Eksamensoppgaver – Mønster og generalisering (9. trinn)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2018, Del 2 – Oppgave 9

Med hjelpemidler – 3 poeng

Da den store matematikeren Carl Friedrich Gauss var ni år gammel, ga læreren han som oppgave å addere de naturlige tallene fra og med 1 til og med 100: $1+2+3+4+\ldots+50+51+\ldots+97+98+99+100$ .

Gauss kom fram til riktig svar etter veldig kort tid ved å bruke parvis addisjon: han la sammen tallene parvis fra hver ende ( $1+100$ , $2+99$ , $3+98$ , og så videre), og fikk 50 par som hver ga summen 101. Dermed fikk Gauss at $50 \cdot 101 = 5 050$ .

a) Bestem summen av de naturlige tallene fra og med 1 til og med 1 000 ved å bruke metoden til Gauss.

b) Lag en formel for summen av de naturlige tallene fra og med 1 til og med $n$ . Kontroller om formelen stemmer for $n = 100$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal bruke Gauss' parvise metode til å finne summen av tallene 1 til 1 000, og deretter generalisere metoden til en formel for summen av tallene 1 til $n$ .

Strategi og formel: Vi parer sammen det minste og det største tallet, det nest minste og det nest største, og så videre – akkurat som Gauss gjorde med 1 til 100. Hvert par gir samme sum, så totalsummen blir antall par ganger summen i hvert par. Dette er nøyaktig samme rektangel- argument som for trekanttall: paringen danner et «rektangel» med $n$ tall og $n+1$ som parsum, delt på 2 fordi hvert tall bare telles én gang.

Trinnvis utregning:

a) 1 til 1 000 gir 500 par (1+1 000, 2+999, …, 500+501)
hvert par summerer til $1 001$
$500 \cdot 1 001 = 500 500$
b) generaliser: 1 til $n$ gir $\frac{n}{2}$ par som hver summerer til $n+1$
formel: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$
kontroller for $n=100$ : $S_{100} = \frac{100 \cdot 101}{2} = \frac{10 100}{2} = 5 050$ , som stemmer med Gauss' egen sum

Svar: a) 500 500 b) $S_n =$ $\frac{n(n+1)}{2}$ , og formelen stemmer for $n=100$ (gir 5 050)

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	a) er riktig (500 500) med vist parvis metode, og b) gir riktig formel $\frac{n(n+1)}{2}$ med kontroll som faktisk stemmer for $n=100$ .
1-2/3	a) er riktig, men formelen i b) mangler eller er feil – eller motsatt: formelen er riktig, men a) har en regnefeil i antall par eller parsum.
0/3	Verken a) eller b) er riktig løst, eller metoden er ikke Gauss' parvise metode (f.eks. bare et gjettet svar).

Sensor-tips

En vanlig feil i a) er å telle 1 000 par i stedet for 500 – husk at hvert tall bare skal være med i ÉTT par.
I b) er det ikke nok å skrive formelen – kontrollen for $n=100$ (at den faktisk gir 5 050) er en egen del av oppgaven og bør vises eksplisitt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2018, Del 2, Oppgave 9