Eksamensoppgaver – Numerisk integrasjon og omdreiningslegemer (R2)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 2 – Oppgave 6

Med hjelpemidler – 2 poeng

En sirkel har sentrum i $S(a,0)$ og har radius $R<a$ . Sirkelen roteres om $y$ -aksen.

Vis at volumet av omdreiningslegemet blir $2\pi^2R^2a$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal utlede et generelt volumformel-uttrykk for et omdreiningslegeme (en torus, altså en "smultring") som oppstår når en sirkel roteres om en akse den IKKE krysser.

Strategi og formel: Sirkelen har likning $(x-a)^2+y^2=R^2$ , som gir en YTRE kurve $x=a+\sqrt{R^2-y^2}$ og en INDRE kurve $x=a-\sqrt{R^2-y^2}$ (siden $R<a$ ligger hele sirkelen til høyre for $y$ -aksen). Bruk skivemetoden (vaskeskive-metoden): volumet er integralet av $\pi\cdot(\text{ytre radius}^2-\text{indre radius}^2)$ langs $y$ -aksen, fra $-R$ til $R$ .

Trinnvis utregning:

Ytre og indre grense: $x_{ytre}=a+\sqrt{R^2-y^2}$ , $x_{indre}=a-\sqrt{R^2-y^2}$ .
$V=\displaystyle\int_{-R}^{R}\pi\left[x_{ytre}^2-x_{indre}^2\right]dy$
$x_{ytre}^2-x_{indre}^2=\left(a+\sqrt{R^2-y^2}\right)^2-\left(a-\sqrt{R^2-y^2}\right)^2$
$=4a\sqrt{R^2-y^2}$ (ved bruk av $(u+v)^2-(u-v)^2=4uv$ med $u=a$ , $v=\sqrt{R^2-y^2}$ ).
$V=\displaystyle\int_{-R}^{R}4\pi a\sqrt{R^2-y^2}\,dy=4\pi a\displaystyle\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-y^2}\,dy$ .
Integralet $\displaystyle\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-y^2}\,dy$ er AREALET av en halvsirkel med radius $R$ , altså $\dfrac{\pi R^2}{2}$ .
$V=4\pi a\cdot\dfrac{\pi R^2}{2}=2\pi^2R^2a$ , som skulle vises.

Svar: Volumet er $V=2\pi^2R^2a$ , som følger av $V=4\pi a\displaystyle\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-y^2}\,dy=4\pi a\cdot\dfrac{\pi R^2}{2}$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Setter opp riktig ytre og indre grense fra sirkellikningen, forenkler $x_{ytre}^2-x_{indre}^2$ korrekt til $4a\sqrt{R^2-y^2}$ , og gjenkjenner at det gjenstående integralet er arealet av en halvsirkel, som gir riktig sluttsvar $2\pi^2R^2a$ .
1/2	Setter opp riktig integral med skivemetoden, men klarer ikke fullføre utregningen (f.eks. ved å ikke gjenkjenne halvsirkel-arealet og i stedet prøve å integrere $\sqrt{R^2-y^2}$ direkte med substitusjon uten å komme i mål).
0/2	Bruker feil metode (f.eks. skallmetoden med feil oppsett, eller antar sirkelen krysser $y$ -aksen selv om $R<a$ er oppgitt), som gir et strukturelt feil integral.

Sensor-tips

Dette er egentlig et bevis for et spesialtilfelle av Pappus' teorem (volum = $2\pi\cdot$ (avstand fra tyngdepunkt til rotasjonsaksen) $\cdot$ (areal av figuren)) – en elev som kjenner til og bruker Pappus' teorem direkte ( $V=2\pi a\cdot\pi R^2=2\pi^2R^2a$ ) bør få full uttelling, men bør helst også vise HVORFOR teoremet gir riktig svar her (altså koble det til integralet).
Nøkkelinnsikten er å gjenkjenne $\int_{-R}^{R}\sqrt{R^2-y^2}\,dy$ som arealet av en halvsirkel UTEN å måtte regne ut integralet med trigonometrisk substitusjon – dette sparer betydelig tid og er verdt å fremheve som en effektiv strategi.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Høst 2024, Del 2, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 4 poeng

Funksjonen $f$ er gitt ved

$f(x)=3^{2x}$

Programmet nedenfor beregner arealet avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x=0$ og $x=2$ ved hjelp av to ulike metoder.


start = 0

slutt = 2

n = 100


dx = (slutt-start)/n


def f(x):

    return 3**(2*x)


def areal_til_hoyre():

    areal = 0

    for i in range(n):

        x = start + i*dx

        areal = areal + f(x)*dx

    return areal


def areal_til_venstre():

    areal = 0

    for i in range(1, n+1):

        x = start + i*dx

        areal = areal + f(x)*dx

    return areal


print(areal_til_hoyre())

print(areal_til_venstre())

a) Forklar hvorfor den ene metoden vil gi en litt for høy verdi for arealet, og den andre metoden en litt for lav verdi.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forstå hvorfor to ulike Riemann-sum-metoder (venstre- og høyre-endepunkt-summer) gir henholdsvis en under- og en overestimering av det eksakte arealet, for en VOKSENDE funksjon.

Strategi og formel: Se nøye på hvilken $x$ -verdi hver funksjon faktisk bruker for hvert rektangel. areal_til_hoyre() bruker $x=\text{start}+i\cdot dx$ for $i=0,\ldots,n-1$ – altså VENSTRE endepunkt av hvert delintervall. areal_til_venstre() bruker $i=1,\ldots,n$ – altså HØYRE endepunkt. Siden $f(x)=3^{2x}$ er en STRENGT VOKSENDE funksjon, gir venstre endepunkt alltid den LAVESTE verdien i hvert delintervall, og høyre endepunkt den HØYESTE.

Trinnvis utregning:

$f(x)=3^{2x}=9^x$ er strengt voksende for alle $x$ .
areal_til_hoyre() bruker $x_i=i\cdot dx$ for $i=0,\ldots,n-1$ (VENSTRE endepunkt av hvert delintervall $[x_i,x_i+dx]$ ). Siden $f$ er voksende, er $f(x_i)$ den LAVESTE verdien på delintervallet, så summen UNDERVURDERER det virkelige arealet under grafen.
areal_til_venstre() bruker $x_i=i\cdot dx$ for $i=1,\ldots,n$ (HØYRE endepunkt av hvert delintervall). Siden $f$ er voksende, er dette den HØYESTE verdien på delintervallet, så summen OVERVURDERER arealet.
Merk at funksjonsnavnene er MOTSATT av det man kanskje intuitivt ville forventet: areal_til_hoyre() bruker faktisk VENSTRE endepunkter (og gir laveste/underestimat), mens areal_til_venstre() bruker HØYRE endepunkter (og gir høyeste/overestimat).
Kontrollverdier (eksakt integral $\int_0^2 3^{2x}dx=\dfrac{40}{\ln 3}\approx 36{,}41$ ): areal_til_hoyre() $\approx 35{,}62$ (for lavt), areal_til_venstre() $\approx 37{,}22$ (for høyt).

Svar: areal_til_hoyre() bruker venstre endepunkter og gir en verdi som er for lav, siden $f$ er voksende. areal_til_venstre() bruker høyre endepunkter og gir en verdi som er for høy, av samme grunn.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Identifiserer nøyaktig hvilken $x$ -verdi (venstre eller høyre endepunkt av delintervallet) hver funksjon faktisk bruker ved å lese løkke-indeksen, kobler dette til at $f$ er strengt voksende, og konkluderer riktig hvilken metode som gir hhv. under- og overestimat.
2/4	Forstår at én metode gir for høy og én for lav verdi, men klarer ikke koble riktig funksjonsnavn til riktig type feil (blir forvirret av at `areal_til_hoyre()` faktisk bruker VENSTRE endepunkter, ikke høyre).
0/4	Antar uten videre analyse at funksjonsnavnene beskriver riktig hva de gjør (at 'til_hoyre' bruker høyre endepunkter), uten å faktisk lese koden nøye.

Sensor-tips

Denne oppgaven har en bevisst 'felle' i navngivingen: areal_til_hoyre() bruker range(n) som gir $i=0,\ldots,n-1$ (VENSTRE endepunkter), mens areal_til_venstre() bruker range(1,n+1) som gir $i=1,\ldots,n$ (HØYRE endepunkter) – funksjonsnavnene stemmer altså IKKE med hva koden faktisk gjør. Elever må lese koden linje for linje, ikke stole på funksjonsnavnene.
Poenget generaliserer til enhver strengt voksende funksjon: venstre Riemann-sum undervurderer alltid, høyre Riemann-sum overvurderer alltid arealet under grafen. For en AVTAGENDE funksjon er det motsatt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Høst 2025, Del 2, Oppgave 4