Omdreiningslegemer

Roterer du grafen til $f(x)$ på $[a,b]$ én hel runde RUNDT $x$ -AKSEN, får du et tredimensjonalt OMDREININGSLEGEME. VOLUMET av dette legemet regnes ut med et integral: tenk deg legemet delt i tynne SIRKELSKIVER, hver med radius $f(x)$ og tykkelse $dx$ : arealet av hver skive er $\pi f(x)^2$ , og volumet er summen (integralet) av alle skivene fra $a$ til $b$ .

Volum av omdreiningslegeme (rundt x-aksen)

$V = \pi \displaystyle\int_a^b f(x)^2\, dx$

Kjegle med radius 3 og høyde 3: grafen til f(x) = x rotert rundt x-aksen

Fra funksjon til omdreiningslegeme
Del	Betydning
f(x)	Radius til sirkelskiven ved x
π f(x)²	Arealet av sirkelskiven ved x
∫ₐᵇ π f(x)² dx	Volumet av hele omdreiningslegemet

Tips

Glem ALDRI å KVADRERE $f(x)$ før du integrerer. Det er arealet av en SIRKEL ( $\pi r^2$ ) du summerer, ikke omkretsen eller radiusen direkte.
Sjekk svaret ditt mot en KJENT volumformel når det er mulig (kjegle, sylinder, kule): roterer du en rett linje eller en konstant funksjon, kan du regne ut fasiten to ganger på to helt ulike måter.

Eksempel: Volumet av en kjegle, regnet ut med integral

Grafen til $f(x) = x$ på $[0,3]$ roteres én hel runde rundt $x$ -aksen. Finn volumet av det resulterende omdreiningslegemet (en kjegle), og sjekk svaret mot kjeglevolum-formelen $V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$ .

Løsning:

Vi bruker formelen for omdreiningslegemer: $V = \pi \int_0^3 x^2\, dx$
finn den antideriverte: $\pi \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3$
sett inn grensene: $\pi \left(\frac{27}{3} - 0\right) = 9\pi$
SJEKK: kjeglen har radius $r=3$ (siden $f(3)=3$ ) og høyde $h=3$ , så kjeglevolum-formelen gir $\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 3 = 9\pi$ : SAMME svar. Volumet av kjeglen er $9\pi$ .

To metoder, samme svar
Metode	Uttrykk	Volum
Integral	π∫₀³x²dx = π[x³/3]₀³	9π
Kjeglevolum-formel	( $\frac{1}{3}$ )π·3²·3	9π

Alternativ forklaring/metode: Finn volumet til en form som ikke har en klassisk formel

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Bruke integralmetoden på en form UTEN kjent formel

Integralmetoden sin egentlige styrke viser seg når formen IKKE er en kjegle, sylinder eller kule. Da finnes det ingen enkel formel å sjekke mot, og integralet er eneste vei. Roter $f(x)=\sqrt{x}$ på $[0,4]$ rundt $x$ -aksen: $V = \pi \int_0^4 x\, dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi$ : en paraboloide-form uten noen klassisk volumformel å sammenligne med. Dette viser hvorfor integralmetoden er GENERELL: den fungerer for ENHVER funksjon, ikke bare de spesielle formene som har navngitte formler.

Volum av paraboloiden fra √x på [0,4]
Steg	Uttrykk
π∫₀⁴x dx	π[x²/2]₀⁴
Volum	π·8 = 8π

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hvilket uttrykk representerer AREALET av sirkelskiven ved $x$ , når radiusen er $f(x)$ ?

Vis fasit

Sirkelareal er π ganger radius i annen
π f(x)²

L-22Skriv opp integralet for volumet av omdreiningslegemet til

f(x)

på

[a,b]

Vis fasit

Summer skivenes areal fra a til b
V = π ∫ₐᵇ f(x)² dx

L-23 $f(x)=2$ (konstant) på $[0,5]$ roteres om $x$ -aksen. Hvilken kjent form oppstår?

Vis fasit

f(x)=2 er en konstant funksjon, rotert om x-aksen gir samme radius overalt
en sylinder

Middels(3)

M-21 $f(x)=2$ (konstant) på $[0,5]$ roteres om $x$ -aksen og gir en sylinder. Finn volumet av sylinderen med integralformelen.

Vis fasit

V = π∫₀⁵ 2² dx = π∫₀⁵ 4 dx = π·4·5
20π

M-22Integralformelen gir volumet $20\pi$ for omdreiningslegemet fra $f(x)=2$ på $[0,5]$ . Sjekk svaret mot sylinderformelen $V=\pi r^2 h$ .

Vis fasit

r=2, h=5
π·4·5 = 20π, stemmer med integralet

M-23 $f(x) = x^2$ på $[0,1]$ roteres om $x$ -aksen. Finn volumet.

Vis fasit

Kvadrer f(x)=x^2: V = π∫(x²)²dx = π∫x⁴dx = π[x⁵/5]
π/5

Vanskelig(3)

V-21Grafen til $f(x)=2x$ på $[0,4]$ roteres om $x$ -aksen. Finn volumet, og sjekk mot kjeglevolum-formelen (radius = f(4) = 8, høyde 4).

Vis fasit

V = π∫₀⁴(2x)²dx = π∫₀⁴4x²dx = π[4x³/3]₀⁴ = 256π/3
kjeglevolum: ( $\frac{1}{3}$ )π·64·4 = 256π/3
256π/3, begge metoder stemmer

V-22Forklar hvorfor du MÅ kvadrere $f(x)$ i volumformelen, i stedet for bare å bruke $f(x)$ direkte.

Vis fasit

Sirkelarealet πr² krever radiusen kvadrert, ikke radiusen alene
uten kvadrering ville formelen regnet feil geometrisk størrelse

V-23Forklar hvorfor integralmetoden for omdreiningslegemer er NYTTIGERE enn å pugge kjegle-, sylinder- og kuleformler hver for seg.

Vis fasit

Kjente formler dekker kun noen få spesialtilfeller
integralet π∫f(x)²dx fungerer for enhver funksjon f
integralmetoden er generell, formlene er spesialtilfeller av den