Funksjoner som ikke er deriverbare

En funksjon kan være KONTINUERLIG i et punkt uten å være DERIVERBAR der – kontinuitet er en NØDVENDIG, men ikke TILSTREKKELIG, betingelse for deriverbarhet. To vanlige grunner til at en funksjon ikke er deriverbar i et punkt: et KNEKKPUNKT (den deriverte fra venstre og høyre er ulike, som $|x|$ i $x=0$ ), eller en VERTIKAL TANGENT (den deriverte går mot uendelig, som $\sqrt[3]{x}$ i $x=0$ ).

Krav for deriverbarhet i et punkt a

$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

To måter å mangle deriverbarhet på
Type	Kjennetegn
Knekkpunkt	Ulik derivert fra venstre og høyre
Vertikal tangent	Den deriverte går mot ±uendelig

Tips

Kontinuitet garanterer IKKE deriverbarhet. Sjekk ALLTID om en funksjon har et «knekkpunkt» (som en absoluttverdi-graf) før du antar den er deriverbar overalt.
Grafisk: en deriverbar funksjon har en ENTYDIG tangentlinje i hvert punkt. Et knekkpunkt har flere mulige tangentlinjer (en fra hver side) – ingen ENTYDIG tangent finnes.

Eksempel: Undersøke deriverbarhet ved en knekk

Er $f(x) = |x|$ deriverbar ved $x = 0$ ? Undersøk den deriverte fra venstre og fra høyre.

Ensidige deriverte for |x| ved x=0
Retning	Derivert
Fra venstre (x<0)	−1
Fra høyre (x>0)	1
Konklusjon	Ulike, ikke deriverbar

Løsning:

For $x > 0$ er $f(x) = x$ , med derivert $f'(x) = 1$
for $x < 0$ er $f(x) = -x$ , med derivert $f'(x) = -1$
grenseverdien for den deriverte FRA HØYRE ved $x=0$ er $1$ , og FRA VENSTRE er $-1$
siden $1 \neq -1$ , er de to ensidige deriverte ULIKE
funksjonen har et KNEKKPUNKT ved $x = 0$ , uten en entydig tangentlinje der. $f(x) = |x|$ er IKKE deriverbar ved $x = 0$ , selv om den ER kontinuerlig der.

Alternativ forklaring/metode: Sammenlign med en vertikal tangent

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Vertikal tangent som en annen type ikke-deriverbarhet

$f(x) = \sqrt[3]{x}$ er også ikke-deriverbar ved $x=0$ , men av en ANNEN grunn enn $|x|$ : her er $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ , som går mot UENDELIG når $x \to 0$ (i stedet for å ha to ulike endelige grenseverdier). Grafisk betyr dette at tangentlinjen blir VERTIKAL ved $x=0$ , ikke at det finnes to ulike tangenter – en annen type «knekk» i deriverbarheten enn $|x|$ sin.

Type ikke-deriverbarhet, sammenlignet
Funksjon	Type ved x=0
f(x) = \|x\|	Knekkpunkt (to ulike endelige deriverte)
f(x) = ∛x	Vertikal tangent (derivert → uendelig)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er forskjellen mellom kontinuitet og deriverbarhet i et punkt?

Vis fasit

Kontinuitet vs. deriverbarhet
Betingelse	Status
Kontinuitet	Nødvendig, men ikke nok
Deriverbarhet	Krever MER enn kontinuitet

En funksjon kan være kontinuerlig uten å være deriverbar
deriverbarhet krever MER enn bare kontinuitet

L-22Hva kalles et punkt der en funksjon har ulik derivert fra venstre og høyre?

Vis fasit

Navn på situasjonen
Situasjon	Navn
Ulik derivert fra venstre/høyre	Knekkpunkt

To ulike ensidige deriverte betyr ingen entydig tangent
et knekkpunkt

L-23Er

f(x) = |x|

kontinuerlig ved

x = 0

Vis fasit

Kontinuitet av |x| ved x=0
Størrelse	Verdi
Grenseverdi ved x = 0	0
f(0)	0
Konklusjon	Like, kontinuerlig

Grenseverdien og funksjonsverdien ved x=0 er begge 0
ja, funksjonen er kontinuerlig der, selv om den ikke er deriverbar

Middels(3)

M-21Finn den deriverte til

f(x) = |x - 3|

for

x > 3

og for

x < 3

Vis fasit

Deriverte for f(x)=|x-3|
Intervall	f(x)	f'(x)
x > 3	x − 3	1
x < 3	3 − x	−1

For x>3: f(x)=x-3, f'(x)=1
for x<3: f(x)=-(x-3)=3-x, f'(x)=-1
derivert er 1 for x>3 og −1 for x<3

M-22Er

f(x) = |x - 3|

deriverbar ved

x = 3

? Begrunn.

Vis fasit

Deriverbarhet av |x-3| ved x=3
Retning	Derivert
Fra venstre	−1
Fra høyre	1
Konklusjon	Ulike, ikke deriverbar

Fra forrige oppgave (x=3): derivert er 1 fra høyre, -1 fra venstre
ulike ensidige deriverte, ikke deriverbar ved x=3

M-23Hva kjennetegner en VERTIKAL tangent, i motsetning til et knekkpunkt?

Vis fasit

Knekkpunkt vs. vertikal tangent
Type	Kjennetegn
Knekkpunkt	To ulike ENDELIGE deriverte
Vertikal tangent	Derivert går mot ±uendelig

Knekkpunkt: to ulike ENDELIGE deriverte
vertikal tangent: derivert går mot ±uendelig, én type grenseverdi som ikke finnes (ikke to ulike endelige)

Vanskelig(3)

V-21En funksjon

g(x)

har

g'(x) \to \infty

når

x \to 2^-

g'(x) \to \infty

når

x \to 2^+

. Er

g

deriverbar ved

x = 2

Vis fasit

Er g deriverbar ved x=2?
Retning	Grense
Fra venstre	→ uendelig
Fra høyre	→ uendelig
Konklusjon	Ikke deriverbar (vertikal tangent)

Ved x=2 er begge ensidige grenser LIKE (begge uendelig), men uendelig er ikke et gyldig endelig derivert-tall
ikke deriverbar, vertikal tangent

V-22Forklar hvorfor

f(x) = |x|

er et godt MOTEKSEMPEL til påstanden «alle kontinuerlige funksjoner er deriverbare».

Vis fasit

|x| som moteksempel
Egenskap	Sant for \|x\|?
Kontinuerlig overalt	Ja
Deriverbar overalt	Nei (knekkpunkt ved x=0)

|x| er kontinuerlig i ALLE punkter (ingen hopp/hull)
men IKKE deriverbar ved x=0 (knekkpunkt)
dette motbeviser at kontinuitet alene garanterer deriverbarhet

V-23Konstruer (beskriv med ord) en funksjon som er deriverbar overalt UNNTATT i to punkter, av to ulike grunner (ett knekkpunkt og én vertikal tangent).

Vis fasit

Funksjon med to typer ikke-deriverbarhet
Punkt	Type ikke-deriverbarhet
x = 1 (som \|x−1\|)	Knekkpunkt
x = 5 (som kubikkrot)	Vertikal tangent

Kombiner to kjente ikke-deriverbare byggeklosser i én funksjon
én del av grafen med en absoluttverdi-knekk, en annen del med en kubikkrot-type vertikal tangent