NumiSum

Normalfordelingen som modell

NORMALFORDELINGEN (klokkekurven) beskriver en stokastisk variabel som samler seg tett rundt et gjennomsnitt μ\mu, med et standardavvik σ\sigma som styrer hvor SPREDT kurven er. Den er symmetrisk om μ\mu, og følger 68-95-99,7-regelen: om lag 68 % av verdiene ligger innenfor ÉN standardavvik fra μ\mu, om lag 95 % innenfor TO standardavvik, og om lag 99,7 % innenfor TRE.

Standardisert verdi (z-verdi)

z=x−μσz = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

68-95-99,7-regelen
IntervallAndel av verdiene
μ ± 1σ≈68 %
μ ± 2σ≈95 %
μ ± 3σ≈99,7 %

Tips

  • Z-verdien måler hvor mange standardavvik en enkeltverdi xx ligger fra gjennomsnittet μ\mu: en z-verdi på 22 betyr «to standardavvik over gjennomsnittet», uansett hvilken måleenhet xx har.
  • Digitale verktøy (GeoGebra, regneark) regner ut sannsynligheter direkte fra μ\mu og σ\sigma. Du trenger sjelden en tabell, men FORSTÅELSEN av hva zz betyr er det du testes i.
  • Kontrollere med 68-95-99,7-regelen. 185185 cm ligger mellom μ+1σ=178\mu + 1\sigma = 178 cm og μ+2σ=186\mu + 2\sigma = 186 cm, altså mellom «68 %-grensen» og «95 %-grensen» → sannsynligheten for å være HØYERE enn dette må ligge et sted mellom 100−952=2,5\dfrac{100-95}{2} = 2{,}5 % og 100−682=16\dfrac{100-68}{2} = 16 % → det digitale svaret på 33 % er rimelig, siden 185185 cm ligger nær μ+2σ\mu+2\sigma-grensen.

Eksempel: Kroppshøyder modellert med normalfordeling

Høyden til voksne menn i en befolkning er normalfordelt med μ=170\mu = 170 cm og σ=8\sigma = 8 cm. Bruk digitalt verktøy til å finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt mann er høyere enn 185185 cm.

Løsning:
  1. Standardiser først: z=185−1708=158=1,875z = \dfrac{185 - 170}{8} = \dfrac{15}{8} = 1{,}875
  2. dette betyr at 185185 cm ligger 1,8751{,}875 standardavvik over gjennomsnittet
  3. et digitalt verktøy gir P(X>185)≈0,030P(X > 185) \approx 0{,}030, altså om lag 33 %.
Standardisering av 185 cm
StørrelseVerdi
μ170 cm
σ8 cm
z = (185−170)/81,875

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11En stokastisk variabel er normalfordelt med μ=50\mu = 50 og σ=5\sigma = 5. Hvor mange standardavvik fra gjennomsnittet ligger verdien 6060? Svar med bare tallet.

Vis fasit
  1. z = (60-50)/5 = 105\frac{10}{5}
  2. 2 standardavvik

L-12En variabel er normalfordelt med μ=100\mu = 100, σ=10\sigma = 10. Omtrent hvor stor andel av verdiene ligger mellom 9090 og 110110? Svar i prosent, avrundet til nærmeste hele tall.

Vis fasit
  1. 90 og 110 er henholdsvis μ-1σ og μ+1σ
  2. ≈68 % av verdiene

L-13Regn ut z-verdien for x=42x = 42 når μ=50\mu = 50 og σ=4\sigma = 4.

Vis fasit
  1. z = (42-50)/4 = -84\frac{8}{4}
  2. z = -2
Middels(3)

M-11Vekten til en type eple er normalfordelt med μ=150\mu = 150 g og σ=12\sigma = 12 g. Bruk digitalt verktøy til å finne P(X>170)P(X > 170). Svar i prosent.

Vis fasit
  1. z = (170-150)/12 ≈ 1,67
  2. digitalt verktøy gir
  3. P(X>170) ≈ 0,048, altså 4,8 %

M-12For en normalfordelt variabel med μ=60\mu = 60, σ=5\sigma = 5: bruk digitalt verktøy til å finne P(55<X<65)P(55 < X < 65). Svar i prosent.

Vis fasit
  1. 55 og 65 er μ-1σ og μ+1σ
  2. digitalt verktøy bekrefter
  3. P(55<X<65) ≈ 0,683, altså 68,3 %

M-13Reaksjonstiden til en gruppe bilførere er normalfordelt med μ=0,8\mu = 0{,}8 sekunder og σ=0,15\sigma = 0{,}15 sekunder. Bruk digitalt verktøy til å finne sannsynligheten for en reaksjonstid under 0,50{,}5 sekunder. Svar i prosent.

Vis fasit
  1. z = (0,5-0,8)/0,15 = -0,30\frac{3}{0},15 = -2
  2. digitalt verktøy gir
  3. P(X<0,5) ≈ 0,023, altså 2,3 %
Vanskelig(3)

V-11Levetiden til en type lyspære er normalfordelt med μ=1 200\mu = 1\ 200 timer. Om 9595 % av pærene varer mellom 1 0801\ 080 og 1 3201\ 320 timer, hva er standardavviket σ\sigma? Svar i timer.

Vis fasit
  1. 95 %-intervallet er μ ± 2σ
  2. 1 320-1 200 = 120 = 2σ
  3. σ = 60 timer

V-12En maskin fyller poser med μ=500\mu = 500 g, σ=8\sigma = 8 g (normalfordelt). Bruk digitalt verktøy til å finne hvor mange gram xx som gjør at P(X<x)=0,90P(X < x) = 0{,}90. Svar i gram.

Vis fasit
  1. Digitalt verktøy finner z slik at P(Z<z)=0,90
  2. z ≈ 1,28
  3. x = 500+1,28⋅8500 + 1{,}28 \cdot 8
  4. x ≈ 510,3 g

V-13To normalfordelte variabler har samme σ=10\sigma = 10, men XX har μ=50\mu = 50 og YY har μ=70\mu = 70. Forklar hvorfor P(X>60)P(X > 60) og P(Y>80)P(Y > 80) må være like store, uten å regne dem ut.

Vis fasit
  1. z for X: (60-50)/10 = 1
  2. z for Y: (80-70)/10 = 1
  3. samme z-verdi gir samme sannsynlighet