Eksamensoppgaver – Grenseverdier og kontinuitet (R1)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 1 – Oppgave 4

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Finn grenseverdien hvis den eksisterer. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2+x-12}{2x^2-18}$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hva brøken nærmer seg når $x$ blir uendelig stor.

Strategi og formel: Divider hvert ledd i teller og nevner på den HØYESTE potensen av $x$ som finnes i uttrykket ( $x^2$ ). Da forsvinner alle ledd med lavere grad i grensen.

Trinnvis utregning:

$\dfrac{x^2+x-12}{2x^2-18}=\dfrac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{12}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{18}{x^2}}=\dfrac{1+\frac{1}{x}-\frac{12}{x^2}}{2-\frac{18}{x^2}}$
når $x\to\infty$ går $\frac{1}{x}$ , $\frac{12}{x^2}$ og $\frac{18}{x^2}$ alle mot $0$
grensen blir $\dfrac{1+0-0}{2-0}=\dfrac{1}{2}$ .

Svar: Grenseverdien er $\frac{1}{2}$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Dividerer riktig på $x^2$ (høyeste potens i nevneren) og finner riktig grenseverdi $\frac{1}{2}$ .
1/2	Bruker riktig strategi (dividere på høyeste potens), men gjør en regnefeil i brøkforenklingen.
0/2	Prøver å sette $x=\infty$ direkte inn uten en fungerende strategi for å håndtere $\frac{\infty}{\infty}$ -formen, eller dividerer på feil potens av $x$ .

Sensor-tips

En vanlig snarvei (godta den): siden teller og nevner har samme GRAD ( $x^2$ ), er grensen ganske enkelt forholdet mellom ledende koeffisienter ( $\frac{1}{2}$ ). Dette er en gyldig regel elever kan bruke direkte, så lenge de kan forklare/gjenkjenne HVORFOR den fungerer om de blir spurt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Høst 2024, Del 1, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 1 – Oppgave 4

Uten hjelpemidler – 4 poeng

Bestem grenseverdiene a) $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{3(x^2-3)}{x-3}$

b) $\displaystyle\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? To grenseverdier med samme "advarselstegn" (nevneren blir $0$ ved innsetting), men de to oppfører seg svært ulikt: den ene er en ekte $\frac{0}{0}$ -situasjon som løses ved forenkling, den andre er IKKE $\frac{0}{0}$ og grenseverdien eksisterer derfor ikke.

Strategi og formel: a) Sjekk FØRST om telleren også blir $0$ ved $x=3$ , hvis ikke, er dette ikke en $\frac{0}{0}$ -situasjon, og brøken vokser mot $\pm\infty$ på hver side av $x=3$ . b) Her ER telleren $0$ ved $x=4$ (ekte $\frac{0}{0}$ ): ganger med det konjugerte uttrykket $\sqrt{x}+2$ for å bli kvitt kvadratroten og forkorte bort faktoren som gir $\frac{0}{0}$ .

Trinnvis utregning:

a) Telleren ved $x=3$ : $3(3^2-3)=3\cdot 6=18\neq 0$
IKKE en $\frac{0}{0}$ -situasjon. Når $x\to 3$ går telleren mot $18$ mens nevneren $x-3\to 0$ : fra høyre ( $x>3$ ) er nevneren positiv, så brøken $\to+\infty$ ; fra venstre ( $x<3$ ) er nevneren negativ, så brøken $\to-\infty$ . Venstre- og høyregrensen er ulike
grenseverdien EKSISTERER IKKE. b) Telleren ved $x=4$ : $\sqrt{4}-2=0$
ekte $\frac{0}{0}$ . Utvid med det konjugerte: $\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$ for $x\neq 4$
$\lim_{x\to 4}\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{1}{\sqrt4+2}=\dfrac{1}{4}$ .

Svar: a) Grenseverdien eksisterer ikke (høyregrensen er $+\infty$ , venstregrensen er $-\infty$ ). b) Grenseverdien er $\frac{1}{4}$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Sjekker i a) at telleren IKKE er null ved $x=3$ og konkluderer korrekt at grenseverdien ikke eksisterer (med begrunnelse via ensidige grenser, ikke bare en påstand), og løser b) riktig med konjugat-teknikken fram til $\frac{1}{4}$ .
2/4	Riktig i b), men i a) konkluderes feilaktig at grenseverdien er $\frac{0}{0}$ -type og «forenkles» feilaktig til et endelig tall, uten å sjekke telleren først.
1/4	Prøver konjugat-teknikken riktig i b) men gjør en regnefeil underveis, og har ingen fungerende strategi i a).
0/4	Setter $x=3$ og $x=4$ direkte inn i begge uttrykk og konkluderer «udefinert» i begge uten videre analyse.

Sensor-tips

Poenget med denne oppgaven er nettopp å teste om eleven sjekker telleren FØR de konkluderer $\frac{0}{0}$ : en null-nevner er IKKE i seg selv bevis for at grensen er en løsbar $\frac{0}{0}$ -form. Godta ikke et svar på a) som bruker forenklings-/konjugat-teknikk uten å først ha sjekket at telleren faktisk er null.
I b) er det en vanlig regnefeil å glemme å multiplisere BÅDE teller og nevner med det konjugerte uttrykket $\sqrt{x}+2$ , eller å forkorte feil faktor.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Vår 2025, Del 1, Oppgave 4