Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 6 poeng

En dekkprodusent påstår at bremselengden for en type vinterdekk under bestemte forhold er 83 meter. La $X$ være bremselengden ved en tilfeldig måling under disse forholdene. Gå ut fra at $X$ er normalfordelt med $\mu=83$ m og $\sigma=3{,}0$ m.

a) Bestem sannsynligheten for at bremselengden ved en tilfeldig valgt måling er lengre enn 87 meter.

b) Bestem $k$ slik at $P(X\leq k)=0{,}9$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

c) Bestem sannsynligheten for at gjennomsnittet av 15 målinger er mindre enn 84 meter.

Noen mener at bremselengden er lengre enn 83 meter. De ville derfor gjennomføre en test under de samme bestemte forholdene, for å sjekke om det er hold i dekkprodusentens påstand. Det ble gjennomført 15 målinger. Resultatet av målingene (i meter) er: 86,4 · 85,5 · 82,9 · 81,9 · 84,0 · 86,4 · 82,3 · 85,9 · 77,7 · 83,0 · 86,9 · 88,3 · 86,2 · 80,5 · 84,8

d) Gjennomfør en hypotesetest med et signifikansnivå på 5 prosent til å avgjøre om det er hold i mistanken.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Fire deloppgaver som bygger på hverandre: a) og b) er direkte sannsynlighetsberegninger for ÉN måling, c) bruker sentralgrensesetningen for GJENNOMSNITTET av 15 målinger (mindre spredning enn én enkelt måling), og d) bruker de 15 faktiske måleverdiene til å teste om påstanden $\mu=83$ fortsatt er troverdig.

Strategi og formel: a) og b) er standard normalfordelings-sannsynligheter – bruk $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ og graftegner/tabell. c) Gjennomsnittet av $n$ målinger er normalfordelt med samme forventningsverdi $\mu$ , men standardavvik $\frac{\sigma}{\sqrt n}$ (sentralgrensesetningen) – bruk dette reduserte standardavviket. d) Sett opp $H_0:\mu=83$ mot $H_1:\mu>83$ (ensidig, siden mistanken er at bremselengden er LENGRE). Regn ut utvalgsgjennomsnittet, finn testobservatoren/p-verdien, og sammenlign med signifikansnivået $5\,\%$ .

Trinnvis utregning:

a) $z=\dfrac{87-83}{3{,}0}=1{,}33$
$P(X>87)=1-\Phi(1{,}33)\approx 1-0{,}9088=0{,}0912\approx 9{,}1\,\%$ . b) $P(X\leq k)=0{,}9$
$z_{0{,}9}\approx 1{,}2816$ (fra tabell/graftegner)
$k=\mu+z\cdot\sigma=83+1{,}2816\cdot 3{,}0\approx 86{,}84$ m. Praktisk tolkning: $90\,\%$ av alle bremselengder under disse forholdene er kortere enn ca. $86{,}84$ m. c) Gjennomsnittet av 15 målinger er normalfordelt med $\mu=83$ og standardavvik $\dfrac{3{,}0}{\sqrt{15}}\approx 0{,}775$ m
$z=\dfrac{84-83}{0{,}775}\approx 1{,}291$
$P(\bar X<84)=\Phi(1{,}291)\approx 0{,}902\approx 90{,}2\,\%$ . d) $H_0:\mu=83$ , $H_1:\mu>83$ , signifikansnivå $5\,\%$
utvalgsgjennomsnitt: $\bar x=\dfrac{86{,}4+85{,}5+82{,}9+81{,}9+84{,}0+86{,}4+82{,}3+85{,}9+77{,}7+83{,}0+86{,}9+88{,}3+86{,}2+80{,}5+84{,}8}{15}=\dfrac{1 262{,}7}{15}\approx 84{,}18$ m
testobservator (kjent $\sigma=3{,}0$ ): $z=\dfrac{\bar x-83}{3{,}0/\sqrt{15}}=\dfrac{84{,}18-83}{0{,}775}\approx 1{,}52$
p-verdi: $P(Z>1{,}52)\approx 1-0{,}9357\approx 0{,}064\approx 6{,}4\,\%$
siden $6{,}4\,\%>5\,\%$ (p-verdien er STØRRE enn signifikansnivået), forkastes IKKE $H_0$ . Alternativt: kritisk grense for $\bar x$ ved $5\,\%$ er $83+1{,}645\cdot 0{,}775\approx 84{,}27$ m, og det observerte gjennomsnittet $84{,}18$ m er LAVERE enn denne grensen – samme konklusjon.

Svar: a) $P(X>87)\approx 0{,}091$ ( $9{,}1\,\%$ ). b) $k\approx$ $86{,}84$ m – $90\,\%$ av bremselengdene er kortere enn dette. c) $P(\bar X<84)\approx 0{,}902$ ( $90{,}2\,\%$ ). d) Testobservator $z\approx 1{,}52$ , p-verdi $\approx 6{,}4\,\%>5\,\%$ – $H_0$ forkastes IKKE: det er ikke nok grunnlag i disse 15 målingene til å hevde at bremselengden er lengre enn 83 m (selv om utvalgsgjennomsnittet er noe høyere, er avviket ikke stort nok til å være statistisk signifikant).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Riktige sannsynligheter i a), b) (med praktisk tolkning) og c) (med korrekt bruk av $\sigma/\sqrt{n}$ ), og i d) et fullstendig gjennomført hypotesetest med riktig $H_0$ / $H_1$ , riktig utvalgsgjennomsnitt, riktig testobservator/p-verdi, og en konklusjon som eksplisitt sier at $H_0$ IKKE forkastes.
4/6	Riktig i a)-c), men i d) gjøres en regnefeil i utvalgsgjennomsnittet eller testobservatoren som gir en (ellers konsistent) feil konklusjon.
2/6	Riktig i a) og b), men bruker feil standardavvik i c) (glemmer $\sqrt{n}$ -korreksjonen og bruker $\sigma=3{,}0$ direkte), og har ingen fungerende hypotesetest i d).
0/6	Bruker feil fortegn på $z$ -verdien i a)/b) (f.eks. finner $P(X<87)$ i stedet for $P(X>87)$ ), og ingen fungerende strategi i c)/d).

Sensor-tips

Konklusjonen i d) er den viktigste enkeltdelen å vurdere nøye: siden p-verdien ( $\approx 6{,}4\,\%$ ) er STØRRE enn $5\,\%$ , skal $H_0$ IKKE forkastes – godta ikke en konklusjon som hevder «bremselengden ER lengre enn påstått» kun fordi utvalgsgjennomsnittet $84{,}18$ er høyere enn $83$ ; forskjellen er ikke stor nok til å være statistisk signifikant på dette nivået.
En vanlig feil i c) er å glemme at gjennomsnittet av FLERE målinger har MINDRE spredning enn én enkelt måling – sjekk at eleven har delt $\sigma$ på $\sqrt{15}$ , ikke brukt $\sigma=3{,}0$ direkte som i a)/b).

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S2 matematikk, Høst 2023, Del 2, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 4 poeng

En bedrift har en maskin som lager elektroniske komponenter. Firmaet MASK, som leverte maskinen til bedriften, oppgir at andelen feilproduserte komponenter vil være 1 % eller mindre. Bedriften tester maskinen ved å lage 20 komponenter. Det viser seg at det er feil på én komponent. Bedriften klager til MASK og påstår at maskinen lager en høyere andel feilproduserte komponenter enn oppgitt.

a) Bruk hypotesetesting og argumenter for om klagen er velbegrunnet.

MASK sender en kontrollør til bedriften. Kontrolløren tester mange komponenter fra maskinen og finner også feil på én komponent. Kontrolløren påstår at med det antallet komponenter han har testet, så er det mer enn 95 % sannsynlighet for at andelen feilproduserte komponenter er 1 % eller mindre.

b) Hva er det minste antallet komponenter kontrolløren kan ha testet for å påstå dette?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi teste om ETT funn (1 feil av 20) er sterkt nok bevis til å hevde at den sanne feilraten er høyere enn 1 %. I b) skal vi snu problemstillingen: gitt at man alltid finner nøyaktig 1 feil, hvor MANGE komponenter må testes før dette blir et pålitelig tegn på at feilraten faktisk er lav (høyst 1 %)?

Strategi og formel: Begge deler bruker binomisk sannsynlighet med $p_0=0{,}01$ som nullhypotese-verdien. a) Regn ut $P(X\geq 1)$ når $n=20$ og $p=0{,}01$ – er denne sannsynligheten LITEN, er funnet uventet og støtter klagen; er den STOR, er funnet på ingen måte uvanlig. b) Snu spørsmålet: vi vil ha $P(X\leq 1\mid n,\,p=0{,}01)\leq 0{,}05$ – da ville det vært UVANLIG (høyst $5\,\%$ sjanse) å finne så FÅ som $1$ feil dersom den sanne feilraten faktisk var $1\,\%$ eller høyere, og å likevel finne bare $1$ feil er da sterk evidens for at raten er LAVERE. Finn minste $n$ som oppfyller dette (økende $n$ gjør det progressivt mindre sannsynlig å se så få feil dersom $p=0{,}01$ , siden det forventede antallet feil $0{,}01n$ vokser).

Trinnvis utregning:

a) Med $n=20$ , $p_0=0{,}01$ : $P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-0{,}99^{20}$
$\approx 1-0{,}8179\approx 0{,}182\approx 18{,}2\,\%$
dette er en HØY sannsynlighet – å finne minst 1 feil av 20 komponenter er slett ikke uvanlig selv om den sanne feilraten faktisk er $1\,\%$
klagen er derfor IKKE velbegrunnet ut fra dette ene funnet. b) Vi søker minste $n$ slik at $P(X\leq 1\mid n,\,p=0{,}01)\leq 0{,}05$ , det vil si $0{,}99^n + n\cdot 0{,}01\cdot 0{,}99^{n-1}\leq 0{,}05$
ved prøving med graftegner/CAS (binomisk kumulativ sannsynlighet) finner vi at ved $n=472$ er $P(X\leq 1)\approx 0{,}0502>0{,}05$ (ikke nok ennå)
ved $n=473$ er $P(X\leq 1)\approx 0{,}0498\leq 0{,}05$
minste antall komponenter er derfor $n=473$ .

Svar: a) $P(X\geq 1\mid n=20,\,p=0{,}01)\approx$ $18{,}2\,\%$ , som IKKE er uvanlig lavt – klagen er ikke velbegrunnet ut fra dette funnet alene. b) Kontrolløren må ha testet minst $473$ komponenter.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Regner riktig ut $P(X\geq 1)\approx 18{,}2\,\%$ i a) og konkluderer korrekt at klagen ikke er godt begrunnet, og finner (grafisk/numerisk) riktig minste $n=473$ i b) med en fungerende strategi (søker minste $n$ der $P(X\leq 1)\leq 0{,}05$ ).
2/4	Riktig i a), men i b) settes riktig ulikhet opp ( $P(X\leq 1\mid n,0{,}01)\leq 0{,}05$ ) uten å faktisk løse den numerisk fram til et konkret tall for $n$ .
1/4	Regner ut en binomisk sannsynlighet i a), men med feil retning (f.eks. $P(X\leq 1)$ i stedet for $P(X\geq 1)$ ), og ingen fungerende strategi i b).
0/4	Bruker feil fordeling (f.eks. normalfordeling i stedet for binomisk) uten begrunnelse for hvorfor det skulle være en god tilnærming her.

Sensor-tips

Den doble retningen i denne oppgaven er lett å forveksle: i a) er MANGE feil ( $X\geq 1$ ) det som ville støtte klagen, mens i b) er det motsatte – FÅ feil ( $X\leq 1$ ) som skal være en pålitelig indikasjon på LAV feilrate. Sjekk at eleven ikke bruker samme ulikhetsretning i begge deloppgaver.
I b) forventes bruk av graftegner/CAS til å søke fram $n$ numerisk (binomisk kumulativ fordelingsfunksjon) – godta ethvert digitalt verktøy som lander på $n=473$ , det er ikke meningen at dette løses med en lukket algebraisk formel.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S2 matematikk, Høst 2025, Del 2, Oppgave 3