Beregne grenseverdier

Å beregne en grenseverdi $\lim_{x \to a} f(x)$ betyr å finne hvilken verdi $f(x)$ nærmer seg når $x$ nærmer seg $a$ – IKKE nødvendigvis hva $f(a)$ faktisk er. Er uttrykket en brøk som gir $\frac{0}{0}$ ved direkte innsetting, er dette et TEGN på at teller og nevner har en FELLES FAKTOR – faktoriser begge og forkort den bort før du setter inn på nytt. Denne teknikken går igjen i naturfag, blant annet når en reaksjonsrate eller en konsentrasjonsendring gir en $\frac{0}{0}$ -form ved et bestemt tidspunkt.

Grenseverdi

$\lim_{x \to a} f(x) = L$

Grenseverdi ved faktorisering
Steg	Uttrykk
Direkte innsetting	$\frac{0}{0}$ (udefinert form)
Faktoriser telleren	(x-5)(x+5) / (x-5)
Forkort	x + 5
Sett inn på nytt	10

Tips

Får du $\frac{0}{0}$ ved direkte innsetting, er dette ALDRI det endelige svaret – det er et signal om at du må faktorisere og forkorte først.
Sjekk alltid om telleren har $(x - a)$ som faktor når nevneren har det, ved en grenseverdi $x \to a$ av en brøk.

Eksempel: Grenseverdi av en 0/0-brøk

Beregn $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$ .

Fra 0/0 til svar
Steg	Uttrykk
Direkte innsetting	$\frac{0}{0}$
Faktoriser telleren	(x-5)(x+5) / (x-5)
Forkort	x + 5
Sett inn x = 5	10

Løsning:

Sett inn $x = 5$ direkte: $\frac{5^2 - 25}{5 - 5} = \frac{0}{0}$ , en udefinert form
dette betyr at $(x - 5)$ er en felles faktor i teller og nevner
faktoriser telleren: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$
forkort bort $(x-5)$ : $\frac{(x-5)(x+5)}{x-5} = x + 5$
sett nå inn $x = 5$ i det forkortede uttrykket: $5 + 5$ . Grenseverdien er $10$ .

Alternativ forklaring/metode: Utforsk grenseverdien numerisk med en tabell

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sette inn tall nær grenseverdien

I stedet for å faktorisere algebraisk, sett inn $x$ -verdier som nærmer seg $5$ fra begge sider og se hva brøken nærmer seg: $x = 4{,}9$ gir $\frac{4,9^2 - 25}{4,9 - 5} = 9{,}9$ ; $x = 4{,}99$ gir $9{,}99$ ; $x = 5{,}01$ gir $10{,}01$ . Verdiene nærmer seg tydelig $10$ fra begge sider. Denne metoden gir god INTUISJON for hva en grenseverdi er, men gir aldri et helt eksakt svar slik den algebraiske metoden gjør.

Numerisk tilnærming til grenseverdien
x	Verdi av brøken
4,9	9,9
4,99	9,99
5,01	10,01
→ 5	→ 10

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva betyr det at $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ?

Vis fasit

Hva grenseverdien betyr
Symbol	Betydning
lim x→a f(x) = L	f(x) nærmer seg L

Grenseverdien beskriver hva funksjonen NÆRMER SEG
ikke nødvendigvis hva f(a) faktisk er

L-22Hva er et tegn på at du bør faktorisere og forkorte en brøk før du beregner en grenseverdi?

Vis fasit

Tegn på faktorisering
Signal	Betyr
$\frac{0}{0}$ ved innsetting	Felles faktor – faktoriser og forkort

$\frac{0}{0}$ er en udefinert form, ikke et endelig svar
signal om felles faktor som må forkortes bort

L-23Faktoriser $x^2 - 16$ .

Vis fasit

Faktoriser uttrykket
Uttrykk	Faktorisert
x² − 16	(x − 4)(x + 4)

x² - 16 er en konjugatform (differanse mellom to kvadrater)
(x - 4)(x + 4)

Middels(3)

M-21Beregn

\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 16}{x - 4}

Vis fasit

Beregn grenseverdien
Grenseverdi	Svar
lim x→4 (x²−16)/(x−4)	8

Faktoriser: (x-4)(x+4) delt på (x-4) = x + 4
sett inn x = 4
8

M-22Beregn

\lim_{x \to 6} \frac{x^2 - 36}{x - 6}

Vis fasit

Beregn grenseverdien
Grenseverdi	Svar
lim x→6 (x²−36)/(x−6)	12

Faktoriser: (x-6)(x+6) delt på (x-6) = x + 6
sett inn x = 6
12

M-23Beregn

\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 5x}{x}

Vis fasit

Beregn grenseverdien
Grenseverdi	Svar
lim x→0 (x²+5x)/x	5

Faktoriser telleren: x(x+5) delt på x = x + 5
sett inn x = 0
5

Vanskelig(3)

V-21Beregn

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1}

Vis fasit

Beregn grenseverdien
Grenseverdi	Svar
lim x→1 (x²+2x−3)/(x−1)	4

Faktoriser telleren: x² + 2x - 3 = (x-1)(x+3)
forkort med (x-1): x + 3
sett inn x = 1
4

V-22Beregn

\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x + 3}

Vis fasit

Beregn grenseverdien
Grenseverdi	Svar
lim x→−3 (x²−9)/(x+3)	−6

Faktoriser telleren: (x-3)(x+3) delt på (x+3) = x - 3
sett inn x = -3
-6

V-23Forklar hvorfor grenseverdien i forrige oppgave er negativ, mens grenseverdien i hovedeksempelet (

x \to 5

) var positiv.

Vis fasit

Hvorfor fortegnet er ulikt
Grense ved	Forkortet uttrykk	Verdi
x = 5	x + 5	10 (positiv)
x = −3	x − 3	−6 (negativ)

I hovedeksempelet var grensen ved x = 5
forkortet uttrykk avhenger av hvilken verdi x nærmer seg
ved x = -3 gir x-3 verdien -6, ved x = 5 gir x+5 verdien 10
fortegnet bestemmes av hvilket punkt grensen tas ved