Funksjoner som ikke er deriverbare

En funksjon kan være KONTINUERLIG i et punkt uten å være DERIVERBAR der: kontinuitet er en NØDVENDIG, men ikke TILSTREKKELIG, betingelse for deriverbarhet. To vanlige grunner til at en funksjon ikke er deriverbar i et punkt: et KNEKKPUNKT (den deriverte fra venstre og høyre er ulike, som $|x|$ i $x=0$ ), eller en VERTIKAL TANGENT (den deriverte går mot uendelig, som $\sqrt[3]{x}$ i $x=0$ ).

Krav for deriverbarhet i et punkt a

$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

To måter å mangle deriverbarhet på
Type	Kjennetegn
Knekkpunkt	Ulik derivert fra venstre og høyre
Vertikal tangent	Den deriverte går mot ±uendelig

Tips

Kontinuitet garanterer IKKE deriverbarhet. Sjekk ALLTID om en funksjon har et «knekkpunkt» (som en absoluttverdi-graf) før du antar den er deriverbar overalt.
Grafisk: en deriverbar funksjon har en ENTYDIG tangentlinje i hvert punkt. Et knekkpunkt har flere mulige tangentlinjer (en fra hver side). Ingen ENTYDIG tangent finnes.

Eksempel: Undersøke deriverbarhet ved en knekk

Er $f(x) = |x|$ deriverbar ved $x = 0$ ? Undersøk den deriverte fra venstre og fra høyre.

Løsning:

For $x > 0$ er $f(x) = x$ , med derivert $f'(x) = 1$
for $x < 0$ er $f(x) = -x$ , med derivert $f'(x) = -1$
grenseverdien for den deriverte FRA HØYRE ved $x=0$ er $1$ , og FRA VENSTRE er $-1$
siden $1 \neq -1$ , er de to ensidige deriverte ULIKE
funksjonen har et KNEKKPUNKT ved $x = 0$ , uten en entydig tangentlinje der. $f(x) = |x|$ er IKKE deriverbar ved $x = 0$ , selv om den ER kontinuerlig der.

Ensidige deriverte for |x| ved x=0
Retning	Derivert
Fra venstre (x<0)	−1
Fra høyre (x>0)	1
Konklusjon	Ulike, ikke deriverbar

Alternativ forklaring/metode: Sammenlign med en vertikal tangent

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Vertikal tangent som en annen type ikke-deriverbarhet

$f(x) = \sqrt[3]{x}$ er også ikke-deriverbar ved $x=0$ , men av en ANNEN grunn enn $|x|$ : her er $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ , som går mot UENDELIG når $x \to 0$ (i stedet for å ha to ulike endelige grenseverdier). Grafisk betyr dette at tangentlinjen blir VERTIKAL ved $x=0$ , ikke at det finnes to ulike tangenter: en annen type «knekk» i deriverbarheten enn $|x|$ sin.

Type ikke-deriverbarhet, sammenlignet
Funksjon	Type ved x=0
f(x) = \|x\|	Knekkpunkt (to ulike endelige deriverte)
f(x) = ∛x	Vertikal tangent (derivert → uendelig)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er forskjellen mellom kontinuitet og deriverbarhet i et punkt?

Vis fasit

En funksjon kan være kontinuerlig uten å være deriverbar
deriverbarhet krever MER enn bare kontinuitet

Kontinuitet vs. deriverbarhet
Betingelse	Status
Kontinuitet	Nødvendig, men ikke nok
Deriverbarhet	Krever MER enn kontinuitet

L-22Hva kalles et punkt der en funksjon har ulik derivert fra venstre og høyre?

Vis fasit

To ulike ensidige deriverte betyr ingen entydig tangent
et knekkpunkt

Navn på situasjonen
Situasjon	Navn
Ulik derivert fra venstre/høyre	Knekkpunkt

L-23Er $f(x) = |x|$ kontinuerlig ved $x = 0$ ?

Vis fasit

Grenseverdien og funksjonsverdien ved x=0 er begge 0
ja, funksjonen er kontinuerlig der, selv om den ikke er deriverbar

Kontinuitet av |x| ved x=0
Størrelse	Verdi
Grenseverdi ved x = 0	0
f(0)	0
Konklusjon	Like, kontinuerlig

Middels(3)

M-21Finn den deriverte til $f(x) = |x - 3|$ for $x > 3$ og for $x < 3$ .

Vis fasit

For x>3: f(x)=x-3, f'(x)=1
for x<3: f(x)=-(x-3)=3-x, f'(x)=-1
derivert er 1 for x>3 og −1 for x<3

Deriverte for f(x)=|x-3|
Intervall	f(x)	f'(x)
x > 3	x − 3	1
x < 3	3 − x	−1

M-22Er $f(x) = |x - 3|$ deriverbar ved $x = 3$ ? Begrunn.

Vis fasit

Fra forrige oppgave (x=3): derivert er 1 fra høyre, -1 fra venstre
ulike ensidige deriverte, ikke deriverbar ved x=3

Deriverbarhet av |x-3| ved x=3
Retning	Derivert
Fra venstre	−1
Fra høyre	1
Konklusjon	Ulike, ikke deriverbar

M-23Hva kjennetegner en VERTIKAL tangent, i motsetning til et knekkpunkt?

Vis fasit

Knekkpunkt: to ulike ENDELIGE deriverte
vertikal tangent: derivert går mot ±uendelig, én type grenseverdi som ikke finnes (ikke to ulike endelige)

Knekkpunkt vs. vertikal tangent
Type	Kjennetegn
Knekkpunkt	To ulike ENDELIGE deriverte
Vertikal tangent	Derivert går mot ±uendelig

Vanskelig(3)

V-21En funksjon $g(x)$ har $g'(x) \to \infty$ når $x \to 2^-$ og $g'(x) \to \infty$ når $x \to 2^+$ . Er $g$ deriverbar ved $x = 2$ ?

Vis fasit

Ved x=2 er begge ensidige grenser LIKE (begge uendelig), men uendelig er ikke et gyldig endelig derivert-tall
ikke deriverbar, vertikal tangent

Er g deriverbar ved x=2?
Retning	Grense
Fra venstre	→ uendelig
Fra høyre	→ uendelig
Konklusjon	Ikke deriverbar (vertikal tangent)

V-22Forklar hvorfor $f(x) = |x|$ er et godt MOTEKSEMPEL til påstanden «alle kontinuerlige funksjoner er deriverbare».

Vis fasit

|x| er kontinuerlig i ALLE punkter (ingen hopp/hull)
men IKKE deriverbar ved x=0 (knekkpunkt)
dette motbeviser at kontinuitet alene garanterer deriverbarhet

|x| som moteksempel
Egenskap	Sant for \|x\|?
Kontinuerlig overalt	Ja
Deriverbar overalt	Nei (knekkpunkt ved x=0)

V-23Konstruer (beskriv med ord) en funksjon som er deriverbar overalt UNNTATT i to punkter, av to ulike grunner (ett knekkpunkt og én vertikal tangent).

Vis fasit

Kombiner to kjente ikke-deriverbare byggeklosser i én funksjon
én del av grafen med en absoluttverdi-knekk, en annen del med en kubikkrot-type vertikal tangent

Funksjon med to typer ikke-deriverbarhet
Punkt	Type ikke-deriverbarhet
x = 1 (som \|x−1\|)	Knekkpunkt
x = 5 (som kubikkrot)	Vertikal tangent