Strukturer i geometriske mønstre

Trekanttall bygges som stablede rader med prikker: rad 1 har 1 prikk, rad 2 har 2 prikker, rad 3 har 3 prikker, og så videre. Trekanttall nummer $n$ er summen av alle rader opp til $n$ : $1 + 2 + 3 + \ldots + n$ . Den geometriske formen (en trekant) viser strukturen visuelt, og gir en pekepinn om hvordan man kan telle raskere enn å legge sammen ledd for ledd.

Tips

Se etter et geometrisk PAR: to kopier av samme trekanttall-figur satt sammen (den ene snudd) danner alltid et rektangel med sidene $n$ og $n+1$ – det er nøkkelen til en rask formel (se neste undertema).
Trekanttall er IKKE det samme som kvadrattall. Kvadrattall (1, 4, 9, 16) vokser med oddetall (3, 5, 7); trekanttall (1, 3, 6, 10) vokser med alle hele tall (2, 3, 4).

Eksempel: Bygge trekanttall

Tegn de fire første trekanttallene som rader av prikker, og finn hvor mange prikker trekanttall nummer 5 har.

Trekanttall 1 til 5
Trekanttall nr.	Antall prikker
1	1
2	3
3	6
4	10
5	15

Løsning:

Vi skal finne trekanttall 5
trekanttallene bygges rad for rad: trekanttall 1 har 1 prikk, trekanttall 2 har $1 + 2 = 3$ prikker, trekanttall 3 har $1 + 2 + 3 = 6$ prikker, trekanttall 4 har $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ prikker
trekanttall 5 legger til én rad til med 5 prikker: $10 + 5$ . Svaret er 15 prikker.

Alternativ forklaring/metode: Speile trekanten og dann et rektangel

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Legge sammen to trekanter til et rektangel

Ta trekanttall-figuren og legg en snudd kopi av seg selv ved siden av – sammen danner de et rektangel med $n$ rader og $n+1$ prikker i hver rad. For trekanttall 5 gir dette et rektangel med $5 \cdot 6 = 30$ prikker totalt, og siden det er TO trekanter, er selve trekanttallet halvparten: $30 : 2 = 15$ – samme svar som å legge sammen radene.

Rektangel for trekanttall 5
Steg	Verdi
Rektangel: 5*6	30
Halvparten: 30:2	15

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hvor mange prikker har trekanttall nummer 3?

Vis fasit

Trekanttall 3
Ledd	Sum så langt
1	1
+2	3
+3	6

1 + 2 + 3 = 6

L-12Hvor mange prikker har trekanttall nummer 4?

Vis fasit

Trekanttall 4
Ledd	Sum så langt
1	1
+2	3
+3	6
+4	10

1 + 2 + 3 + 4 = 10

L-13Hvor mange prikker har trekanttall nummer 1?

Vis fasit

Trekanttall 1
Rad	Prikker
1	1

Trekanttall 1 har kun én rad med én prikk
1

Middels(3)

M-11Hvor mange prikker har trekanttall nummer 6?

Vis fasit

Trekanttall 6
Steg	Verdi
Trekanttall 5	15
+ rad 6 (6 prikker)	21

Trekanttall 5 er 15, legg til rad 6: 15 + 6 = 21

M-12Hvor mange prikker har trekanttall nummer 7?

Vis fasit

Trekanttall 7
Steg	Verdi
Trekanttall 6	21
+ rad 7 (7 prikker)	28

Trekanttall 6 er 21, legg til rad 7: 21 + 7 = 28

M-13Speiler du trekanttall 4 og legger de to sammen, hvilket rektangel får du (rader * prikker per rad)?

Vis fasit

Rektangel for trekanttall 4
Mål	Verdi
Rader (n)	4
Prikker per rad (n+1)	5

Med n=4: 4 rader og n+1 prikker per rad
altså 4 rader, 5 prikker per rad

Vanskelig(3)

V-11Hvor mange prikker har trekanttall nummer 10?

Vis fasit

Trekanttall 10
Ledd	Sum
1+2+3+4+5	15
+6+7+8+9+10	+40
Totalt	55

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55

V-12Bruk rektangel-metoden til å finne trekanttall nummer 6 (rektangel 6*7, halvparten).

Vis fasit

Rektangel-metoden for trekanttall 6
Steg	Verdi
6 * 7	42
42 : 2	21

6 * 7 = 42
halvparten: 42 : 2 = 21

V-13Er 20 et trekanttall?

Vis fasit

Trekanttall nær 20
Trekanttall nr.	Antall prikker
5	15
6	21
20 er ikke i lista	nei

20 ligger mellom trekanttall 5 (=15) og trekanttall 6 (=21)
siden 20 ikke selv er et trekanttall
nei