Eksamensoppgaver – Funksjonsanalyse og deriverbarhet (R1)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 6 poeng

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = \begin{cases} -x^2+(2+k)x, & x<k \\ x^2+(2-k)x, & x\geq k \end{cases}$ der $k\in\mathbb{R}$ .

a) Forklar at $f$ er en kontinuerlig funksjon for alle verdier av $k$ .

b) Bestem $k$ slik at $f$ blir deriverbar i $x=k$ .

c) For hvilke verdier av $k$ har $f$ en omvendt funksjon?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi vise at de to funksjonsdelene alltid møtes i samme verdi ved $x=k$ , uansett hvilken $k$ -verdi vi velger. I b) skal vi finne den ENE $k$ -verdien som i tillegg gir samme STIGNINGSTALL fra begge sider. I c) skal vi finne for hvilke $k$ -verdier hele funksjonen er MONOTON (og dermed injektiv, altså har en omvendt funksjon).

Strategi og formel: a) Sett $x=k$ inn i begge uttrykkene, og vis at de gir samme verdi – uansett $k$ . b) Deriver begge stykkene, sett de deriverte like ved $x=k$ , og løs for $k$ . c) Hvert stykke er en parabel. For at HELE $f$ skal være monoton, må begge parabel-stykkene være voksende (eller begge synkende) på akkurat sitt delintervall – undersøk hvor toppunktet/bunnpunktet til hver parabel ligger i forhold til $k$ .

Trinnvis utregning:

a) Ved $x=k$ : første uttrykk gir $-k^2+(2+k)k=-k^2+2k+k^2=2k$ . Andre uttrykk gir $k^2+(2-k)k=k^2+2k-k^2=2k$ . Begge gir $2k$
like for ENHVER $k$
$f$ er kontinuerlig for alle $k$ . b) Deriverte: $f_1'(x)=-2x+(2+k)$ , $f_2'(x)=2x+(2-k)$ . $f_1'(k)=-2k+2+k=2-k$ . $f_2'(k)=2k+2-k=2+k$ . Deriverbar krever $f_1'(k)=f_2'(k)$ : $2-k=2+k \Rightarrow -k=k \Rightarrow k=0$ . c) Første stykke $-x^2+(2+k)x$ har toppunkt ved $x=\frac{2+k}{2}$ (nedover-parabel). For at stykket skal være VOKSENDE på hele $(-\infty,k)$ , må $k\leq\frac{2+k}{2}$
$2k\leq 2+k$
$k\leq 2$ . Andre stykke $x^2+(2-k)x$ har bunnpunkt ved $x=\frac{k-2}{2}$ (oppover-parabel). For at stykket skal være VOKSENDE på hele $[k,\infty)$ , må $\frac{k-2}{2}\leq k$
$k-2\leq 2k$
$-2\leq k$ . Begge betingelser samtidig: $-2\leq k\leq 2$ .

Svar: a) $f(k)=2k$ fra begge uttrykk, uansett $k$ → kontinuerlig for alle $k$ . b) $k=$ $0$ . c) $f$ har en omvendt funksjon for $-2\leq k\leq 2$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Viser i a) at begge uttrykk gir $2k$ ved $x=k$ for VILKÅRLIG $k$ (ikke bare ett talleksempel), finner riktig $k=0$ i b) via like deriverte, og utleder riktig $-2\leq k\leq 2$ i c) via en fullstendig toppunkt/bunnpunkt-analyse av begge parabel-stykkene.
4/6	Riktig i a) og b), men i c) finnes kun ÉN av de to grensebetingelsene ( $k\leq 2$ eller $k\geq -2$ ), ikke begge samtidig.
2/6	Riktig kontinuitetsargument i a), men i b) settes de deriverte feilaktig like ved en ANNEN $x$ -verdi enn $k$ , og ingen fungerende strategi i c).
0/6	Viser kontinuitet i a) kun for ETT konkret talleksempel på $k$ i stedet for generelt, og ingen fungerende strategi videre.

Sensor-tips

I a) er det avgjørende at eleven viser likheten SYMBOLSK for vilkårlig $k$ (som gir $2k=2k$ ), ikke bare sjekker ett konkret tall som $k=1$ – en kontinuitetspåstand «for alle $k$ » krever en generell begrunnelse.
c) er den vanskeligste deloppgaven – mange elever glemmer at BEGGE parabel-stykkene må sjekkes uavhengig, og at svaret er SNITTET av de to betingelsene ( $-2\leq k$ OG $k\leq 2$ ), ikke bare den ene.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Høst 2023, Del 2, Oppgave 2

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 1 – Oppgave 5

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = \begin{cases} x^2+2, & x<0 \\ 2e^x, & x\geq 0 \end{cases}$

a) Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x=0$ .

b) Avgjør om $f$ er deriverbar i $x=0$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal først sjekke om de to grenverdiene fra hver side stemmer overens med funksjonsverdien (kontinuitet), og deretter om STIGNINGSTALLET fra hver side stemmer overens (deriverbarhet) – to atskilte spørsmål, og svaret kan godt være JA på det ene og NEI på det andre.

Strategi og formel: a) Sammenlign $\lim_{x\to 0^-}f(x)$ , $\lim_{x\to 0^+}f(x)$ og $f(0)$ . b) Deriver begge stykkene hver for seg, og sammenlign de deriverte verdiene ved $x=0$ fra hver side.

Trinnvis utregning:

a) $\lim_{x\to 0^-}(x^2+2)=0+2=2$ . $f(0)=2e^0=2$ (siden $x\geq 0$ -stykket gjelder ved $x=0$ ). Grensen fra venstre er lik funksjonsverdien
$f$ er KONTINUERLIG i $x=0$ . b) $\frac{d}{dx}(x^2+2)=2x$
verdi ved $x=0$ (fra venstre): $2\cdot 0=0$ . $\frac{d}{dx}(2e^x)=2e^x$
verdi ved $x=0$ (fra høyre): $2e^0=2$ . Stigningstallet fra venstre ( $0$ ) er IKKE likt stigningstallet fra høyre ( $2$ )
$f$ er IKKE deriverbar i $x=0$ (grafen har et «knekkpunkt» der, selv om den henger sammen uten hopp).

Svar: a) $f$ er kontinuerlig i $x=0$ (begge sider gir verdien $2$ ). b) $f$ er IKKE deriverbar i $x=0$ (stigningstall $0$ fra venstre mot $2$ fra høyre – et knekkpunkt).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Viser riktig at grenseverdien fra venstre og $f(0)$ begge er $2$ i a) med korrekt konklusjon om kontinuitet, og viser riktig at de deriverte fra hver side er ULIKE ( $0$ mot $2$ ) i b) med korrekt konklusjon om at $f$ IKKE er deriverbar.
1/2	Riktig i a), men i b) konkluderes feilaktig at $f$ ER deriverbar (typisk fordi eleven kun sjekker kontinuitet og antar at det er tilstrekkelig for deriverbarhet også).
0/2	Feil grenseverdi-beregning i a) (f.eks. bruker feil gren av den doble definisjonen), som gir feil konklusjon i begge deloppgaver.

Sensor-tips

Den pedagogiske kjernen i denne oppgaven er at KONTINUITET IKKE er tilstrekkelig for DERIVERBARHET – funksjonen henger sammen uten hopp (a), men har likevel et «knekkpunkt» (som $|x|$ ved $x=0$ ) der stigningstallet brått endrer seg (b). Sjekk at elevens forklaring i b) faktisk sammenligner de to ENSIDIGE DERIVERTE, ikke bare gjentar kontinuitetsargumentet fra a).
Godta en alternativ, visuell forklaring i b) («grafen har et knekkpunkt/kink, ikke en glatt overgang») dersom den følges av de riktige tallverdiene $0$ og $2$ for de ensidige deriverte.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R1 matematikk, Vår 2025, Del 1, Oppgave 5