NumiSum

Omdreiningslegemer

Roterer du grafen til f(x)f(x) på [a,b][a,b] én hel runde RUNDT xx-AKSEN, får du et tredimensjonalt OMDREININGSLEGEME. VOLUMET av dette legemet regnes ut med et integral: tenk deg legemet delt i tynne SIRKELSKIVER, hver med radius f(x)f(x) og tykkelse dxdx – arealet av hver skive er πf(x)2\pi f(x)^2, og volumet er summen (integralet) av alle skivene fra aa til bb.

Volum av omdreiningslegeme (rundt x-aksen)

V=π∫abf(x)2 dxV = \pi \displaystyle\int_a^b f(x)^2\, dx

Fra funksjon til omdreiningslegeme
DelBetydning
f(x)Radius til sirkelskiven ved x
π f(x)²Arealet av sirkelskiven ved x
∫ₐᵇ π f(x)² dxVolumet av hele omdreiningslegemet

Tips

  • Glem ALDRI å KVADRERE f(x)f(x) før du integrerer – det er arealet av en SIRKEL (πr2\pi r^2) du summerer, ikke omkretsen eller radiusen direkte.
  • Sjekk svaret ditt mot en KJENT volumformel når det er mulig (kjegle, sylinder, kule) – roterer du en rett linje eller en konstant funksjon, kan du regne ut fasiten to ganger på to helt ulike måter.

Eksempel: Volumet av en kjegle, regnet ut med integral

Grafen til f(x)=xf(x) = x på [0,3][0,3] roteres én hel runde rundt xx-aksen. Finn volumet av det resulterende omdreiningslegemet (en kjegle), og sjekk svaret mot kjeglevolum-formelen V=13πr2hV=\frac{1}{3}\pi r^2 h.

To metoder, samme svar
MetodeUttrykkVolum
Integralπ∫₀³x²dx = π[x³/3]₀³9π
Kjeglevolum-formel(13\frac{1}{3})π·3²·39π
Løsning:
  1. Vi bruker formelen for omdreiningslegemer: V=π∫03x2 dxV = \pi \int_0^3 x^2\, dx
  2. finn den antideriverte: π[x33]03\pi \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3
  3. sett inn grensene: π(273−0)=9π\pi \left(\frac{27}{3} - 0\right) = 9\pi
  4. SJEKK: kjeglen har radius r=3r=3 (siden f(3)=3f(3)=3) og høyde h=3h=3, så kjeglevolum-formelen gir 13π⋅32⋅3=9π\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 3 = 9\pi – SAMME svar. Volumet av kjeglen er 9π9\pi.
Alternativ forklaring/metode: Finn volumet til en form som ikke har en klassisk formel

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Bruke integralmetoden på en form UTEN kjent formel

Integralmetoden sin egentlige styrke viser seg når formen IKKE er en kjegle, sylinder eller kule – da finnes det ingen enkel formel å sjekke mot, og integralet er eneste vei. Roter f(x)=xf(x)=\sqrt{x} på [0,4][0,4] rundt xx-aksen: V=π∫04x dx=π[x22]04=π⋅8=8πV = \pi \int_0^4 x\, dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi – en paraboloide-form uten noen klassisk volumformel å sammenligne med. Dette viser hvorfor integralmetoden er GENERELL: den fungerer for ENHVER funksjon, ikke bare de spesielle formene som har navngitte formler.

Volum av paraboloiden fra √x på [0,4]
StegUttrykk
π∫₀⁴x dxπ[x²/2]₀⁴
Volumπ·8 = 8π

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hvilket uttrykk representerer AREALET av sirkelskiven ved xx, når radiusen er f(x)f(x)?

Vis fasit
BeregningResultat
Sirkelareal er π ganger radius i annen
π f(x)²
  1. Sirkelareal er π ganger radius i annen
  2. π f(x)²

L-22Skriv opp integralet for volumet av omdreiningslegemet til f(x)f(x) på [a,b][a,b].

Vis fasit
BeregningResultat
Summer skivenes areal fra a til b
V = π ∫ₐᵇ f(x)² dx
  1. Summer skivenes areal fra a til b
  2. V = π ∫ₐᵇ f(x)² dx

L-23f(x)=2f(x)=2 (konstant) på [0,5][0,5] roteres om xx-aksen. Hvilken kjent form oppstår?

Vis fasit
BeregningResultat
f(x)2 er en konstant funksjon, rotert om x-aksen gir samme radius overalt
en sylinder
  1. f(x)=2 er en konstant funksjon, rotert om x-aksen gir samme radius overalt
  2. en sylinder
Middels(3)

M-21Finn volumet av sylinderen i forrige oppgave (f(x)=2f(x)=2 på [0,5][0,5]) med integralformelen.

Vis fasit
BeregningResultat
V = π∫₀⁵ 2² dx = π∫₀⁵ 4 dxπ·4·5
20π
  1. V = π∫₀⁵ 2² dx = π∫₀⁵ 4 dx = π·4·5
  2. 20π

M-22Sjekk svaret i forrige oppgave mot sylinderformelen V=πr2hV=\pi r^2 h.

Vis fasit
BeregningResultat
r=2, h5
π·4·520π, stemmer med integralet
  1. r=2, h=5
  2. π·4·5 = 20π, stemmer med integralet

M-23f(x)=x2f(x) = x^2 på [0,1][0,1] roteres om xx-aksen. Finn volumet.

Vis fasit
BeregningResultat
Kvadrer f(x)=x^2: V = π∫(x²)²dx = π∫x⁴dxπ[x⁵/5]
π/5
  1. Kvadrer f(x)=x^2: V = π∫(x²)²dx = π∫x⁴dx = π[x⁵/5]
  2. π/5
Vanskelig(3)

V-21Grafen til f(x)=2xf(x)=2x på [0,4][0,4] roteres om xx-aksen. Finn volumet, og sjekk mot kjeglevolum-formelen (radius = f(4) = 8, høyde 4).

Vis fasit
BeregningResultat
V = π∫₀⁴(2x)²dx = π∫₀⁴4x²dx = π[4x³/3]₀⁴256π/3
kjeglevolum: (13\frac{1}{3})π·64·4256π/3
256π/3, begge metoder stemmer
  1. V = π∫₀⁴(2x)²dx = π∫₀⁴4x²dx = π[4x³/3]₀⁴ = 256π/3
  2. kjeglevolum: (13\frac{1}{3})π·64·4 = 256π/3
  3. 256π/3, begge metoder stemmer

V-22Forklar hvorfor du MÅ kvadrere f(x)f(x) i volumformelen, i stedet for bare å bruke f(x)f(x) direkte.

Vis fasit
BeregningResultat
Sirkelarealet πr² krever radiusen kvadrert, ikke radiusen alene
uten kvadrering ville formelen regnet feil geometrisk størrelse
  1. Sirkelarealet πr² krever radiusen kvadrert, ikke radiusen alene
  2. uten kvadrering ville formelen regnet feil geometrisk størrelse

V-23Forklar hvorfor integralmetoden for omdreiningslegemer er NYTTIGERE enn å pugge kjegle-, sylinder- og kuleformler hver for seg.

Vis fasit
BeregningResultat
Kjente formler dekker kun noen få spesialtilfeller
integralet π∫f(x)²dx fungerer for enhver funksjon f
integralmetoden er generell, formlene er spesialtilfeller av den
  1. Kjente formler dekker kun noen få spesialtilfeller
  2. integralet π∫f(x)²dx fungerer for enhver funksjon f
  3. integralmetoden er generell, formlene er spesialtilfeller av den