NumiSum

Normalfordelingen som modell

NORMALFORDELINGEN (klokkekurven) beskriver en stokastisk variabel som samler seg tett rundt et gjennomsnitt μ\mu, med et standardavvik σ\sigma som styrer hvor SPREDT kurven er. Den er symmetrisk om μ\mu, og følger 68-95-99,7-regelen: om lag 68 % av verdiene ligger innenfor ÉN standardavvik fra μ\mu, om lag 95 % innenfor TO standardavvik, og om lag 99,7 % innenfor TRE.

Standardisert verdi (z-verdi)

z=x−μσz = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

68-95-99,7-regelen
IntervallAndel av verdiene
μ ± 1σ≈68 %
μ ± 2σ≈95 %
μ ± 3σ≈99,7 %

Tips

  • Z-verdien måler hvor mange standardavvik en enkeltverdi xx ligger fra gjennomsnittet μ\mu – en z-verdi på 22 betyr «to standardavvik over gjennomsnittet», uansett hvilken måleenhet xx har.
  • Digitale verktøy (GeoGebra, regneark) regner ut sannsynligheter direkte fra μ\mu og σ\sigma – du trenger sjelden en tabell, men FORSTÅELSEN av hva zz betyr er det du testes i.

Eksempel: Kroppshøyder modellert med normalfordeling

Høyden til voksne menn i en befolkning er normalfordelt med μ=170\mu = 170 cm og σ=8\sigma = 8 cm. Bruk digitalt verktøy til å finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt mann er høyere enn 185185 cm.

Standardisering av 185 cm
StørrelseVerdi
μ170 cm
σ8 cm
z = (185−170)/81,875
Løsning:
  1. Standardiser først: z=185−1708=158=1,875z = \dfrac{185 - 170}{8} = \dfrac{15}{8} = 1,875
  2. dette betyr at 185185 cm ligger 1,8751,875 standardavvik over gjennomsnittet
  3. et digitalt verktøy gir P(X>185)≈0,030P(X > 185) \approx 0,030, altså om lag 33 %.
Alternativ forklaring/metode: Kontrollere med 68-95-99,7-regelen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Standard tommelfingerregel i statistikk

185185 cm ligger mellom μ+1σ=178\mu + 1\sigma = 178 cm og μ+2σ=186\mu + 2\sigma = 186 cm, altså mellom «68 %-grensen» og «95 %-grensen» → sannsynligheten for å være HØYERE enn dette må ligge et sted mellom 100−952=2,5\dfrac{100-95}{2} = 2,5 % og 100−682=16\dfrac{100-68}{2} = 16 % → det digitale svaret på 33 % er rimelig, siden 185185 cm ligger nær μ+2σ\mu+2\sigma-grensen.

Grenser fra 68-95-99,7-regelen
GrenseVerdiAndel over
μ + 1σ178 cm16 %
185 cm (spørsmålet)mellom grenseneet sted mellom 2,5 % og 16 %
μ + 2σ186 cm2,5 %

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11En stokastisk variabel er normalfordelt med μ=50\mu = 50 og σ=5\sigma = 5. Hvor mange standardavvik fra gjennomsnittet ligger verdien 6060?

Vis fasit
StegResultat
z = (60-50)/5frac105\\frac{10}{5}
2 standardavvik
  1. z = (60-50)/5 = 105\frac{10}{5}
  2. 2 standardavvik

L-12En variabel er normalfordelt med μ=100\mu = 100, σ=10\sigma = 10. Omtrent hvor stor andel av verdiene ligger mellom 9090 og 110110?

Vis fasit
Steg
90 og 110 er henholdsvis μ-1σ og μ+1σ
≈68 % av verdiene
  1. 90 og 110 er henholdsvis μ-1σ og μ+1σ
  2. ≈68 % av verdiene

L-13Regn ut z-verdien for x=42x = 42 når μ=50\mu = 50 og σ=4\sigma = 4.

Vis fasit
StegResultat
z = (42-50)/4-frac84\\frac{8}{4}
==z-2==
  1. z = (42-50)/4 = -84\frac{8}{4}
  2. z = -2
Middels(3)

M-11Vekten til en type eple er normalfordelt med μ=150\mu = 150 g og σ=12\sigma = 12 g. Bruk digitalt verktøy til å finne P(X>170)P(X > 170).

Vis fasit
StegResultat
z(170-150)/12 ≈ 1,67
digitalt verktøy gir
P(X>170) ≈ 0,048, altså 4,8 %
  1. z = (170-150)/12 ≈ 1,67
  2. digitalt verktøy gir
  3. P(X>170) ≈ 0,048, altså 4,8 %

M-12For en normalfordelt variabel med μ=60\mu = 60, σ=5\sigma = 5: bruk digitalt verktøy til å finne P(55<X<65)P(55 < X < 65).

Vis fasit
Steg
55 og 65 er μ-1σ og μ+1σ
digitalt verktøy bekrefter
P(55<X<65) ≈ 0,683, altså 68,3 %
  1. 55 og 65 er μ-1σ og μ+1σ
  2. digitalt verktøy bekrefter
  3. P(55<X<65) ≈ 0,683, altså 68,3 %

M-13Reaksjonstiden til en gruppe bilførere er normalfordelt med μ=0,8\mu = 0,8 sekunder og σ=0,15\sigma = 0,15 sekunder. Bruk digitalt verktøy til å finne sannsynligheten for en reaksjonstid under 0,50,5 sekunder.

Vis fasit
StegResultat
z = (0,5-0,8)/0,15 = -0,frac30\\frac{3}{0},15-2
digitalt verktøy gir
P(X<0,5) ≈ 0,023, altså 2,3 %
  1. z = (0,5-0,8)/0,15 = -0,30\frac{3}{0},15 = -2
  2. digitalt verktøy gir
  3. P(X<0,5) ≈ 0,023, altså 2,3 %
Vanskelig(3)

V-11Levetiden til en type lyspære er normalfordelt med μ=1200\mu = 1 200 timer. Om 9595 % av pærene varer mellom 10801 080 og 13201 320 timer, hva er standardavviket σ\sigma?

Vis fasit
StegResultat
95 %-intervallet er μ ± 2σ
1 320-1 200 = 1202σ
==σ60 timer==
  1. 95 %-intervallet er μ ± 2σ
  2. 1 320-1 200 = 120 = 2σ
  3. σ = 60 timer

V-12En maskin fyller poser med μ=500\mu = 500 g, σ=8\sigma = 8 g (normalfordelt). Bruk digitalt verktøy til å finne hvor mange gram xx som gjør at P(X<x)=0,90P(X < x) = 0,90.

Vis fasit
StegResultat
Digitalt verktøy finner z slik at P(Z<z)=0,90
z ≈ 1,28
x500 + 1,28 gange 8
x ≈ 510,3 g
  1. Digitalt verktøy finner z slik at P(Z<z)=0,90
  2. z ≈ 1,28
  3. x = 500 + 1,28 gange 8
  4. x ≈ 510,3 g

V-13To normalfordelte variabler har samme σ=10\sigma = 10, men XX har μ=50\mu = 50 og YY har μ=70\mu = 70. Forklar hvorfor P(X>60)P(X > 60) og P(Y>80)P(Y > 80) må være like store, uten å regne dem ut.

Vis fasit
StegResultat
z for X: (60-50)/101
z for Y: (80-70)/101
samme z-verdi gir samme sannsynlighet
  1. z for X: (60-50)/10 = 1
  2. z for Y: (80-70)/10 = 1
  3. samme z-verdi gir samme sannsynlighet