NumiSum

Sentralgrensesetningen

SENTRALGRENSESETNINGEN sier at gjennomsnittet av mange UAVHENGIGE observasjoner av EN HVILKEN SOM HELST stokastisk variabel er TILNÆRMET normalfordelt, selv om variabelen selv ikke er det – forutsatt at antallet observasjoner nn er stort nok (ofte n≥30n \geq 30 som tommelfingerregel). Gjennomsnittet Xˉ\bar{X} har samme forventningsverdi μ\mu som enkeltobservasjonen, men et MINDRE standardavvik: σn\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} – jo flere observasjoner, jo tettere samler gjennomsnittet seg rundt μ\mu.

Standardavvik til gjennomsnittet

σXˉ=σn\sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

Terningkast: enkeltkast vs. gjennomsnitt av 36 kast
StørrelseEnkeltkastGjennomsnitt av 36 kast
Forventningsverdi3,53,5
Standardavvik≈1,71≈0,28
FordelingUniform (flat)Tilnærmet normalfordelt

Tips

  • Selve enkeltobservasjonen (ett terningkast) er IKKE normalfordelt – den er uniform, hver verdi like sannsynlig. Det er GJENNOMSNITTET av mange kast som blir tilnærmet normalfordelt, ikke terningkastet selv.
  • Standardavviket til gjennomsnittet krymper med n\sqrt{n}, ikke med nn – for å halvere standardavviket trenger du FIRE ganger så mange observasjoner, ikke dobbelt så mange.

Eksempel: Gjennomsnitt av mange terningkast

Et terningkast har forventningsverdi μ=3,5\mu = 3,5 og standardavvik σ≈1,71\sigma \approx 1,71. Finn standardavviket til gjennomsnittet av 3636 uavhengige terningkast, og forklar hva tallet betyr.

Beregning av σ til gjennomsnittet
StørrelseVerdi
σ (enkeltkast)≈1,71
n36
σ/n\sqrt{n}≈0,28
Løsning:
  1. Sentralgrensesetningen gir σXˉ=σn=1,7136=1,716≈0,28\sigma_{\bar{X}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{1,71}{\sqrt{36}} = \dfrac{1,71}{6} \approx 0,28
  2. gjennomsnittet av 3636 kast samler seg TETT rundt 3,53,5, med et standardavvik på bare 0,280,28 (mot 1,711,71 for ett enkelt kast)
  3. gjennomsnittet av mange kast er langt mer forutsigbart enn ett enkelt kast.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21En stokastisk variabel har σ=12\sigma = 12. Finn standardavviket til gjennomsnittet av n=9n = 9 uavhengige observasjoner.

Vis fasit
StegResultat
σ/sqrtn\\sqrt{n} = 12/sqrt9\\sqrt{9}frac123\\frac{12}{3}
4
  1. σ/n\sqrt{n} = 12/9\sqrt{9} = 123\frac{12}{3}
  2. 4

L-22Forklar med egne ord hvorfor sentralgrensesetningen gjør det mulig å bruke normalfordelingen selv når enkeltobservasjonene ikke er normalfordelte.

Vis fasit
Steg
Sentralgrensesetningen gjelder for UAVHENGIGE observasjoner av en HVILKEN SOM HELST fordeling
ved stor nok n
gjennomsnittet blir tilnærmet normalfordelt
  1. Sentralgrensesetningen gjelder for UAVHENGIGE observasjoner av en HVILKEN SOM HELST fordeling
  2. ved stor nok n
  3. gjennomsnittet blir tilnærmet normalfordelt

L-23En stokastisk variabel har σ=24\sigma = 24. Finn standardavviket til gjennomsnittet av n=4n = 4 uavhengige observasjoner.

Vis fasit
StegResultat
σ/sqrtn\\sqrt{n} = 24/sqrt4\\sqrt{4}frac242\\frac{24}{2}
12
  1. σ/n\sqrt{n} = 24/4\sqrt{4} = 242\frac{24}{2}
  2. 12
Middels(3)

M-21Hvor mange ganger flere observasjoner trengs for å halvere standardavviket til gjennomsnittet?

Vis fasit
Steg
σ/sqrtn\\sqrt{n} skal halveres
sqrtn\\sqrt{n} må dobles
n må firedobles
4 ganger flere observasjoner
  1. σ/n\sqrt{n} skal halveres
  2. n\sqrt{n} må dobles
  3. n må firedobles
  4. 4 ganger flere observasjoner

M-22En maskin fyller flasker med et standardavvik på σ=6\sigma = 6 ml per flaske. Finn standardavviket til gjennomsnittsvolumet i en stikkprøve på n=100n = 100 flasker.

Vis fasit
StegResultat
σ/sqrtn\\sqrt{n} = 6/sqrt100\\sqrt{100}frac610\\frac{6}{10}
0,6 ml
  1. σ/n\sqrt{n} = 6/100\sqrt{100} = 610\frac{6}{10}
  2. 0,6 ml

M-23En stokastisk variabel har σ=20\sigma = 20. Hvor mange observasjoner nn trengs for at standardavviket til gjennomsnittet skal bli 22?

Vis fasit
StegResultat
20/sqrtn\\sqrt{n}2
sqrtn\\sqrt{n}10
==n100==
  1. 20/n\sqrt{n} = 2
  2. n\sqrt{n} = 10
  3. n = 100
Vanskelig(3)

V-21En variabel har μ=40\mu = 40 og σ=15\sigma = 15. Bruk sentralgrensesetningen til å finne sannsynligheten for at gjennomsnittet av n=25n = 25 observasjoner ligger over 4343.

Vis fasit
StegResultat
σ_gjennomsnitt = 15/sqrt25\\sqrt{25}3
z = (43-40)/31
digitalt verktøy gir
P(gjennomsnitt>43) ≈ 0,159, altså 15,9 %
  1. σ_gjennomsnitt = 15/25\sqrt{25} = 3
  2. z = (43-40)/3 = 1
  3. digitalt verktøy gir
  4. P(gjennomsnitt>43) ≈ 0,159, altså 15,9 %

V-22En fabrikk hevder at komponentene deres har levetid μ=500\mu = 500 timer, σ=40\sigma = 40 timer. En stikkprøve på n=64n = 64 komponenter har gjennomsnittlig levetid xˉ=490\bar{x} = 490 timer. Finn standardavviket til gjennomsnittet, og vurder om 490490 timer er et overraskende resultat dersom fabrikkens påstand stemmer.

Vis fasit
StegResultat
σ/sqrtn\\sqrt{n} = 40/sqrt64\\sqrt{64} = frac408\\frac{40}{8}5
z = (490-500)/5-2
to standardavvik under forventet
ganske uvanlig, men ikke ekstremt sjeldent
  1. σ/n\sqrt{n} = 40/64\sqrt{64} = 408\frac{40}{8} = 5
  2. z = (490-500)/5 = -2
  3. to standardavvik under forventet
  4. ganske uvanlig, men ikke ekstremt sjeldent

V-23Forklar hvorfor sentralgrensesetningen er selve GRUNNLAGET for hypotesetesting med gjennomsnitt av stikkprøver.

Vis fasit
Steg
Hypotesetesting trenger å vite hvordan et stikkprøvegjennomsnitt FORDELER seg under H0
sentralgrensesetningen garanterer tilnærmet normalfordeling
dette gjør z-verdier og p-verdier beregnbare
  1. Hypotesetesting trenger å vite hvordan et stikkprøvegjennomsnitt FORDELER seg under H0
  2. sentralgrensesetningen garanterer tilnærmet normalfordeling
  3. dette gjør z-verdier og p-verdier beregnbare