Eksamensoppgaver – Likninger, likningssystemer og ulikheter i praksis (2P)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 1 – Oppgave 4

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Markus arbeider med likningssystemet nedenfor. Vis Markus hvordan han kan løse likningssystemet.

$2x - 6 = y$

$4x + 2y = 12$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne de to tallene $x$ og $y$ som gjør BEGGE likningene sanne samtidig.

Strategi og formel: Den første likningen gir $y$ uttrykt direkte ved $x$ – da bruker vi INNSETTINGSMETODEN: setter uttrykket for $y$ inn i den andre likningen i stedet for $y$ , slik at den andre likningen bare har $x$ som ukjent.

Trinnvis utregning:

$2x-6=y$ settes inn for $y$ i $4x+2y=12$ :
$4x + 2(2x-6) = 12$
gang ut parentesen: $4x + 4x - 12 = 12$
$8x = 24$
$x = 3$
sett $x=3$ inn i $y=2x-6$ : $y = 2 \cdot 3 - 6 = 0$
kontroll i den andre likningen: $4 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 12$ ✓

Svar: Løsningen er $x = 3$ og $y = 0$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Setter riktig uttrykk inn for $y$ , løser likningen for $x$ riktig, finner riktig $y$ -verdi og viser gjerne en kontroll i den opprinnelige likningen.
1/2	Riktig metode (innsetting), men med en regnefeil underveis som gir feil sluttsvar.
0/2	Prøver å legge likningene direkte sammen uten å først få dem på samme form, eller mangler en fungerende strategi helt.

Sensor-tips

Godta også addisjonsmetoden som fullverdig alternativ, forutsatt at eleven først skriver om likning 1 til $2x - y = 6$ slik at leddene faktisk kan elimineres riktig.
Se etter at fortegnet ved utgang av parentesen $2(2x-6)$ er riktig ( $+4x-12$ , ikke $+4x+12$ ) – det er den vanligste regnefeilen i denne oppgaven.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 2P matematikk, Høst 2024, Del 1, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 1 – Oppgave 11

Uten hjelpemidler – 4 poeng

Gitt likningssystemet

$4x + y = 8$

$3x - y = 6$

a) Løs likningssystemet ved regning.

b) Løs likningssystemet grafisk.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne verdiene av $x$ og $y$ som løser likningssystemet – på to ulike måter: regning i del a), og en graf i del b).

Strategi og formel: I del a) er addisjonsmetoden raskest, siden $y$ -leddene allerede har motsatt fortegn i de to likningene og kan kanselleres direkte ved å legge likningene sammen. I del b) skrives begge likningene om til $y = ax+b$ -form og tegnes som to rette linjer i samme koordinatsystem – skjæringspunktet mellom linjene ER løsningen.

Trinnvis utregning:

a) legg likningene sammen ledd for ledd: $(4x+y) + (3x-y) = 8+6$
$y$ -leddene kansellerer: $7x = 14$
$x = 2$
sett inn i $4x+y=8$ : $4 \cdot 2 + y = 8$
$y = 0$
kontroll i $3x-y=6$ : $3 \cdot 2 - 0 = 6$ ✓
b) skriv om til $y=ax+b$ : $y = -4x + 8$ og $y = 3x - 6$
tegn begge linjene i samme koordinatsystem for $x$ fra f.eks. $-1$ til $4$
linjene krysser hverandre i punktet $(2, 0)$ – samme punkt som svaret i a)

Svar: Løsningen er $x = 2$ og $y = 0$ , altså skjæringspunktet $(2, 0)$ – samme svar med begge metodene.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Løser systemet riktig ved regning I del a) OG tegner begge linjene korrekt med riktig avlest skjæringspunkt i del b), og ser at de to metodene gir samme svar.
2–3/4	Én av de to metodene gir riktig svar, mens den andre har en feil (f.eks. feil fortegn ved omskriving til $y=ax+b$ -form, eller en regnefeil i addisjonen).
0–1/4	Ingen av metodene gir et riktig avlest/utregnet skjæringspunkt, eller kun én av linjene er tegnet i del b).

Sensor-tips

I del b) er det vanligste feilen å bytte fortegn feil ved omskriving av $3x - y = 6$ til $y = 3x - 6$ – sjekk at eleven har flyttet $y$ over på riktig side FØR de deler på fortegnet.
Godta en grafisk løsning som avviker litt fra $(2,0)$ pga. avlesingsunøyaktighet, så lenge linjene er riktig tegnet og eleven tydelig peker ut skjæringspunktet som løsningen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 2P matematikk, Vår 2026, Del 1, Oppgave 11