NumiSum

Løse likningssystemer

Et likningssystem er to likninger som skal gjelde SAMTIDIG, med to ukjente. Det finnes flere strategier for å løse et system. INNSETTINGSMETODEN løser den ene likningen for én ukjent og setter uttrykket inn i den andre. ADDISJONSMETODEN legger i stedet de to likningene sammen (eller trekker dem fra hverandre) for å ELIMINERE én ukjent direkte, uten en omskrivning først – nyttig når ingen av likningene har en ukjent alene på én side. Har begge likningene den samme ukjente alene på én side, kan du sette dem LIK hverandre direkte – en rask snarvei når strukturen tillater det.

Innsettingsmetoden

sett uttrykket for eˊn ukjent inn i den andre likningen\text{sett uttrykket for én ukjent inn i den andre likningen}

Addisjonsmetoden

legg sammen ELLER trekk fra likningene for a˚ eliminere eˊn ukjent\text{legg sammen ELLER trekk fra likningene for å eliminere én ukjent}

To billettpriser
LikningBetydning
v+b=280v + b = 280Totalpris for én av hver
v=b+40v = b + 40Voksenbilletten koster 40 kr mer

Tips

  • Løs alltid den ENKLESTE av de to likningene for én ukjent først – det gir minst rot i innsettingen.
  • Kontroller løsningen i BEGGE de originale likningene, ikke bare én. En feil kan gi et svar som stemmer i den ene, men ikke den andre.
  • Samme billett-eksempel løst med addisjonsmetoden: skriv om v=b+40v = b + 40 til v−b=40v - b = 40. Legg nå sammen med v+b=280v + b = 280: (v+b)+(v−b)=280+40(v+b)+(v-b) = 280+40 gir 2v=3202v = 320, altså v=160v = 160 – samme svar som med innsetting, men uten å måtte skrive om noe for å sette inn.

Eksempel: Finne prisen på to typer kinobilletter

En voksenbillett og en barnebillett koster til sammen 280280 kr. Voksenbilletten koster 4040 kr mer enn barnebilletten. Hva koster hver billett?

Fra system til to priser
StegUttrykk
Sett inn(b + 40) + b = 280
Forenkle2b + 40 = 280
Løs for bb = 120
Løs for vv = 160
Løsning:
  1. Billettene koster til sammen 280280 kr, og voksenbilletten koster 4040 kr mer
  2. la vv være voksenbilletten og bb barnebilletten
  3. to likninger: v+b=280v + b = 280 og v=b+40v = b + 40
  4. sett det andre uttrykket inn i det første: (b+40)+b=280(b + 40) + b = 280
  5. 2b+40=2802b + 40 = 280
  6. 2b=2402b = 240
  7. b=120b = 120
  8. sett tilbake i v=b+40v = b + 40: v=160v = 160. Barnebilletten koster 120120 kr, og voksenbilletten koster 160160 kr.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva kalles det når to likninger med to ukjente skal gjelde samtidig?

Vis fasit
Definisjon av likningssystem
BetingelseNavn
To likninger samtidiget likningssystem
  1. To likninger som gjelder samtidig for de samme ukjente
  2. et likningssystem

L-22Et system er x=12x = 12 og y=x+5y = x + 5. Hva er yy?

Vis fasit
Finn y når x=12
StegVerdi
y=12+517
  1. x = 12 settes inn i y = x + 5
  2. y = 17

L-23Hvorfor bør du kontrollere løsningen av et likningssystem i BEGGE likningene?

Vis fasit
Kontroll av likningssystem
KravKontroll
Begge likninger gjelderbegge må sjekkes
  1. Systemet krever at BEGGE likninger gjelder samtidig
  2. begge må kontrolleres
Middels(3)

M-21To tall summerer til 5050. Det ene er 1010 mer enn det andre. Finn de to tallene.

Vis fasit
To tall: sum 50, differanse 10
StegVerdi
2y40
y20
x30
  1. x + y = 50 og x = y + 10
  2. sett inn: (y+10)+y=50
  3. 2y+10=50
  4. 2y=40
  5. y=20
  6. x=30, y=20

M-222x+y=1002x + y = 100 og y=x+10y = x + 10. Løs for xx og yy.

Vis fasit
2x+y=100, y=x+10
StegVerdi
3x90
x30
y40
  1. 2x + y = 100 og y = x + 10
  2. sett inn: 2x+(x+10)=100
  3. 3x+10=100
  4. 3x=90
  5. x=30
  6. y=40

M-23En kunde kjøper xx kaffe og yy boller. x+2y=60x + 2y = 60 og x=2yx = 2y. Løs systemet.

Vis fasit
Kaffe og boller
StegVerdi
4y60
y15
x30
  1. x + 2y = 60 og x = 2y
  2. sett inn: 2y+2y=60
  3. 4y=60
  4. y=15
  5. x=30
Vanskelig(3)

V-21Bruk addisjonsmetoden til å løse x+y=90x + y = 90 og x−y=10x - y = 10.

Vis fasit
Addisjon: x+y=90, x-y=10
StegVerdi
2x100
x50
y40
  1. Legg sammen likningene: (x+y)+(x-y)=90+10
  2. 2x=100
  3. x=50
  4. sett inn i x+y=90
  5. y=40

V-22Hvorfor er addisjonsmetoden nyttig når ingen av likningene har en ukjent alene på én side?

Vis fasit
Fordel med addisjonsmetoden
MetodeFordel
Addisjonsparer omskriving
  1. Å legge likningene sammen kansellerer én ukjent automatisk
  2. sparer et omskrivingssteg

V-23To billettpriser summerer til 280280 kr, og differansen er 4040 kr. Kunne du ha brukt addisjonsmetoden i stedet for innsetting her? Forklar.

Vis fasit
Addisjon for billettpriser
StegVerdi
v-b=40 og v+b=2802v
2v320
  1. v = b + 40 kan skrives som v − b = 40
  2. legg sammen med v + b = 280
  3. 2v = 320, samme svar som med innsetting