NumiSum

Fra gjennomsnittlig til momentan vekstfart

GJENNOMSNITTLIG vekstfart mellom to tidspunkt aa og bb er stigningstallet til sekantlinjen mellom dem: f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a}. MOMENTAN vekstfart i ETT tidspunkt aa er hva dette stigningstallet nærmer seg når bb kommer nærmere og nærmere aa, altså en GRENSEVERDI. Dette er selve definisjonen bak den deriverte f′(a)f'(a): den momentane vekstfarten er grenseverdien til den gjennomsnittlige vekstfarten når intervallet krympes mot null. I fysikk er dette forskjellen mellom en GJENNOMSNITTSFART (total strekning delt på total tid) og farten speedometeret viser i ETT ØYEBLIKK.

Gjennomsnittlig vekstfart

f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Momentan vekstfart (den deriverte)

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Fra sekant til tangent
BegrepMåler
Gjennomsnittlig vekstfartStigningstall for sekanten mellom to punkter
Momentan vekstfartGrenseverdien av sekantens stigningstall når punktene glir sammen

Tips

  • Gjennomsnittlig vekstfart trenger to tidspunkt og gir ETT tall for HELE intervallet. Momentan vekstfart trenger bare ett tidspunkt, men beskriver farten der og da.
  • Legg merke til at hh i grenseverdi-definisjonen ALDRI settes til nøyaktig 00 underveis. Det ville gitt divisjon med null. hh nærmer seg 00, det blir aldri 00.
  • Kontroller svaret med den kjente deriverte-regelen fra 1T. Potensregelen fra 1T sier at f(t)=c⋅tnf(t) = c \cdot t^n har f′(t)=c⋅n⋅tn−1f'(t) = c \cdot n \cdot t^{n-1}. For s(t)=5t2s(t) = 5t^2 gir det s′(t)=10ts'(t) = 10t, og ved t=2t = 2: s′(2)=10⋅2=20s'(2) = 10 \cdot 2 = 20 m/s: samme svar som grenseverdi-utregningen. Poenget med å gå veien om grenseverdi-definisjonen er ikke å FÅ et annet svar, men å FORSTÅ hvorfor potensregelen faktisk stemmer.

Eksempel: Fallhastigheten til en ball i fritt fall

En ball slippes og faller. Falt strekning etter tt sekunder er s(t)=5t2s(t) = 5t^2 meter. Finn gjennomsnittsfarten fra t=1t = 1 til t=3t = 3 sekunder, og bruk deretter grenseverdi-definisjonen til å finne momentanfarten ved t=2t = 2 sekunder.

Løsning:
  1. Gjennomsnittsfarten fra t=1t = 1 til t=3t = 3: s(3)−s(1)3−1=45−52=20\frac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \frac{45 - 5}{2} = 20 m/s
  2. for momentanfarten ved t=2t = 2 bruker vi grenseverdi-definisjonen: s′(2)=lim⁡h→05(2+h)2−5⋅22hs'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{5(2+h)^2 - 5 \cdot 2^2}{h}
  3. utvid parentesen: 5(2+h)2−20=5(4+4h+h2)−20=20h+5h25(2+h)^2 - 20 = 5(4 + 4h + h^2) - 20 = 20h + 5h^2
  4. del på hh: 20h+5h2h=20+5h\frac{20h + 5h^2}{h} = 20 + 5h
  5. la h→0h \to 0: 20+0=2020 + 0 = 20. Momentanfarten ved t=2t = 2 s er 2020 m/s: ulik gjennomsnittsfarten over [1,3][1, 3], som her tilfeldigvis også ble 2020 m/s siden t=2t = 2 ligger midt i intervallet for en andregradsfunksjon.
Fra grenseverdi-uttrykk til momentanfart
StegUttrykk
Sett inn i definisjonen(5(2+h)² − 5·2²) / h
Utvid telleren(20h + 5h²) / h
Forkort bort h20 + 5h
La h → 020 m/s

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11For s(t)=5t2s(t) = 5t^2: finn gjennomsnittsfarten fra t=0t = 0 til t=4t = 4 sekunder. Svar i m/s.

Vis fasit
  1. s(0) = 0 og s(4) = 80
  2. 80−04−0=\frac{80 - 0}{4 - 0} = 20 m/s
Finn gjennomsnittsfarten
Fra tTil tGjennomsnittsfart
0420 m/s

L-12For s(t)=5t2s(t) = 5t^2: finn gjennomsnittsfarten fra t=2t = 2 til t=5t = 5 sekunder. Svar i m/s.

Vis fasit
  1. s(2) = 20 og s(5) = 125
  2. 125−205−2=\frac{125 - 20}{5 - 2} = 35 m/s
Finn gjennomsnittsfarten
Fra tTil tGjennomsnittsfart
2535 m/s

L-13Hva er forskjellen mellom gjennomsnittsfart og momentanfart?

Vis fasit
  1. Gjennomsnittsfart bruker to tidspunkt
  2. momentanfart er grenseverdien når de to tidspunktene glir sammen til ett
Gjennomsnitt vs. momentan
BegrepMåler
GjennomsnittsfartHelt tidsintervall
MomentanfartEtt øyeblikk
Middels(3)

M-11Bruk grenseverdi-definisjonen til å finne momentanfarten for s(t)=5t2s(t) = 5t^2 ved t=1t = 1. Svar i m/s.

Vis fasit
  1. s'(1) = grenseverdien av (5(1+h)² - 5·1²) delt på h når h
  2. 0
  3. 10h+5h2h=10\frac{10h + 5h^2}{h} = 10 + 5h
  4. 10 m/s
Finn momentanfarten
tMomentanfart
110 m/s

M-12Bruk grenseverdi-definisjonen til å finne momentanfarten for s(t)=5t2s(t) = 5t^2 ved t=3t = 3. Svar i m/s.

Vis fasit
  1. s'(3) = grenseverdien av (5(3+h)² - 5·3²) delt på h når h
  2. 0
  3. 30h+5h2h=30\frac{30h + 5h^2}{h} = 30 + 5h
  4. 30 m/s
Finn momentanfarten
tMomentanfart
330 m/s

M-13Grenseverdi-definisjonen gir momentanfarten 3030 m/s for s(t)=5t2s(t) = 5t^2 ved t=3t = 3. Kontroller svaret med potensregelen fra 1T.

Vis fasit
  1. Potensregelen fra 1T gir s'(t) = 10t for s(t) = 5t²
  2. s'(3) = 10⋅3=10 \cdot 3 = 30 m/s, stemmer med grenseverdi-utregningen
Kontroller med potensregelen
Metodes'(3)
Grenseverdi-definisjon30
Potensregel (10t)30 – stemmer
Vanskelig(3)

V-11En ball kastes slik at høyden er h(t)=5t2+2h(t) = 5t^2 + 2 meter over bakken (startet 22 m oppe). Bruk grenseverdi-definisjonen til å finne momentanfarten ved t=4t = 4. Svar i m/s.

Vis fasit
  1. h'(4) = grenseverdien av ((5(4+h)²+2) - (5·4²+2)) delt på h når h
  2. 0
  3. 40h+5h2h=40\frac{40h + 5h^2}{h} = 40 + 5h
  4. 40 m/s
Finn momentanfarten
tMomentanfart
440 m/s

V-12En ball kastes slik at høyden er h(t)=5t2+2h(t) = 5t^2 + 2 meter over bakken (startet 22 m oppe), og momentanfarten ved t=4t = 4 er 4040 m/s. Hvorfor gir konstantleddet «+2» ingen forskjell på svaret sammenlignet med s(t)=5t2s(t) = 5t^2?

Vis fasit
  1. (5(4+h)²+2) minus (5·4²+2)
  2. konstantene +2 og -2 kansellerer hverandre
  3. kun 5t²-delen påvirker vekstfarten
Hvorfor konstantleddet ikke teller
LeddEffekt på f'(a)
5t² (variabel del)Påvirker vekstfarten
+2 (konstant)Kansellerer i differansen

V-13Hvorfor kan vi ALDRI sette h=0h = 0 direkte i uttrykket f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h) - f(a)}{h} før vi har forkortet bort hh?

Vis fasit
  1. Med h = 0 blir nevneren 0
  2. divisjon med 0 er udefinert
  3. ==h må forkortes bort FØR grenseverdien h
  4. 0 tas==
Hvorfor ikke sette h = 0 med en gang
StegProblem
Sette h = 0 før forkortingGir divisjon med 0