Sentralgrensesetningen

SENTRALGRENSESETNINGEN sier at gjennomsnittet av mange UAVHENGIGE observasjoner av EN HVILKEN SOM HELST stokastisk variabel er TILNÆRMET normalfordelt, selv om variabelen selv ikke er det: forutsatt at antallet observasjoner $n$ er stort nok (ofte $n \geq 30$ som tommelfingerregel). Gjennomsnittet $\bar{X}$ har samme forventningsverdi $\mu$ som enkeltobservasjonen, men et MINDRE standardavvik: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Jo flere observasjoner, jo tettere samler gjennomsnittet seg rundt $\mu$ .

Standardavvik til gjennomsnittet

$\sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Terningkast: enkeltkast vs. gjennomsnitt av 36 kast
Størrelse	Enkeltkast	Gjennomsnitt av 36 kast
Forventningsverdi	3,5	3,5
Standardavvik	≈1,71	≈0,28
Fordeling	Uniform (flat)	Tilnærmet normalfordelt

Tips

Selve enkeltobservasjonen (ett terningkast) er IKKE normalfordelt. Den er uniform, hver verdi like sannsynlig. Det er GJENNOMSNITTET av mange kast som blir tilnærmet normalfordelt, ikke terningkastet selv.
Standardavviket til gjennomsnittet krymper med $\sqrt{n}$ , ikke med $n$ , for å halvere standardavviket trenger du FIRE ganger så mange observasjoner, ikke dobbelt så mange.

Eksempel: Gjennomsnitt av mange terningkast

Et terningkast har forventningsverdi $\mu = 3{,}5$ og standardavvik $\sigma \approx 1{,}71$ . Finn standardavviket til gjennomsnittet av $36$ uavhengige terningkast, og forklar hva tallet betyr.

Løsning:

Sentralgrensesetningen gir $\sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{1{,}71}{\sqrt{36}} = \dfrac{1{,}71}{6} \approx 0{,}28$
gjennomsnittet av $36$ kast samler seg TETT rundt $3{,}5$ , med et standardavvik på bare $0{,}28$ (mot $1{,}71$ for ett enkelt kast)
gjennomsnittet av mange kast er langt mer forutsigbart enn ett enkelt kast.

Beregning av σ til gjennomsnittet
Størrelse	Verdi
σ (enkeltkast)	≈1,71
n	36
σ/ $\sqrt{n}$	≈0,28

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21En stokastisk variabel har $\sigma = 12$ . Finn standardavviket til gjennomsnittet av $n = 9$ uavhengige observasjoner.

Vis fasit

σ/ $\sqrt{n}$ = 12/ $\sqrt{9}$ = $\frac{12}{3}$
4

L-22Forklar med egne ord hvorfor sentralgrensesetningen gjør det mulig å bruke normalfordelingen selv når enkeltobservasjonene ikke er normalfordelte.

Vis fasit

Sentralgrensesetningen gjelder for UAVHENGIGE observasjoner av en HVILKEN SOM HELST fordeling
ved stor nok n
gjennomsnittet blir tilnærmet normalfordelt

L-23En stokastisk variabel har $\sigma = 24$ . Finn standardavviket til gjennomsnittet av $n = 4$ uavhengige observasjoner.

Vis fasit

σ/ $\sqrt{n}$ = 24/ $\sqrt{4}$ = $\frac{24}{2}$
12

Middels(3)

M-21Hvor mange ganger flere observasjoner trengs for å halvere standardavviket til gjennomsnittet? Svar med bare tallet.

Vis fasit

σ/ $\sqrt{n}$ skal halveres
$\sqrt{n}$ må dobles
n må firedobles
4 ganger flere observasjoner

M-22En maskin fyller flasker med et standardavvik på $\sigma = 6$ ml per flaske. Finn standardavviket til gjennomsnittsvolumet i en stikkprøve på $n = 100$ flasker. Svar i ml.

Vis fasit

σ/ $\sqrt{n}$ = 6/ $\sqrt{100}$ = $\frac{6}{10}$
0,6 ml

M-23En stokastisk variabel har $\sigma = 20$ . Hvor mange observasjoner $n$ trengs for at standardavviket til gjennomsnittet skal bli $2$ ?

Vis fasit

20/ $\sqrt{n}$ = 2
$\sqrt{n}$ = 10
n = 100

Vanskelig(3)

V-21En variabel har $\mu = 40$ og $\sigma = 15$ . Bruk sentralgrensesetningen til å finne sannsynligheten for at gjennomsnittet av $n = 25$ observasjoner ligger over $43$ . Svar i prosent.

Vis fasit

σ_gjennomsnitt = 15/ $\sqrt{25}$ = 3
z = (43-40)/3 = 1
digitalt verktøy gir
P(gjennomsnitt>43) ≈ 0,159, altså 15,9 %

V-22En fabrikk hevder at komponentene deres har levetid $\mu = 500$ timer, $\sigma = 40$ timer. En stikkprøve på $n = 64$ komponenter har gjennomsnittlig levetid $\bar{x} = 490$ timer. Finn standardavviket til gjennomsnittet, og vurder om $490$ timer er et overraskende resultat dersom fabrikkens påstand stemmer.

Vis fasit

σ/ $\sqrt{n}$ = 40/ $\sqrt{64}$ = $\frac{40}{8}$ = 5
z = (490-500)/5 = -2
to standardavvik under forventet
ganske uvanlig, men ikke ekstremt sjeldent

V-23Forklar hvorfor sentralgrensesetningen er selve GRUNNLAGET for hypotesetesting med gjennomsnitt av stikkprøver.

Vis fasit

Hypotesetesting trenger å vite hvordan et stikkprøvegjennomsnitt FORDELER seg under H0
sentralgrensesetningen garanterer tilnærmet normalfordeling
dette gjør z-verdier og p-verdier beregnbare