Løse ulikheter

En ulikhet ligner en likning, men har $<$ , $>$ , $\leq$ eller $\geq$ i stedet for likhetstegn, og løsningen er ikke ETT tall, men et helt OMRÅDE av tall. Reglene for å regne er de samme som for likninger (gjør det samme på begge sider), med ETT viktig unntak: ganger eller deler du med et NEGATIVT tall, snur ulikhetstegnet.

Grunnprinsippet

$\text{gjør det samme på begge sider, snu tegnet ved deling/gange med et negativt tall}$

Fra ulikhet til løsningsmengde
Steg	Ulikhet
Original	$25 + 15x \leq 100$
Trekk fra 25	$15x \leq 75$
Del på 15	$x \leq 5$

Tips

Løsningen på en ulikhet er et HELT OMRÅDE av tall, ikke ett eneste tall. Svar med hele området, ikke bare den mest ekstreme verdien.
I en praktisk situasjon (som antall varer du har råd til) må svaret ofte rundes ned til nærmeste hele tall, selv om selve ulikheten gir et desimaltall.
Test det høyeste heltallet før ulikheten brytes. I stedet for å løse ulikheten algebraisk, kan du teste tall: $x = 5$ : $25 + 15 \cdot 5 = 100$ , akkurat innenfor budsjettet → $x = 6$ : $25 + 15 \cdot 6 = 115$ , over budsjettet. Metoden bekrefter svaret på $5$ blyanter direkte ved prøving, uten å løse ulikheten symbolsk: nyttig som en rask kontroll, men upraktisk hvis grensen ikke er et lite helt tall.

Eksempel: Hvor mange blyanter har eleven råd til?

En elev har $100$ kr å bruke. Hen har allerede kjøpt et viskelær for $25$ kr, og hver blyant koster $15$ kr. Hvor mange blyanter kan eleven maksimalt kjøpe?

Løsning:

Totalprisen skal være maks $100$ kr, viskelæret koster $25$ kr, og hver blyant koster $15$ kr
ulikheten er $25 + 15x \leq 100$
trekk $25$ fra begge sider: $15x \leq 75$
del begge sider på $15$ : $x \leq \frac{75}{15}$ . Eleven kan kjøpe maks $5$ blyanter.

Løs og tolk
Steg	Uttrykk
Original	25 + 15x ≤ 100
Trekk fra 25	15x ≤ 75
Del på 15	x ≤ 5
Kontroll (x=5)	25 + 15 · 5 = 100 ✓

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Løs ulikheten $x + 5 < 12$ .

Vis fasit

x + 5 < 12
trekk 5 fra begge sider
x < 7

Løs x + 5 < 12
Steg	Verdi
x+5	<12
x	<7

L-42Løs ulikheten $2x \leq 18$ .

Vis fasit

2x ≤ 18
del begge sider på 2
x ≤ 9

Løs 2x ≤ 18
Steg	Verdi
2x	≤18
x	≤9

L-43Hva må du gjøre med ulikhetstegnet hvis du deler begge sider på et negativt tall?

Vis fasit

Deling/gange med et negativt tall reverserer rekkefølgen
ulikhetstegnet må snus

Regel ved negativt tall
Operasjon	Effekt
Del/gang med negativt tall	snu ulikhetstegnet

Middels(3)

M-41Løs ulikheten $3x - 4 \leq 20$ .

Vis fasit

3x - 4 ≤ 20
legg til 4: 3x ≤ 24
del på 3
x ≤ 8

Løs 3x - 4 ≤ 20
Steg	Verdi
3x	≤24
x	≤8

M-42Et abonnement koster $50$ kr i fast avgift pluss $10$ kr per time. Hvor mange timer $x$ kan du bruke maks for $150$ kr?

Vis fasit

50 + 10x ≤ 150
trekk fra 50: 10x ≤ 100
del på 10
x ≤ 10 timer

Abonnement, maks timer
Steg	Verdi
10x	≤100
x	≤10 timer

M-43Løs ulikheten $-2x > 14$ , og husk regelen for negative tall.

Vis fasit

-2x > 14
del begge sider på -2 og SNU tegnet
x < -7

Løs -2x > 14
Steg	Verdi
-2x	>14
x (snu tegn)	<-7

Vanskelig(3)

V-41En bedrift har $500$ kr i faste kostnader og $25$ kr i variabel kostnad per enhet. Hvor mange enheter $x$ kan produseres maks for $800$ kr totalt?

Vis fasit

500 + 25x ≤ 800
trekk fra 500: 25x ≤ 300
del på 25
x ≤ 12 enheter

Maks antall enheter
Steg	Verdi
25x	≤300
x	≤12 enheter

V-42En bedrift har $500$ kr i faste kostnader og $25$ kr i variabel kostnad per enhet. Budsjettet er $815$ kr. Hvorfor blir maksimalt antall enheter $12$ hele enheter, ikke $12{,}6$ ?

Vis fasit

25x ≤ 315 gir x ≤ 12,6
men man kan ikke produsere en brøkdel av en enhet
svaret rundes ned til 12 hele enheter

Runde til hele enheter
Ulikhet	Svar
25x ≤ 315	x ≤ 12,6
Praktisk svar	12 hele enheter

V-43Hvorfor kan svaret på en ulikhet være et helt OMRÅDE av tall, mens svaret på en tilsvarende likning er ETT tall?

Vis fasit

En likning som x = 5 har ett eksakt svar
en ulikhet som x ≤ 5 inkluderer alle tall opp til og med 5

Likning vs. ulikhet
Type	Løsning
Likning x=5	ett tall
Ulikhet x≤5	alle tall opp til 5