Numerisk integrasjon

En numerisk integrasjonsALGORITME tilnærmer $\int_a^b f(x)\, dx$ ved å dele intervallet $[a,b]$ i $n$ like brede delintervaller og summere arealet av enkle figurer under grafen. TRAPESMETODEN bruker TRAPESER i stedet for rektangler (som i Riemann-summene fra forrige tema). Hvert delintervall får en trapesformet flate med grafens verdier i endepunktene som parallelle sider, noe som gir en bedre tilnærming enn rektangler for de fleste funksjoner.

Algoritmen kan skrives som et program. Funksjonen under tar inn en funksjon f, grensene a og b og antall delintervaller n, og regner ut trapessummen:

from math import sqrt

def trapesmetoden(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = (f(a) + f(b)) / 2
    for i in range(1, n):
        s = s + f(a + i * h)
    return h * s

print(trapesmetoden(sqrt, 0, 4, 4))

Linjen s = (f(a) + f(b)) / 2 er første ledd i formelen, og løkka legger til $f(x_1), f(x_2), \ldots, f(x_{n-1})$ ett for ett. Kjører du programmet, skriver det ut tilnærmingen, avrundet $5{,}15$ som i eksemplet under (Python skriver tall med punktum som desimaltegn).

Trapesmetoden

$\int_a^b f(x)\, dx \approx h\left(\dfrac{f(x_0)+f(x_n)}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right), \quad h = \dfrac{b-a}{n}$

Algoritme: trapesmetoden
Steg	Gjør dette
1	Del [a,b] inn i n like brede delintervaller med bredde h=(b−a)/n
2	Regn ut f(x) i alle n+1 delepunktene
3	Summer: h · ((f(x₀)+f(xₙ))/2 + f(x₁)+f(x₂)+…+f(xₙ₋₁))
4	Svaret er tilnærmingen til integralet

Trapesmetoden, f(x) = √x på [0, 4], n = 4: ≈ 5,15

Tips

Flere delintervaller ( $n$ større) gir vanligvis en BEDRE tilnærming. Dette er nøyaktig samme idé som i Riemann-summene: finere inndeling nærmer seg det eksakte svaret.
Trapesmetoden er faktisk EKSAKT (ikke bare en tilnærming) når $f$ er en RETT LINJE. Da har hvert delintervall allerede en perfekt trapesform, uten avrundingsfeil.

Eksempel: Tilnærme et integral med trapesmetoden

Bruk trapesmetoden med $n=4$ delintervaller til å tilnærme $\int_0^4 \sqrt{x}\, dx$ . Sammenlign med den eksakte verdien $\frac{16}{3} \approx 5{,}33$ .

Løsning:

Vi deler $[0,4]$ i $4$ delintervaller med bredde $h=1$ : $x=0,1,2,3,4$
regn ut $f(x)=\sqrt{x}$ i hvert punkt: $0,\ 1,\ 1{,}41,\ 1{,}73,\ 2$
bruk trapesformelen: $h\left(\frac{f(0)+f(4)}{2} + f(1)+f(2)+ f(3)\right) = 1 \cdot \left(\frac{0+2}{2} + 1+1{,}41+1{,}73\right)$
$= 1 + 4{,}15 = 5{,}15$ . Trapesmetoden gir ca. $5{,}15$ , nær den eksakte verdien $5{,}33$ : tilnærmingen bommer med under $0{,}2$ .

Trapesmetoden for √x på [0,4], n=4
xᵢ	f(xᵢ)= $\sqrt{xᵢ}$
0	0
1	1
2	1,41
3	1,73
4	2 → sum ≈ 5,15

Alternativ forklaring/metode: Bruk midtpunktet i stedet for trapeser

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Midtpunktmetoden – en alternativ algoritme

I stedet for trapeser kan du bruke MIDTPUNKTMETODEN: lag $n$ rektangler der HØYDEN er funksjonsverdien i MIDTPUNKTET av hvert delintervall (ikke venstre eller høyre kant). For samme integral $\int_0^4 \sqrt{x}\, dx$ med $n=4$ : midtpunktene er $0{,}5,\ 1{,}5,\ 2{,}5,\ 3{,}5$ , med funksjonsverdier $\approx 0{,}71,\ 1{,}22,\ 1{,}58,\ 1{,}87$ → summen ganger bredden $1$ gir $\approx 5{,}38$ : NÆRMERE den eksakte verdien $5{,}33$ enn trapesmetodens $5{,}15$ . Midtpunktmetoden er ofte (men ikke alltid) mer nøyaktig enn trapesmetoden for samme antall delintervaller, siden over- og underestimering fra kurvaturen delvis kansellerer hverandre innad i hvert rektangel.

Trapes vs. midtpunkt for samme integral
Metode	Tilnærming	Avvik fra 5,33
Trapesmetoden	5,15	0,18
Midtpunktmetoden	5,38	0,05

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva er bredden $h$ til hvert delintervall når $[0,4]$ deles i $n=4$ deler?

Vis fasit

h = (b-a)/n = (4-0)/4
1

L-12Hvor mange funksjonsverdier trenger du for trapesmetoden med

n=4

delintervaller?

Vis fasit

Med n=4 delintervaller er det n+1 delepunkter
4+1
5 punkter

L-13Er trapesmetoden EKSAKT eller kun en TILNÆRMING når $f(x)$ er en rett linje?

Vis fasit

Hver trapesformet flate matcher grafen perfekt for en rett linje
eksakt

Middels(3)

M-11Bruk venstre-, høyre- og trapesmetoden med $n=2$ til å tilnærme $\int_0^2 x^2\, dx$ (bredde $h=1$ , $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4$ ).

Vis fasit

Venstre: 1·(f(0)+f(1))=0+1=1
høyre: 1·(f(1)+f(2))=1+4=5
trapes: 1·((f(0)+f(2))/2+f(1))=1·(2+1)
venstre=1, høyre=5, trapes=3

M-12Venstre-, høyre- og trapesmetoden med $n=2$ gir tilnærmingene $1$ , $5$ og $3$ for $\int_0^2 x^2\, dx$ . Den eksakte verdien er $\frac{8}{3} \approx 2{,}67$ . Hvilken av de tre metodene bommer MINST?

Vis fasit

Avvik: venstre |1-2,67|=1,67, høyre |5-2,67|=2,33, trapes |3-2,67|=0,33
trapesmetoden bommer minst

M-13Forklar hvorfor et STØRRE antall delintervaller $n$ vanligvis gir en bedre tilnærming.

Vis fasit

Flere, smalere delintervaller følger den krumme grafen bedre
mindre avvik fra det eksakte arealet

Vanskelig(3)

V-11Sett opp trapesmetoden med $n=3$ for $\int_0^3 x\, dx$ (bredde $h=1$ , $f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3$ ), og sammenlign med den eksakte verdien $4{,}5$ .

Vis fasit

1·((f(0)+f(3))/2+f(1)+f(2)) = 1·(1,5+1+2) = 4,5
4,5, nøyaktig likt eksakt verdi, siden f(x)=x er lineær

V-12Trapesmetoden med $n=3$ for $\int_0^3 x\, dx$ gir $4{,}5$ , som er lik den eksakte verdien $4{,}5$ . Hvorfor gir trapesmetoden EKSAKT samme svar som fundamentalteoremet?

Vis fasit

Trapesmetoden gir $4{,}5$ , lik den eksakte verdien
f(x)=x er en rett linje
hver trapesformet flate matcher grafen perfekt, ingen avrundingsfeil
trapesmetoden er eksakt for lineære funksjoner

V-13Skisser (i ord) hvordan et program (en løkke) ville regnet ut trapesmetoden for en VILKÅRLIG funksjon $f$ , $a$ , $b$ og $n$ .

Vis fasit

Algoritmen: beregn h
gå gjennom alle n+1 punkter i en løkke og summer f(x), med endepunktene vektet halvt
gang totalsummen med h
dette er nøyaktig trapesformelen skrevet som en algoritme