2}\left(t-\dfrac{1}{5}\right)\right]$ . Her er $t$ tiden målt i minutter, og avstandene er målt i kilometer.

a) Bestem avstanden i luftlinje mellom bilene etter 1 minutt.

En av veiene er en motorvei. Den andre veien er en vei med lavere fartsgrense.

b) Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som er på motorveien.

Veiene krysser hverandre i et veikryss.

c) Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som kommer til veikrysset først.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi finne avstanden mellom to punkter ved et gitt tidspunkt. I b) skal vi bruke FARTEN (lengden av hastighetsvektoren) til å avgjøre hvilken bil som mest sannsynlig er på motorveien (høyere konstant fart). I c) skal vi finne veikrysset (der de to RETE BANENE faktisk møtes i rommet) og regne ut hvilken bil som NÅR DIT først i tid.

Strategi og formel: a) Sett $t=1$ inn i begge posisjonsfunksjonene, og regn ut avstanden mellom de to punktene. b) Deriver begge posisjonsfunksjonene – siden begge er LINEÆRE i $t$ , er farten KONSTANT for begge biler. Sammenlign de to konstante fartene. c) Begge baner er rette linjer (siden posisjonsfunksjonene er lineære i $t$ ) – finn linjelikningene ved å eliminere $t$ , finn skjæringspunktet, og regn deretter ut hvilken $t$ -verdi HVER bil bruker på å nå akkurat det punktet.

Trinnvis utregning:

a) $\vec{r}_A(1)=\left[\frac{1}{2}(1-4),\,1\right]=\left[-\frac{3}{2},1\right]$ . $\vec{r}_B(1)=\left[\frac{1}{2},\,\frac{3}{2}\left(1-\frac{1}{5}\right)\right]=\left[\frac{1}{2},\,\frac{6}{5}\right]$ . Avstand: $\sqrt{\left(-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(1-\frac{6}{5}\right)^2}=\sqrt{(-2)^2+\left(-\frac{1}{5}\right)^2}=\sqrt{4+\frac{1}{25}}=\sqrt{\frac{101}{25}}=\frac{\sqrt{101}}{5}\approx 2{,}01$ km. b) $\vec{r}_A\,'(t)=\left[\frac{1}{2},1\right]$
farten er konstant $\left|\left[\frac{1}{2},1\right]\right|=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt5}{2}\approx 1{,}118$ km/min $\approx 67{,}1$ km/h. $\vec{r}_B\,'(t)=\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$
farten er konstant $\left|\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]\right|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\approx 1{,}581$ km/min $\approx 94{,}9$ km/h. Bil $B$ holder høyest konstant fart ( $\approx 94{,}9$ km/h) – det tyder på at bil $B$ er på motorveien. c) Eliminer $t$ fra hver bane: for $A$ , $x=\frac{1}{2}(t-4)\Rightarrow t=2x+4$ , og $y=t=2x+4$
linje $A$ : $y=2x+4$ . For $B$ , $x=\frac{1}{2}t\Rightarrow t=2x$ , og $y=\frac{3}{2}(t-\frac{1}{5})=\frac{3}{2}(2x-\frac{1}{5})=3x-\frac{3}{10}$
linje $B$ : $y=3x-0{,}3$ . Skjæring: $2x+4=3x-0{,}3 \Rightarrow x=4{,}3$ , $y=2(4{,}3)+4=12{,}6$ . Krysset er $(4{,}3,\,12{,}6)$ . Tid for $A$ å nå $x=4{,}3$ : $t_A=2(4{,}3)+4=12{,}6$ min. Tid for $B$ : $t_B=2(4{,}3)=8{,}6$ min. Bil $B$ når krysset først ( $8{,}6$ min mot $12{,}6$ min) – konsistent med at $B$ også er raskest.

Svar: a) Avstanden etter 1 minutt er $\frac{\sqrt{101}}{5}\approx 2{,}01$ km. b) Bil $B$ er på motorveien (konstant fart $\approx 94{,}9$ km/h mot $A$ s $\approx 67{,}1$ km/h). c) Bil $B$ kommer først til veikrysset (etter $8{,}6$ min, mot $A$ s $12{,}6$ min).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Riktig avstand $\frac{\sqrt{101}}{5}$ km i a), riktig identifisering av $B$ som motorvei-bilen med riktige fartsberegninger i b), og riktig utledning av begge linjelikningene, skjæringspunktet og begge $t$ -verdiene i c) med korrekt konklusjon om at $B$ kommer først.
4/6	Riktig i a) og b), men gjør en feil i eliminasjonen av $t$ i c) (f.eks. bytter om $x$ / $y$ -uttrykket for én av bilene), som gir feil skjæringspunkt men en ellers konsistent utregning.
2/6	Riktig avstand i a), men resonnerer i b) uten faktisk å beregne fartene (f.eks. gjetter basert på tallstørrelser i posisjonsuttrykket alene), og har ingen fungerende strategi i c).
0/6	Bruker feil formel for avstand mellom to punkter i a) (f.eks. glemmer å kvadrere), og ingen fungerende strategi videre.

Sensor-tips

Nøkkelinnsikten i b) er at BEGGE posisjonsfunksjonene er LINEÆRE i $t$ , som betyr KONSTANT fart for begge biler – argumentet handler om å SAMMENLIGNE to konstante farter, ikke om å finne akselerasjon eller variasjon (ingen av bilene har variabel fart her, i motsetning til en del lignende oppgaver med kvadratiske/kubiske posisjonsuttrykk).
I c) er det en vanlig snarvei-feil å anta at bilen med høyest fart automatisk kommer først til krysset – det stemmer i DETTE tilfellet, men må vises eksplisitt med faktiske $t$ -verdier, siden bilene ikke nødvendigvis starter like langt unna krysset.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 3