NumiSum

Fra gjennomsnittlig til momentan vekstfart

GJENNOMSNITTLIG vekstfart mellom to tidspunkt aa og bb er stigningstallet til sekantlinjen mellom dem: f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a}. MOMENTAN vekstfart i ETT tidspunkt aa er hva dette stigningstallet nærmer seg når bb kommer nærmere og nærmere aa – altså en GRENSEVERDI. Dette er selve definisjonen bak den deriverte f′(a)f'(a): den momentane vekstfarten er grenseverdien til den gjennomsnittlige vekstfarten når intervallet krympes mot null. I fysikk er dette forskjellen mellom en GJENNOMSNITTSFART (total strekning delt på total tid) og farten speedometeret viser i ETT ØYEBLIKK.

Gjennomsnittlig vekstfart

f(b)−f(a)b−a\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Momentan vekstfart (den deriverte)

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Fra sekant til tangent
BegrepMåler
Gjennomsnittlig vekstfartStigningstall for sekanten mellom to punkter
Momentan vekstfartGrenseverdien av sekantens stigningstall når punktene glir sammen

Tips

  • Gjennomsnittlig vekstfart trenger to tidspunkt og gir ETT tall for HELE intervallet. Momentan vekstfart trenger bare ett tidspunkt, men beskriver farten der og da.
  • Legg merke til at hh i grenseverdi-definisjonen ALDRI settes til nøyaktig 00 underveis – det ville gitt divisjon med null. hh nærmer seg 00, det blir aldri 00.

Eksempel: Fallhastigheten til en ball i fritt fall

En ball slippes og faller. Falt strekning etter tt sekunder er s(t)=5t2s(t) = 5t^2 meter. Finn gjennomsnittsfarten fra t=1t = 1 til t=3t = 3 sekunder, og bruk deretter grenseverdi-definisjonen til å finne momentanfarten ved t=2t = 2 sekunder.

Fra grenseverdi-uttrykk til momentanfart
StegUttrykk
Sett inn i definisjonen(5(2+h)² − 5·2²) / h
Utvid telleren(20h + 5h²) / h
Forkort bort h20 + 5h
La h → 020 m/s
Løsning:
  1. Gjennomsnittsfarten fra t=1t = 1 til t=3t = 3: s(3)−s(1)3−1=45−52=20\frac{s(3) - s(1)}{3 - 1} = \frac{45 - 5}{2} = 20 m/s
  2. for momentanfarten ved t=2t = 2 bruker vi grenseverdi-definisjonen: s′(2)=lim⁡h→05(2+h)2−5⋅22hs'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{5(2+h)^2 - 5 \cdot 2^2}{h}
  3. utvid parentesen: 5(2+h)2−20=5(4+4h+h2)−20=20h+5h25(2+h)^2 - 20 = 5(4 + 4h + h^2) - 20 = 20h + 5h^2
  4. del på hh: 20h+5h2h=20+5h\frac{20h + 5h^2}{h} = 20 + 5h
  5. la h→0h \to 0: 20+0=2020 + 0 = 20. Momentanfarten ved t=2t = 2 s er 2020 m/s – ulik gjennomsnittsfarten over [1,3][1, 3], som her tilfeldigvis også ble 2020 m/s siden t=2t = 2 ligger midt i intervallet for en andregradsfunksjon.
Alternativ forklaring/metode: Kontroller svaret med den kjente deriverte-regelen fra 1T

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Bruke potensregelen direkte

Potensregelen fra 1T sier at f(t)=c⋅tnf(t) = c \cdot t^n har f′(t)=c⋅n⋅tn−1f'(t) = c \cdot n \cdot t^{n-1}. For s(t)=5t2s(t) = 5t^2 gir det s′(t)=10ts'(t) = 10t, og ved t=2t = 2: s′(2)=10⋅2=20s'(2) = 10 \cdot 2 = 20 m/s – samme svar som grenseverdi-utregningen. Poenget med å gå veien om grenseverdi-definisjonen er ikke å FÅ et annet svar, men å FORSTÅ hvorfor potensregelen faktisk stemmer.

Kontroller med potensregelen
Metodes'(2)
Grenseverdi-definisjon20 m/s
Potensregel (10t)20 m/s – samme svar

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11For s(t)=5t2s(t) = 5t^2: finn gjennomsnittsfarten fra t=0t = 0 til t=4t = 4 sekunder.

Vis fasit
Finn gjennomsnittsfarten
Fra tTil tGjennomsnittsfart
0420 m/s
  1. s(0) = 0 og s(4) = 80
  2. (80 - 0) delt på (4 - 0) = 20 m/s

L-12For s(t)=5t2s(t) = 5t^2: finn gjennomsnittsfarten fra t=2t = 2 til t=5t = 5 sekunder.

Vis fasit
Finn gjennomsnittsfarten
Fra tTil tGjennomsnittsfart
2535 m/s
  1. s(2) = 20 og s(5) = 125
  2. (125 - 20) delt på (5 - 2) = 35 m/s

L-13Hva er forskjellen mellom gjennomsnittsfart og momentanfart?

Vis fasit
Gjennomsnitt vs. momentan
BegrepMåler
GjennomsnittsfartHelt tidsintervall
MomentanfartEtt øyeblikk
  1. Gjennomsnittsfart bruker to tidspunkt
  2. momentanfart er grenseverdien når de to tidspunktene glir sammen til ett
Middels(3)

M-11Bruk grenseverdi-definisjonen til å finne momentanfarten for s(t)=5t2s(t) = 5t^2 ved t=1t = 1.

Vis fasit
Finn momentanfarten
tMomentanfart
110 m/s
  1. s'(1) = grenseverdien av (5(1+h)² - 5·1²) delt på h når h
  2. 0
  3. (10h + 5h²) delt på h = 10 + 5h
  4. 10 m/s

M-12Bruk grenseverdi-definisjonen til å finne momentanfarten for s(t)=5t2s(t) = 5t^2 ved t=3t = 3.

Vis fasit
Finn momentanfarten
tMomentanfart
330 m/s
  1. s'(3) = grenseverdien av (5(3+h)² - 5·3²) delt på h når h
  2. 0
  3. (30h + 5h²) delt på h = 30 + 5h
  4. 30 m/s

M-13Kontroller svaret i forrige oppgave med potensregelen fra 1T.

Vis fasit
Kontroller med potensregelen
Metodes'(3)
Grenseverdi-definisjon30
Potensregel (10t)30 – stemmer
  1. Potensregelen fra 1T gir s'(t) = 10t for s(t) = 5t²
  2. s'(3) = 10 gange 3 = 30 m/s, stemmer med grenseverdi-utregningen
Vanskelig(3)

V-11En ball kastes slik at høyden er h(t)=5t2+2h(t) = 5t^2 + 2 meter over bakken (startet 22 m oppe). Bruk grenseverdi-definisjonen til å finne momentanfarten ved t=4t = 4.

Vis fasit
Finn momentanfarten
tMomentanfart
440 m/s
  1. h'(4) = grenseverdien av ((5(4+h)²+2) - (5·4²+2)) delt på h når h
  2. 0
  3. (40h + 5h²) delt på h = 40 + 5h
  4. 40 m/s

V-12Hvorfor gir konstantleddet «+2» i forrige oppgave ingen forskjell på svaret sammenlignet med s(t)=5t2s(t) = 5t^2?

Vis fasit
Hvorfor konstantleddet ikke teller
LeddEffekt på f'(a)
5t² (variabel del)Påvirker vekstfarten
+2 (konstant)Kansellerer i differansen
  1. (5(4+h)²+2) minus (5·4²+2)
  2. konstantene +2 og -2 kansellerer hverandre
  3. kun 5t²-delen påvirker vekstfarten

V-13Hvorfor kan vi ALDRI sette h=0h = 0 direkte i uttrykket f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h) - f(a)}{h} før vi har forkortet bort hh?

Vis fasit
Hvorfor ikke sette h = 0 med en gang
StegProblem
Sette h = 0 før forkortingGir divisjon med 0
  1. Med h = 0 blir nevneren 0
  2. divisjon med 0 er udefinert
  3. ==h må forkortes bort FØR grenseverdien h
  4. 0 tas==