Hypotesetesting

HYPOTESETESTING er en systematisk metode for å avgjøre om et observert resultat i data er et ekte funn, eller bare tilfeldig variasjon. Du starter med en NULLHYPOTESE $H_0$ (påstanden du tester, typisk «ingen effekt» eller «ingenting har endret seg») og en ALTERNATIV HYPOTESE $H_1$ . Du regner ut en P-VERDI – sannsynligheten for å observere et resultat MINST like ekstremt som det du faktisk fikk, GITT AT $H_0$ er sann. Er p-verdien lav nok (typisk under et SIGNIFIKANSNIVÅ på $5$ %), forkaster du $H_0$ .

Testobservator (z-verdi for gjennomsnitt)

$z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$

Hypotesetestingens fire steg
Steg	Innhold
1	Formuler H₀ og H₁
2	Regn ut testobservatoren (z-verdi)
3	Finn p-verdien
4	Sammenlign p-verdien med signifikansnivået og konkluder

Tips

En LAV p-verdi betyr at resultatet ville vært USANNSYNLIG dersom $H_0$ var sann – det er derfor du forkaster $H_0$ , ikke fordi du har «bevist» at $H_1$ er sann.
Å IKKE forkaste $H_0$ er ikke det samme som å bevise at $H_0$ er sann – det betyr bare at dataene ikke ga nok bevis til å forkaste den.
Signifikansnivået (ofte $5$ %) må velges FØR du ser på dataene – å velge det etterpå for å få «riktig» konklusjon er uredelig statistikk.
Spørsmålet avgjør om testen skal være ENSIDIG eller TOSIDIG. Spør spørsmålet bare én vei («er posene TYNGRE enn oppgitt?», $H_1: \mu > 500$ ), bruk en ensidig test – p-verdien blir da HALVPARTEN av den tosidige. Spør det «annerledes enn» ( $H_1: \mu \neq 500$ ), bruk tosidig. De to svarer på forskjellige spørsmål og gir ikke alltid samme konklusjon.

Eksempel: Tester en påstand om pakkevekt

En fabrikk hevder at posene deres i gjennomsnitt veier $\mu_0 = 500$ g, med kjent standardavvik $\sigma = 12$ g. En stikkprøve på $n = 36$ poser har gjennomsnittsvekt $\bar{x} = 504$ g. Test påstanden med signifikansnivå $5$ %.

Hypotesetest for pakkevekt
Størrelse	Verdi
σ/ $\sqrt{n}$	2
z = (504−500)/2	2
p-verdi (tosidig)	≈0,0455
Konklusjon (α=5 %)	Forkast H0

Løsning:

Nullhypotese $H_0: \mu = 500$ , alternativ hypotese $H_1: \mu \neq 500$
standardavvik til gjennomsnittet: $\sigma/\sqrt{n} = 12/\sqrt{36} = \frac{12}{6} = 2$
testobservator: $z = \dfrac{504-500}{2} = 2$
digitalt verktøy gir en (tosidig) p-verdi på $\approx 0,0455$
siden $0,0455 < 0,05$ , forkastes H0: det er statistisk belegg for at gjennomsnittsvekten avviker fra 500 g.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Forklar med egne ord hva en p-verdi betyr i en hypotesetest.

Vis fasit

Steg
P-verdien svarer på: hvor SANNSYNLIG er dette resultatet (eller noe mer ekstremt)
dersom nullhypotesen faktisk stemmer

P-verdien svarer på: hvor SANNSYNLIG er dette resultatet (eller noe mer ekstremt)
dersom nullhypotesen faktisk stemmer

L-32Ved signifikansnivå

5

% er p-verdien i en test

0,03

. Skal

H_0

forkastes?

Vis fasit

Steg
0,03 er mindre enn signifikansnivået 0,05
H0 forkastes

0,03 er mindre enn signifikansnivået 0,05
H0 forkastes

L-33Ved signifikansnivå

1

% er p-verdien i en test

0,03

. Skal

H_0

forkastes?

Vis fasit

Steg
0,03 er større enn signifikansnivået 0,01
H0 forkastes ikke

0,03 er større enn signifikansnivået 0,01
H0 forkastes ikke

Middels(3)

M-31En påstand er

\mu_0 = 100

, med kjent

\sigma = 15

. En stikkprøve på

n = 25

har

\bar{x} = 106

. Finn testobservatoren

z

Vis fasit

Steg	Resultat
σ/ $\\sqrt{n}$ = 15/ $\\sqrt{25}$ = $\\frac{15}{5}$	3
z	(106-100)/3
==z	2==

σ/ $\sqrt{n}$ = 15/ $\sqrt{25}$ = $\frac{15}{5}$ = 3
z = (106-100)/3
z = 2

M-32En skole hevder gjennomsnittlig eksamenskarakter er $\mu_0 = 3,5$ , $\sigma = 0,9$ (kjent). En stikkprøve på $n = 81$ elever har $\bar{x} = 3,7$ . Finn testobservatoren $z$ og bruk digitalt verktøy til å finne den tosidige p-verdien.

Vis fasit

Steg	Resultat
σ/ $\\sqrt{n}$ = 0,9/ $\\sqrt{81}$ = 0, $\\frac{9}{9}$	0,1
z = (3,7-3,5)/0,1	2
digitalt verktøy gir
p ≈ 0,046, forkast H0 ved 5 %

σ/ $\sqrt{n}$ = 0,9/ $\sqrt{81}$ = 0, $\frac{9}{9}$ = 0,1
z = (3,7-3,5)/0,1 = 2
digitalt verktøy gir
p ≈ 0,046, forkast H0 ved 5 %

M-33Forklar forskjellen på å konkludere «H0 forkastes» og «H0 beholdes» i en hypotesetest.

Vis fasit

Steg
Lav p-verdi under H0
resultatet er usannsynlig
forkast
høy p-verdi
ikke nok bevis til å forkaste, men H0 er ikke dermed bevist sann

Lav p-verdi under H0
resultatet er usannsynlig
forkast
høy p-verdi
ikke nok bevis til å forkaste, men H0 er ikke dermed bevist sann

Vanskelig(3)

V-31Et legemiddelfirma hevder en pille reduserer blodtrykket med

\mu_0 = 10

mmHg i gjennomsnitt,

\sigma = 6

mmHg (kjent). En studie på

n = 36

pasienter viser en gjennomsnittlig reduksjon på

\bar{x} = 12

mmHg. Test påstanden ved

5

% signifikansnivå (tosidig).

Vis fasit

Steg	Resultat
σ/ $\\sqrt{n}$ = 6/ $\\sqrt{36}$ = $\\frac{6}{6}$	1
z = (12-10)/1	2
digitalt verktøy gir
p ≈ 0,046, siden 0,046 < 0,05 forkastes H0

σ/ $\sqrt{n}$ = 6/ $\sqrt{36}$ = $\frac{6}{6}$ = 1
z = (12-10)/1 = 2
digitalt verktøy gir
p ≈ 0,046, siden 0,046 < 0,05 forkastes H0

V-32En terningkast-app hevder terningen er rettferdig ( $\mu_0 = 3,5$ , $\sigma \approx 1,71$ for enkeltkast). Et gjennomsnitt av $n = 100$ kast gir $\bar{x} = 3,65$ . Finn testobservatoren og vurder om dette er sterkt bevis mot at terningen er rettferdig.

Vis fasit

Steg	Resultat
σ/ $\\sqrt{n}$ = 1,71/ $\\sqrt{100}$ = 1, $\\frac{71}{10}$	0,171
z	(3,65-3,5)/0,171 ≈ 0,88
en så liten z-verdi gir en høy p-verdi
ikke sterkt bevis mot en rettferdig terning

σ/ $\sqrt{n}$ = 1,71/ $\sqrt{100}$ = 1, $\frac{71}{10}$ = 0,171
z = (3,65-3,5)/0,171 ≈ 0,88
en så liten z-verdi gir en høy p-verdi
ikke sterkt bevis mot en rettferdig terning

V-33Forklar hvorfor signifikansnivået må velges FØR man ser på dataene, og hva som kan gå galt hvis man velger det etterpå.

Vis fasit

Steg
Signifikansnivået er grensen for hva som telles som 'overraskende nok'
velges det etter å ha sett p-verdien
kan justeres for å få ønsket konklusjon, uredelig statistikk

Signifikansnivået er grensen for hva som telles som 'overraskende nok'
velges det etter å ha sett p-verdien
kan justeres for å få ønsket konklusjon, uredelig statistikk