Sjekk din forståelse – Grenseverdier og kontinuitet (R1)

Q-1 For $s(t) = 5t^2$ : finn gjennomsnittsfarten fra $t = 0$ til $t = 4$ sekunder.

Finn gjennomsnittsfarten
Fra t	Til t	Gjennomsnittsfart
0	4	20 m/s

s(0) = 0 og s(4) = 80
(80 - 0) delt på (4 - 0) = 20 m/s. Se «Fra gjennomsnittlig til momentan vekstfart» for mer informasjon.

Q-2 Hva er forskjellen mellom gjennomsnittsfart og momentanfart?

Gjennomsnitt vs. momentan
Begrep	Måler
Gjennomsnittsfart	Helt tidsintervall
Momentanfart	Ett øyeblikk

Momentanfart er grenseverdien når de to tidspunktene i gjennomsnittsfart glir sammen
momentanfart gjelder ett eneste øyeblikk. Se «Fra gjennomsnittlig til momentan vekstfart» for mer informasjon.

Q-3 Bruk grenseverdi-definisjonen til å finne momentanfarten for $s(t) = 5t^2$ ved $t = 1$ .

Finn momentanfarten
t	Momentanfart
1	10 m/s

Q-4 Hva er et tegn på at du bør faktorisere og forkorte en brøk før du beregner en grenseverdi?

Tegn på faktorisering
Signal	Betyr
$\frac{0}{0}$ ved innsetting	Felles faktor – faktoriser og forkort

$\frac{0}{0}$ er en udefinert form som signaliserer en felles faktor
må forkortes bort før grenseverdien kan beregnes. Se «Beregne grenseverdier» for mer informasjon.

Q-5 Beregn $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}$ .

Beregn grenseverdien
Grenseverdi	Svar
lim x→4 (x²−16)/(x−4)	8

Q-6 Beregn $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 5x}{x}$ .

Beregn grenseverdien
Grenseverdi	Svar
lim x→0 (x²+5x)/x	5

Q-7 Hva er de tre kravene for at en funksjon skal være kontinuerlig i et punkt $a$ ?

Kontinuitet krever at grenseverdi og funksjonsverdi begge finnes OG er like
alle tre kravene må være oppfylt samtidig. Se «Kontinuitet og diskontinuitet» for mer informasjon.

Q-8 En kjøleventilator går på $10$ W under $4$ °C, og $60$ W ved $4$ °C eller høyere. Er effektfunksjonen kontinuerlig ved $4$ °C?

Er effektfunksjonen kontinuerlig?
Retning	Effekt
Fra venstre	10 W
Fra høyre (og ved 4 °C)	60 W – hopp

Grenseverdien fra venstre (10 W) og fra høyre (60 W) er ulike
diskontinuerlig, et hopp. Se «Kontinuitet og diskontinuitet» for mer informasjon.

Q-9 Hva kalles en diskontinuitet der grenseverdien finnes, men funksjonen selv er udefinert i punktet?

Type diskontinuitet
Type	Kjennetegn
Fjernbar	Grenseverdi finnes, f(a) mangler

Grenseverdien eksisterer, men funksjonen mangler en definert verdi der
dette kalles en fjernbar diskontinuitet. Se «Kontinuitet og diskontinuitet» for mer informasjon.