Eksamensoppgaver – Mønster og generalisering (9. trinn)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2018, Del 2 – Oppgave 9

Med hjelpemidler – 3 poeng

Da den store matematikeren Carl Friedrich Gauss var ni år gammel, ga læreren han som oppgave å addere de naturlige tallene fra og med 1 til og med 100: $1+2+3+4+\ldots+50+51+\ldots+97+98+99+100$ .

Gauss kom fram til riktig svar etter veldig kort tid ved å bruke parvis addisjon: han la sammen tallene parvis fra hver ende ( $1+100$ , $2+99$ , $3+98$ , og så videre), og fikk 50 par som hver ga summen 101. Dermed fikk Gauss at $50 \cdot 101 = 5\ 050$ .

a) Bestem summen av de naturlige tallene fra og med 1 til og med 1 000 ved å bruke metoden til Gauss.

b) Lag en formel for summen av de naturlige tallene fra og med 1 til og med $n$ . Kontroller om formelen stemmer for $n = 100$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal bruke Gauss' parvise metode til å finne summen av tallene 1 til 1 000, og deretter generalisere metoden til en formel for summen av tallene 1 til $n$ .

Strategi og formel: Vi parer sammen det minste og det største tallet, det nest minste og det nest største, og så videre: akkurat som Gauss gjorde med 1 til 100. Hvert par gir samme sum, så totalsummen blir antall par ganger summen i hvert par. Dette er nøyaktig samme rektangel- argument som for trekanttall: paringen danner et «rektangel» med $n$ tall og $n+1$ som parsum, delt på 2 fordi hvert tall bare telles én gang.

Trinnvis utregning:

a) 1 til 1 000 gir 500 par (1+1 000, 2+999, …, 500+501)
hvert par summerer til $1\ 001$
$500 \cdot 1\ 001 = 500\ 500$
b) generaliser: 1 til $n$ gir $\frac{n}{2}$ par som hver summerer til $n+1$
formel: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$
kontroller for $n=100$ : $S_{100} = \frac{100 \cdot 101}{2} = \frac{10\ 100}{2} = 5\ 050$ , som stemmer med Gauss' egen sum

Svar: a) 500 500 b) $S_n =$ $\frac{n(n+1)}{2}$ , og formelen stemmer for $n=100$ (gir 5 050)

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	a) er riktig (500 500) med vist parvis metode, og b) gir riktig formel $\frac{n(n+1)}{2}$ med kontroll som faktisk stemmer for $n=100$ .
1-2/3	a) er riktig, men formelen i b) mangler eller er feil – eller motsatt: formelen er riktig, men a) har en regnefeil i antall par eller parsum.
0/3	Verken a) eller b) er riktig løst, eller metoden er ikke Gauss' parvise metode (f.eks. bare et gjettet svar).

Sensor-tips

En vanlig feil i a) er å telle 1 000 par i stedet for 500: husk at hvert tall bare skal være med i ÉTT par.
I b) er det ikke nok å skrive formelen: kontrollen for $n=100$ (at den faktisk gir 5 050) er en egen del av oppgaven og bør vises eksplisitt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2018, Del 2, Oppgave 9

Utdanningsdirektoratet

Vår 2016, Del 2 – Oppgave 8

Med hjelpemidler – 4 poeng

Fibonacci-tallene har fått navn etter Leonardo Fibonacci fra Pisa (ca. 1170–ca. 1250).

Fibonacci-tallene er en tallfølge der de to første tallene er 1. Hvert av de neste tallene er summen av de to tallene foran:

$1 + 1 = 2$ , $1 + 2 = 3$ , $2 + 3 = 5$ , $3 + 5 = 8$ og så videre.

De åtte første Fibonacci-tallene er

$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21$

a) Skriv opp de neste fire Fibonacci-tallene i tallfølgen ovenfor.

I tallfølgen nedenfor er de to første leddene $a$ og $b$ . Hvert av de neste leddene er summen av de to leddene foran.

$a,\ b,\ a + b,\ a + 2b,\ 2a + 3b,\ 3a + 5b, \ldots$

b) Skriv opp de fire neste leddene i denne tallfølgen.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal fortsette Fibonacci-tallene med fire ledd, og fortsette den tilsvarende algebraiske tallfølgen med fire ledd.

Strategi og formel: Hvert ledd er summen av de to leddene foran. Vi legger sammen de to siste leddene om og om igjen, med tall i a) og med uttrykk i b).

Trinnvis utregning:

a) $13 + 21 = 34$
$21 + 34 = 55$
$34 + 55 = 89$
$55 + 89 = 144$
b) $(2a + 3b) + (3a + 5b) = 5a + 8b$
$(3a + 5b) + (5a + 8b) = 8a + 13b$
$(5a + 8b) + (8a + 13b) = 13a + 21b$
$(8a + 13b) + (13a + 21b) = 21a + 34b$

Svar: a) De neste fire tallene er 34, 55, 89 og 144. b) De neste fire leddene er $5a + 8b$ , $8a + 13b$ , $13a + 21b$ og $21a + 34b$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	a) 34, 55, 89, 144 og b) $5a + 8b$ , $8a + 13b$ , $13a + 21b$ , $21a + 34b$ .
3/4	a) riktig og tre av fire ledd riktige i b).
1-2/4	a) riktig, men b) har feil eller mangler.
0/4	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Legg merke til at tallene foran $a$ og $b$ i b) selv er Fibonacci-tall: $a$ får 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, og $b$ får 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.
Samle like ledd: $(3a + 5b) + (5a + 8b) = 8a + 13b$ . Husk å legge sammen $a$ -leddene og $b$ -leddene hver for seg.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2016, Del 2, Oppgave 8