Kontinuitet og diskontinuitet

En funksjon er KONTINUERLIG i et punkt $a$ hvis tre ting stemmer SAMTIDIG: grenseverdien $\lim_{x \to a} f(x)$ finnes, funksjonsverdien $f(a)$ finnes, og de to er LIK HVERANDRE. Mangler ett av disse, er funksjonen DISKONTINUERLIG i $a$ – for eksempel et «hopp» der grenseverdien fra venstre og høyre er ulike, slik effekten til en termostatstyrt varmeovn ofte er.

Kontinuitetskravet i et punkt a

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Varmeovn styrt av en termostat
Temperatur	Effekt
Under 18 °C	500 W
18 °C og over	200 W

Tips

Sjekk kontinuitet ved å sammenligne grenseverdien FRA VENSTRE og FRA HØYRE i punktet. Er de ulike, er det et hopp – funksjonen er diskontinuerlig der.
En graf du kan tegne UTEN å løfte pennen er kontinuerlig. Må du løfte pennen for å hoppe til et nytt sted, er funksjonen diskontinuerlig akkurat der.

Eksempel: Er varmeovnens effekt kontinuerlig ved 18 °C?

En termostatstyrt varmeovn bruker $500$ W når romtemperaturen er under $18$ °C, og $200$ W når temperaturen er $18$ °C eller høyere. Er effektfunksjonen kontinuerlig ved $18$ °C?

Grenseverdi fra venstre og høyre ved 18 °C
Retning	Verdi
Fra venstre	500 W
Fra høyre (og ved 18 °C)	200 W
Konklusjon	Diskontinuerlig (hopp)

Løsning:

Vi sjekker grenseverdien fra venstre og fra høyre ved $x = 18$
for temperaturer LIKE UNDER $18$ °C er effekten $500$ W, så grenseverdien fra venstre er $500$
for temperaturer LIK ELLER OVER $18$ °C er effekten $200$ W, så grenseverdien fra høyre (og verdien AKKURAT VED $18$ °C) er $200$
grenseverdien fra venstre ( $500$ ) og fra høyre ( $200$ ) er ULIKE, så grenseverdien $\lim_{x \to 18} f(x)$ finnes ikke i det hele tatt. Effekt- funksjonen er IKKE kontinuerlig ved $18$ °C – det er et hopp i effekten.

Alternativ forklaring/metode: Kjenn igjen en fjernbar diskontinuitet

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Se etter en «hullet» graf i stedet for et hopp

Ikke all diskontinuitet er et hopp. Funksjonen $g(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5}$ (fra forrige undertema) er udefinert nøyaktig ved $x = 5$ , selv om grenseverdien der faktisk FINNES og er $10$ . Grafen ser ut som en rett linje med ett eneste «hull» i seg ved $x = 5$ . Dette kalles en FJERNBAR diskontinuitet – ulik hopp-diskontinuiteten i varmeovns- eksempelet, siden grenseverdien her faktisk eksisterer, men funksjonen rett og slett ikke er DEFINERT i akkurat det punktet.

Hopp vs. fjernbar diskontinuitet
Type diskontinuitet	Grenseverdi
Hopp (varmeovn)	Finnes ikke
Fjernbar (g(x) ved x=5)	Finnes (10), men udefinert i punktet

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er de tre kravene for at en funksjon skal være kontinuerlig i et punkt $a$ ?

Vis fasit

Tre krav for kontinuitet
Krav	Beskrivelse
1	Grenseverdien finnes
2	f(a) finnes
3	De to er like

Kontinuitet krever grenseverdi = funksjonsverdi
begge må finnes OG være like

L-32Hva kalles en diskontinuitet der grenseverdien fra venstre og høyre er ulike?

Vis fasit

Type diskontinuitet
Type	Kjennetegn
Hopp	Ulik grenseverdi fra venstre/høyre

Ulike grenseverdier fra hver side gir en brå endring
et hopp

L-33Et digitalt termometer viser temperaturen avrundet til nærmeste hele grad. Er en slik avrundingsfunksjon kontinuerlig ved overgangen mellom to hele grader?

Vis fasit

Er avrundingsfunksjonen kontinuerlig?
Overgang	Kontinuerlig?
Mellom to hele grader	Nei – hopp

Verdien endrer seg brått fra én avrundet verdi til den neste
diskontinuerlig ved kantene

Middels(3)

M-31En kjøleventilator går på

10

W når temperaturen i et kjøleskap er under

4

°C, og

60

W når temperaturen er

4

°C eller høyere. Er effektfunksjonen kontinuerlig ved

4

°C?

Vis fasit

Er effektfunksjonen kontinuerlig?
Retning	Effekt
Fra venstre	10 W
Fra høyre (og ved 4 °C)	60 W – hopp

Grenseverdi fra venstre er 10 W, fra høyre (og ved 4 °C) er 60 W
ulike grenseverdier, diskontinuerlig

M-32Er funksjonen

s(t) = 5t^2

kontinuerlig ved

t = 3

? Begrunn.

Vis fasit

Er s(t) kontinuerlig ved t = 3?
Størrelse	Verdi
Grenseverdi ved t = 3	45
s(3)	45 – like, kontinuerlig

s(3) = 45, og grenseverdien når t nærmer seg 3 er også 45
de er like, funksjonen er kontinuerlig

M-33Funksjonen

g(x) = \frac{x^2 - 16}{x - 4}

er udefinert ved

x = 4

. Finnes grenseverdien

\lim_{x \to 4} g(x)

likevel?

Vis fasit

Finnes grenseverdien?
x	g(x)
4 (udefinert)	Grenseverdi = 8

Faktoriser og forkort: (x-4)(x+4) delt på (x-4) = x+4
sett inn x=4
grenseverdien er 8, selv om g(4) selv er udefinert

Vanskelig(3)

V-31Hva slags diskontinuitet har funksjonen i forrige oppgave ved

x = 4

Vis fasit

Hva slags diskontinuitet
Egenskap	Verdi
Grenseverdi ved x = 4	Finnes (8)
g(4)	Udefinert – fjernbar diskontinuitet

Ved x = 4 finnes grenseverdien (8), men funksjonen selv er udefinert der
fjernbar diskontinuitet, ikke et hopp

V-32Forklar forskjellen mellom et HOPP og en FJERNBAR diskontinuitet.

Vis fasit

Hopp vs. fjernbar diskontinuitet
Type	Grenseverdi finnes?
Hopp	Nei (venstre ≠ høyre)
Fjernbar	Ja, men f(a) mangler/feil

Hopp: grenseverdi fra venstre ≠ grenseverdi fra høyre
ingen grenseverdi finnes
fjernbar: grenseverdien finnes, men funksjonsverdien mangler eller stemmer ikke med den

V-33Hvorfor er det nyttig for en ingeniør å vite at en effektfunksjon har et hopp, og ikke bare øker jevnt?

Vis fasit

Hvorfor hopp er relevant for en ingeniør
Type endring	Konsekvens
Jevn økning	Forutsigbar belastning
Hopp	Kan gi strømtopper

Rett under en grense (som 18 °C) er effekten lav, rett over hopper den opp
et plutselig hopp kan belaste kretsen mer enn en jevn overgang, noe ingeniøren må ta høyde for