Anvendelser i naturvitenskap

Parameterframstillinger er spesielt nyttige når parameteren $t$ representerer TID: da beskriver $x(t)$ og $y(t)$ POSISJONEN til et objekt i bevegelse langs en rett linje ved hvert tidspunkt – som en drone, en båt, eller en partikkel. Du kan bruke likningene til å finne posisjonen ved et gitt tidspunkt, eller til å finne TIDSPUNKTET der objektet når en bestemt posisjon (som når det krysser en akse).

Posisjon som funksjon av tid

$x(t) = x_0 + at, \quad y(t) = y_0 + bt$

t som tid i en bevegelse
Spørsmål	Hvordan svare
Hvor er objektet ved tidspunkt t?	Sett t inn i x(t) og y(t)
Når når objektet en gitt posisjon?	Løs likningen x(t)=verdi eller y(t)=verdi for t

Tips

Skal du finne NÅR et objekt krysser en akse eller når en bestemt høyde, løs likningen for DEN koordinaten (x eller y) FØRST, og sett så $t$ -verdien inn i den ANDRE koordinaten.
Sjekk at $t$ -verdien faktisk gir MENING i konteksten (for eksempel $t \geq 0$ hvis $t$ representerer tid etter et startpunkt) – en negativ tid er ofte ikke en gyldig løsning.

Eksempel: En drones rette flybane mot bakken

En drone flyr langs en rett linje med posisjon $(x(t), y(t)) = (0, 5) + t \cdot (3, -1)$ , der $t$ er tid i sekunder, $x$ er horisontal avstand i meter og $y$ er høyde i meter. Når treffer dronen bakken ( $y = 0$ ), og hvor langt horisontalt har den da flydd?

Fra bakkekontakt til horisontal avstand
Steg	Verdi
y(t) = 0	5 − t = 0 → t = 5
x(5)	3 · 5 = 15 m

Løsning:

Posisjonslikningene er $x(t) = 3t$ og $y(t) = 5 - t$
dronen treffer bakken når $y(t) = 0$ : $5 - t = 0 \Rightarrow t = 5$
sett $t = 5$ inn i $x(t)$ : $x(5) = 3 \cdot 5 = 15$ . Dronen treffer bakken etter $5$ sekunder, $15$ meter horisontalt fra startpunktet.

Alternativ forklaring/metode: Regn ut posisjonen ved flere t-verdier og se mønsteret

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sette opp som en tabell over flere tidspunkt

I stedet for å løse likningen direkte, regn ut posisjonen ved $t = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ : høyden $y$ blir $5, 4, 3, 2, 1, 0$ – et tydelig mønster som viser at bakkekontakt ( $y=0$ ) skjer nøyaktig ved $t=5$ . Denne trinnvise metoden er mer tidkrevende, men gir god intuisjon for hvordan posisjonen endres jevnt med tiden.

Posisjon ved flere t-verdier
t	y
0	5
1	4
2	3
3	2
4	1
5	0, bakkekontakt

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31I en parameterframstilling der $t$ er tid, hva representerer $x(t)$ og $y(t)$ ?

Vis fasit

Hva x(t) og y(t) representerer
Symbol	Betydning
x(t), y(t)	Posisjonen til objektet ved tidspunkt t

x(t) og y(t) gir koordinatene til objektet
posisjonen ved tidspunkt t

L-32En partikkel har posisjon

(x(t), y(t)) = (1, 2) + t \cdot (2, 3)

. Finn posisjonen ved

t = 5

Vis fasit

Posisjon ved t=5
Komponent	Uttrykk
x(5)	1 + 2·5
y(5)	2 + 3·5
Posisjon	(11, 17)

x(5) = 1+2·5 = 11, y(5) = 2+3·5 = 17, altså (11, 17)

L-33Hvorfor er en negativ

t

-verdi ofte IKKE en gyldig løsning i et bevegelsesproblem?

Vis fasit

Hvorfor negativ t ofte ikke er gyldig
t-verdi	Gyldighet
t < 0	Ofte ugyldig (før starttidspunktet)

t er tid ETTER start
en negativ t-verdi ligger FØR starten, som ofte er utenfor problemets gyldige område

Middels(3)

M-31En robotbåt har posisjon

(x(t), y(t)) = (2, -1) + t \cdot (4, 3)

meter,

t

i minutter. Finn posisjonen ved

t = 3

minutter.

Vis fasit

Robotbåtens posisjon ved t=3
Komponent	Uttrykk
x(3)	2 + 4·3
y(3)	−1 + 3·3
Posisjon	(14, 8)

x(3) = 2+4·3 = 14, y(3) = -1+3·3 = 8, altså (14, 8)

M-32For robotbåten i forrige oppgave: når krysser den

x

-aksen (

y = 0

Vis fasit

Når robotbåten krysser x-aksen
Steg	Uttrykk
−1 + 3t = 0	3t = 1
Løsning	t = $\frac{1}{3}$ minutt

-1+3t = 0
3t = 1
t = $\frac{1}{3}$ minutt

M-33Finn $x$ -posisjonen til robotbåten når den krysser $x$ -aksen (bruk $t = \frac{1}{3}$ fra forrige oppgave).

Vis fasit

x-posisjon ved t=1/3
Steg	Uttrykk
x( $\frac{1}{3}$ )	2 + 4·( $\frac{1}{3}$ )
Løsning	≈3,33 m

x( $\frac{1}{3}$ ) = 2 + 4·( $\frac{1}{3}$ ) = 2 + $\frac{4}{3}$
≈3,33 m

Vanskelig(3)

V-31En partikkel har posisjon $(x(t), y(t)) = (1, 2) + t \cdot (2, 3)$ . Finn tidspunktet $t$ der $x(t) = 11$ , og bekreft at $y$ -verdien da stemmer med svaret fra en tidligere oppgave i dette temaet.

Vis fasit

Finn t der x(t)=11
Steg	Uttrykk
1 + 2t = 11	2t = 10
t	5
y(5)	17, stemmer

1+2t = 11
2t = 10
t=5
y(5) = 2+3·5 = 17
stemmer med posisjonen (11, 17) funnet tidligere

V-32En drone flyr med

(x(t), y(t)) = (0, 8) + t \cdot (5, -2)

. Sammenlign tiden det tar å treffe bakken med drone-eksempelet i hovedeksempelet – hvilken drone bruker lengst tid, og hvorfor?

Vis fasit

Sammenlign tid til bakkekontakt
Drone	Tid til bakken
Hovedeksempelet (synker 1 m/s)	5 s
Denne (synker 2 m/s)	4 s, raskere

8 - 2t = 0
t = 4
hovedeksempelet brukte t=5
denne dronen lander raskere fordi den synker 2 m/s, mot 1 m/s i hovedeksempelet

V-33Forklar hvorfor det er nyttig å bruke EN parameter

t

for BÅDE

x

y

i et bevegelsesproblem, i stedet for å beskrive

x

y

helt uavhengig av hverandre.

Vis fasit

Hvorfor felles parameter t er nyttig
Situasjon	Konsekvens
Uten felles t	To separate, ukoblede historier
Med felles t	Vet alltid EKSAKT punkt ved gitt tidspunkt

Uten en felles parameter ville x og y vært to separate, ukoblede historier
med felles t vet man alltid det EKSAKTE punktet (x(t), y(t)) ved et gitt tidspunkt