NumiSum

Strukturer i tallmønstre

Den geometriske rektangel-metoden gir en generell formel for trekanttall: siden to trekanttall danner et rektangel med nn og n+1n+1 prikker per side, er trekanttall nummer nn lik halvparten av dette rektangelet: n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}.

Trekanttall

Tn=n(n+1)2T_n = \frac{n(n+1)}{2}

Tips

  • Sjekk formelen mot tabellen: n=4n=4 gir 4⋅52=202=10\frac{4 \cdot 5}{2} = \frac{20}{2} = 10 – stemmer med trekanttall 4 fra forrige undertema.
  • Formelen fungerer for ALLE hele tall nn, ikke bare de du har tegnet – det er nettopp poenget med en generell formel.

Eksempel: Bruke formelen for trekanttall

Bruk formelen Tn=n(n+1)2T_n = \frac{n(n+1)}{2} til å finne trekanttall nummer 12.

T₁₂ = n(n+1)/2 for n = 12
StegVerdi
12 * 13156
156 : 278
Løsning:
  1. Vi setter inn n=12n = 12 i formelen
  2. T12=12⋅132=1562T_{12} = \frac{12 \cdot 13}{2} = \frac{156}{2}
  3. Svaret er 78, uten at vi trengte å telle rader eller legge sammen 12 ledd manuelt.
Alternativ forklaring/metode: Legg sammen 1 + 2 + ... + 12 direkte

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Legge sammen alle ledd

Hvis du ikke stoler på formelen ennå, kan du legge sammen alle tallene fra 1 til 12 direkte: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=781+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 = 78 – samme svar som formelen ga, men mye tregere for store nn. Nettopp derfor er formelen n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} nyttig.

Direkte summering til 12
LeddSum
1+2+...+1166
+1278

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Bruk formelen til å finne trekanttall nummer 5.

Vis fasit
Trekanttall 5 med formel
StegVerdi
5*630
30:215

5*6 : 2 = 30 : 2 = 15

L-22Bruk formelen til å finne trekanttall nummer 8.

Vis fasit
Trekanttall 8 med formel
StegVerdi
8*972
72:236

8*9 : 2 = 72 : 2 = 36

L-23Bruk formelen til å finne trekanttall nummer 10.

Vis fasit
Trekanttall 10 med formel
StegVerdi
10*11110
110:255

10*11 : 2 = 110 : 2 = 55

Middels(3)

M-21Bruk formelen til å finne trekanttall nummer 20.

Vis fasit
Trekanttall 20 med formel
StegVerdi
20*21420
420:2210

20*21 : 2 = 420 : 2 = 210

M-22Bruk formelen til å finne trekanttall nummer 15.

Vis fasit
Trekanttall 15 med formel
StegVerdi
15*16240
240:2120

15*16 : 2 = 240 : 2 = 120

M-23Sjekk formelen mot trekanttall nummer 3 (kjent svar: 6).

Vis fasit
Kontroll av trekanttall 3
StegVerdi
3*412
12:26, stemmer
  1. 3*4 : 2 = 12 : 2 = 6, som stemmer med kjent svar
  2. stemmer, gir 6
Vanskelig(3)

V-21Bruk formelen til å finne trekanttall nummer 50.

Vis fasit
Trekanttall 50 med formel
StegVerdi
50*512 550
2 550:21 275

50*51 : 2 = 2 550 : 2 = 1 275

V-22Bruk formelen til å finne trekanttall nummer 100.

Vis fasit
Trekanttall 100 med formel
StegVerdi
100*10110 100
10 100:25 050

100*101 : 2 = 10 100 : 2 = 5 050

V-23En elev bruker formelen n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} men glemmer å dele på 2, og får trekanttall 6 til å bli 42. Hva er riktig svar?

Vis fasit
Vanlig feil: glemmer å dele på 2
StegVerdi
6*7 (uten å dele)42 (feil)
Riktig: 42:221
  1. 6*7 = 42
  2. men formelen krever å dele på 2: 42 : 2 = 21