Numerisk integrasjon

En numerisk integrasjonsALGORITME tilnærmer $\int_a^b f(x)\, dx$ ved å dele intervallet $[a,b]$ i $n$ like brede delintervaller og summere arealet av enkle figurer under grafen. TRAPESMETODEN bruker TRAPESER i stedet for rektangler (som i Riemann-summene fra forrige tema) – hvert delintervall får en trapesformet flate med grafens verdier i endepunktene som parallelle sider, noe som gir en bedre tilnærming enn rektangler for de fleste funksjoner.

Trapesmetoden

$\int_a^b f(x)\, dx \approx h\left(\dfrac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right), \quad h = \dfrac{b-a}{n}$

Algoritme: trapesmetoden
Steg	Gjør dette
1	Del [a,b] inn i n like brede delintervaller med bredde h=(b−a)/n
2	Regn ut f(x) i alle n+1 delepunktene
3	Summer: h · ((f(x₀)+f(xₙ))/2 + f(x₁)+f(x₂)+…+f(xₙ₋₁))
4	Svaret er tilnærmingen til integralet

Tips

Flere delintervaller ( $n$ større) gir vanligvis en BEDRE tilnærming – dette er nøyaktig samme idé som i Riemann-summene: finere inndeling nærmer seg det eksakte svaret.
Trapesmetoden er faktisk EKSAKT (ikke bare en tilnærming) når $f$ er en RETT LINJE – da har hvert delintervall allerede en perfekt trapesform, uten avrundingsfeil.

Eksempel: Tilnærme et integral med trapesmetoden

Bruk trapesmetoden med $n=4$ delintervaller til å tilnærme $\int_0^4 \sqrt{x}\, dx$ . Sammenlign med den eksakte verdien $\frac{16}{3} \approx 5{,}33$ .

Trapesmetoden for √x på [0,4], n=4
xᵢ	f(xᵢ)= $\sqrt{xᵢ}$
0	0
1	1
2	1,41
3	1,73
4	2 → sum ≈ 5,15

Løsning:

Vi deler $[0,4]$ i $4$ delintervaller med bredde $h=1$ : $x=0,1,2,3,4$
regn ut $f(x)=\sqrt{x}$ i hvert punkt: $0,\ 1,\ 1{,}41,\ 1{,}73,\ 2$
bruk trapesformelen: $h\left(\frac{f(0)+f(4)}{2} + f(1)+f(2)+ f(3)\right) = 1 \cdot \left(\frac{0+2}{2} + 1+1{,}41+1{,}73\right)$
$= 1 + 4{,}15 = 5{,}15$ . Trapesmetoden gir ca. $5{,}15$ , nær den eksakte verdien $5{,}33$ – tilnærmingen bommer med under $0{,}2$ .

Alternativ forklaring/metode: Bruk midtpunktet i stedet for trapeser

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Midtpunktmetoden – en alternativ algoritme

I stedet for trapeser kan du bruke MIDTPUNKTMETODEN: lag $n$ rektangler der HØYDEN er funksjonsverdien i MIDTPUNKTET av hvert delintervall (ikke venstre eller høyre kant). For samme integral $\int_0^4 \sqrt{x}\, dx$ med $n=4$ : midtpunktene er $0{,}5,\ 1{,}5,\ 2{,}5,\ 3{,}5$ , med funksjonsverdier $\approx 0{,}71,\ 1{,}22,\ 1{,}58,\ 1{,}87$ → summen ganger bredden $1$ gir $\approx 5{,}38$ – NÆRMERE den eksakte verdien $5{,}33$ enn trapesmetodens $5{,}15$ . Midtpunktmetoden er ofte (men ikke alltid) mer nøyaktig enn trapesmetoden for samme antall delintervaller, siden over- og underestimering fra kurvaturen delvis kansellerer hverandre innad i hvert rektangel.

Trapes vs. midtpunkt for samme integral
Metode	Tilnærming	Avvik fra 5,33
Trapesmetoden	5,15	0,18
Midtpunktmetoden	5,38	0,05

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva er bredden $h$ til hvert delintervall når $[0,4]$ deles i $n=4$ deler?

Vis fasit

Beregning	Resultat
h = (b-a)/n	(4-0)/4
1

h = (b-a)/n = (4-0)/4
1

L-12Hvor mange funksjonsverdier trenger du for trapesmetoden med

n=4

delintervaller?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Med n	4 delintervaller er det n+1 delepunkter
4+1
5 punkter

Med n=4 delintervaller er det n+1 delepunkter
4+1
5 punkter

L-13Er trapesmetoden EKSAKT eller kun en TILNÆRMING når

f(x)

er en rett linje?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Hver trapesformet flate matcher grafen perfekt for en rett linje
eksakt

Hver trapesformet flate matcher grafen perfekt for en rett linje
eksakt

Middels(3)

M-11Bruk venstre-, høyre- og trapesmetoden med

n=2

til å tilnærme

\int_0^2 x^2\, dx

(bredde

h=1

f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4

Vis fasit

Beregning	Resultat
Venstre: 1·(f(0)+f(1))=0+1	1
høyre: 1·(f(1)+f(2))=1+4	5
trapes: 1·((f(0)+f(2))/2+f(1))	1·(2+1)
venstre=1, høyre=5, trapes=3

Venstre: 1·(f(0)+f(1))=0+1=1
høyre: 1·(f(1)+f(2))=1+4=5
trapes: 1·((f(0)+f(2))/2+f(1))=1·(2+1)
venstre=1, høyre=5, trapes=3

M-12Den eksakte verdien av

\int_0^2 x^2\, dx

\frac{8}{3} \approx 2{,}67

. Hvilken av venstre-, høyre- og trapesmetoden (fra forrige oppgave) bommer MINST?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Avvik: venstre \|1-2,67\|=1,67, høyre \|5-2,67\|=2,33, trapes \|3-2,67\|	0,33
trapesmetoden bommer minst

Avvik: venstre |1-2,67|=1,67, høyre |5-2,67|=2,33, trapes |3-2,67|=0,33
trapesmetoden bommer minst

M-13Forklar hvorfor et STØRRE antall delintervaller

n

vanligvis gir en bedre tilnærming.

Vis fasit

Beregning	Resultat
Flere, smalere delintervaller følger den krumme grafen bedre
mindre avvik fra det eksakte arealet

Flere, smalere delintervaller følger den krumme grafen bedre
mindre avvik fra det eksakte arealet

Vanskelig(3)

V-11Sett opp trapesmetoden med

n=3

for

\int_0^3 x\, dx

(bredde

h=1

f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3

), og sammenlign med den eksakte verdien

4{,}5

Vis fasit

Beregning	Resultat
1·((f(0)+f(3))/2+f(1)+f(2)) = 1·(1,5+1+2)	4,5
4,5, nøyaktig likt eksakt verdi, siden f(x)=x er lineær

1·((f(0)+f(3))/2+f(1)+f(2)) = 1·(1,5+1+2) = 4,5
4,5, nøyaktig likt eksakt verdi, siden f(x)=x er lineær

V-12Hvorfor gir trapesmetoden EKSAKT samme svar som fundamentalteoremet i forrige oppgave?

Vis fasit

Beregning	Resultat
f(x)	x er en rett linje
hver trapesformet flate matcher grafen perfekt, ingen avrundingsfeil
trapesmetoden er eksakt for lineære funksjoner

f(x)=x er en rett linje
hver trapesformet flate matcher grafen perfekt, ingen avrundingsfeil
trapesmetoden er eksakt for lineære funksjoner

V-13Skisser (i ord) hvordan et program (en løkke) ville regnet ut trapesmetoden for en VILKÅRLIG funksjon

f

a

b

n

Vis fasit

Beregning	Resultat
Algoritmen: beregn h
gå gjennom alle n+1 punkter i en løkke og summer f(x), med endepunktene vektet halvt
gang totalsummen med h
dette er nøyaktig trapesformelen skrevet som en algoritme

Algoritmen: beregn h
gå gjennom alle n+1 punkter i en løkke og summer f(x), med endepunktene vektet halvt
gang totalsummen med h
dette er nøyaktig trapesformelen skrevet som en algoritme