Løse ulikheter

En ulikhet ligner en likning, men har $<$ , $>$ , $\leq$ eller $\geq$ i stedet for likhetstegn – og løsningen er ikke ETT tall, men et helt OMRÅDE av tall. Reglene for å regne er de samme som for likninger (gjør det samme på begge sider), med ETT viktig unntak: ganger eller deler du med et NEGATIVT tall, snur ulikhetstegnet.

Grunnprinsippet

$\text{gjør det samme på begge sider, snu tegnet ved deling/gange med et negativt tall}$

Fra ulikhet til løsningsmengde
Steg	Ulikhet
Original	$25 + 15x \leq 100$
Trekk fra 25	$15x \leq 75$
Del på 15	$x \leq 5$

Tips

Løsningen på en ulikhet er et HELT OMRÅDE av tall, ikke ett eneste tall. Svar med hele området, ikke bare den mest ekstreme verdien.
I en praktisk situasjon (som antall varer du har råd til) må svaret ofte rundes ned til nærmeste hele tall, selv om selve ulikheten gir et desimaltall.

Eksempel: Hvor mange blyanter har eleven råd til?

En elev har $100$ kr å bruke. Hen har allerede kjøpt et viskelær for $25$ kr, og hver blyant koster $15$ kr. Hvor mange blyanter kan eleven maksimalt kjøpe?

Løs og tolk
Steg	Uttrykk
Original	25 + 15x ≤ 100
Trekk fra 25	15x ≤ 75
Del på 15	x ≤ 5
Kontroll (x=5)	25 + 15 · 5 = 100 ✓

Løsning:

Totalprisen skal være maks $100$ kr, viskelæret koster $25$ kr, og hver blyant koster $15$ kr
ulikheten er $25 + 15x \leq 100$
trekk $25$ fra begge sider: $15x \leq 75$
del begge sider på $15$ : $x \leq \frac{75}{15}$ . Eleven kan kjøpe maks $5$ blyanter.

Alternativ forklaring/metode: Test det høyeste heltallet før ulikheten brytes

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sette inn grensetallet direkte

I stedet for å løse ulikheten algebraisk, kan du teste tall: $x = 5$ : $25 + 15 \cdot 5 = 100$ , akkurat innenfor budsjettet → $x = 6$ : $25 + 15 \cdot 6 = 115$ , over budsjettet. Metoden bekrefter svaret på $5$ blyanter direkte ved prøving, uten å løse ulikheten symbolsk – nyttig som en rask kontroll, men upraktisk hvis grensen ikke er et lite helt tall.

Teste grensetallet direkte
Forsøk	Verdi
x=5	100 (innenfor)
x=6	115, over budsjettet

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Løs ulikheten $x + 5 < 12$ .

Vis fasit

Løs x + 5 < 12
Steg	Verdi
x+5	<12
x	<7

x + 5 < 12
trekk 5 fra begge sider
x < 7

L-32Løs ulikheten

2x \leq 18

Vis fasit

Løs 2x ≤ 18
Steg	Verdi
2x	≤18
x	≤9

2x ≤ 18
del begge sider på 2
x ≤ 9

L-33Hva må du gjøre med ulikhetstegnet hvis du deler begge sider på et negativt tall?

Vis fasit

Regel ved negativt tall
Operasjon	Effekt
Del/gang med negativt tall	snu ulikhetstegnet

Deling/gange med et negativt tall reverserer rekkefølgen
ulikhetstegnet må snus

Middels(3)

M-31Løs ulikheten

3x - 4 \leq 20

Vis fasit

Løs 3x - 4 ≤ 20
Steg	Verdi
3x	≤24
x	≤8

3x - 4 ≤ 20
legg til 4: 3x ≤ 24
del på 3
x ≤ 8

M-32Et abonnement koster

50

kr i fast avgift pluss

10

kr per time. Hvor mange timer

x

kan du bruke maks for

150

kr?

Vis fasit

Abonnement, maks timer
Steg	Verdi
10x	≤100
x	≤10 timer

50 + 10x ≤ 150
trekk fra 50: 10x ≤ 100
del på 10
x ≤ 10 timer

M-33Løs ulikheten

-2x > 14

, og husk regelen for negative tall.

Vis fasit

Løs -2x > 14
Steg	Verdi
-2x	>14
x (snu tegn)	<-7

-2x > 14
del begge sider på -2 og SNU tegnet
x < -7

Vanskelig(3)

V-31En bedrift har

500

kr i faste kostnader og

25

kr i variabel kostnad per enhet. Hvor mange enheter

x

kan produseres maks for

800

kr totalt?

Vis fasit

Maks antall enheter
Steg	Verdi
25x	≤300
x	≤12 enheter

500 + 25x ≤ 800
trekk fra 500: 25x ≤ 300
del på 25
x ≤ 12 enheter

V-32I forrige oppgave: hvis budsjettet var

815

kr i stedet for

800

kr, hvorfor blir svaret fortsatt

12

hele enheter, ikke

12,6

Vis fasit

Runde til hele enheter
Ulikhet	Svar
25x ≤ 315	x ≤ 12,6
Praktisk svar	12 hele enheter

25x ≤ 315 gir x ≤ 12,6
men man kan ikke produsere en brøkdel av en enhet
svaret rundes ned til 12 hele enheter

V-33Hvorfor kan svaret på en ulikhet være et helt OMRÅDE av tall, mens svaret på en tilsvarende likning er ETT tall?

Vis fasit

Likning vs. ulikhet
Type	Løsning
Likning x=5	ett tall
Ulikhet x≤5	alle tall opp til 5

En likning som x = 5 har ett eksakt svar
en ulikhet som x ≤ 5 inkluderer alle tall opp til og med 5