Analysere funksjoner med derivasjon

Derivasjon brukes til å ANALYSERE funksjoner utover polynomer, som RASJONALE funksjoner med flere «grener». Fremgangsmåten er den samme som for polynomer: finn den deriverte, sett den lik null for å finne kritiske punkter, og lag et fortegnsskjema for å avgjøre hvor funksjonen VOKSER, AVTAR, og hvor den har topp-/bunnpunkter. Husk også å sjekke DEFINISJONSOMRÅDET: en rasjonal funksjon er ofte udefinert i minst ett punkt.

Kvotientregelen (repetisjon)

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Analysere en funksjon med derivasjon
Steg	Gjør dette
1	Sjekk definisjonsområdet (hvor er funksjonen udefinert?)
2	Deriver funksjonen
3	Sett den deriverte lik null, løs
4	Fortegnsskjema: vokser/avtar, topp-/bunnpunkt

Tips

For en rasjonal funksjon: sjekk ALLTID hvilke $x$ -verdier som gjør NEVNEREN null: funksjonen (og dens deriverte) er udefinert der, uansett hva telleren sier.
En funksjon kan ha kritiske punkter i BEGGE grener av en rasjonal funksjon (én på hver side av det udefinerte punktet): sjekk begge sider.

Eksempel: Analysere en rasjonal funksjon

Funksjonen $f(x) = x + \frac{4}{x}$ er definert for $x \neq 0$ . Finn $f'(x)$ , de kritiske punktene, og bestem hvor funksjonen vokser og avtar for $x > 0$ .

Løsning:

Vi deriverer: $f(x) = x + 4x^{-1}$ gir $f'(x) = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2}$
sett lik null: $1 - \frac{4}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
for $x > 0$ er det eneste kritiske punktet $x = 2$
sjekk fortegnet: for $0 < x < 2$ (som $x=1$ ): $f'(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ (avtar); for $x > 2$ (som $x=3$ ): $f'(3) = 1 - \frac{4}{9} \approx 0{,}56 > 0$ (vokser). Funksjonen har et BUNNPUNKT ved $x = 2$ (der $f(2) = 2 + 2 = 4$ ), og avtar for $0 < x < 2$ , vokser for $x > 2$ .

Fortegnsskjema for f'(x), x > 0
Intervall	Fortegn f'(x)	f(x)
0 < x < 2	−	Avtar
x = 2	0	Bunnpunkt
x > 2	+	Vokser

Alternativ forklaring/metode: Analysere funksjonen for x < 0 med samme metode

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Sjekke den negative grenen også

Samme funksjon $f(x) = x + \frac{4}{x}$ har OGSÅ et kritisk punkt ved $x = -2$ (den andre løsningen av $x^2=4$ ). For $x < 0$ viser fortegnsskjemaet at $f$ VOKSER for $x < -2$ og AVTAR for $-2 < x < 0$ : speilvendt mønster av den positive grenen, med et TOPPUNKT ved $x = -2$ (der $f(-2) = -2 - 2 = -4$ ) i stedet for et bunnpunkt. De to grenene ( $x>0$ og $x<0$ ) må analyseres HVER for seg, siden funksjonen er udefinert (og «brutt» i to deler) ved $x = 0$ .

Kritiske punkter på begge grener
Gren	Kritisk punkt	Type
x > 0	x = 2	Bunnpunkt
x < 0	x = −2	Toppunkt

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva bør du ALLTID sjekke først når du analyserer en rasjonal funksjon?

Vis fasit

Funksjonen er udefinert der nevneren er null
sjekk definisjonsområdet først

Første steg i analysen
Steg	Hvorfor
Sjekk definisjonsområdet	Nevneren kan ikke være null

L-32For hvilken $x$ -verdi er $f(x) = x + \frac{4}{x}$ udefinert?

Vis fasit

Brøken 4/x er udefinert når nevneren er null
x = 0

Definisjonsområdet til f(x)=x+4/x
Uttrykk	Udefinert ved
x + 4/x	x = 0

L-33Deriver

f(x) = x + \frac{4}{x}

Vis fasit

x deriveres til 1, 4/x = 4x⁻¹ deriveres til -4x⁻²
f'(x) = 1 − 4/x²

Deriver f(x)=x+4/x
Ledd	Deriverte
x	1
4/x = 4x⁻¹	−4x⁻² = −4/x²

Middels(3)

M-31Finn de kritiske punktene til

f(x) = x + \frac{4}{x}

ved å sette

f'(x) = 0

Vis fasit

1 - 4/x² = 0
x² = 4
x = 2 og x = -2

Kritiske punkter for f(x)=x+4/x
Steg	Uttrykk
f'(x) = 0	1 − 4/x² = 0
x²	4
Løsning	x = 2 og x = −2

M-32Regn ut $f(2)$ og $f(-2)$ for $f(x) = x + \frac{4}{x}$ .

Vis fasit

f(2) = 2 + $\frac{4}{2}$ = 2+2 = 4
f(-2) = -2 + 4/(-2) = -2-2 = −4

Funksjonsverdier ved x=2 og x=-2
Punkt	Verdi
f(2)	2 + 2 = 4
f(-2)	−2 − 2 = −4

M-33Er $x = 2$ et topp- eller bunnpunkt for $f(x) = x + \frac{4}{x}$ ? Begrunn med fortegnet til $f'(x)$ .

Vis fasit

f'(x) = 1 - 4/x² er negativ for 0<x<2 og positiv for x>2
fortegnet skifter fra − til +, altså et bunnpunkt

Topp- eller bunnpunkt ved x=2
Intervall	Fortegn f'(x)
0 < x < 2	−
x > 2	+
Konklusjon	Bunnpunkt

Vanskelig(3)

V-31Analyser $g(x) = x + \frac{9}{x}$ (for $x > 0$ ): finn det kritiske punktet og avgjør om det er et topp- eller bunnpunkt.

Vis fasit

g'(x) = 1 - 9/x² = 0
x² = 9
x = 3 (for x>0)
g'(2) = 1- $\frac{9}{4}$ <0, g'(4)=1- $\frac{9}{16}$ >0
fortegn − til +
bunnpunkt ved x=3, g(3)=3+3=6

Analyser g(x)=x+9/x for x>0
Steg	Verdi
g'(x) = 0	x² = 9
Kritisk punkt	x = 3
g(3)	6, bunnpunkt

V-32Forklar hvorfor funksjonen $f(x) = x + \frac{4}{x}$ må analyseres SEPARAT for $x > 0$ og $x < 0$ , i stedet for som én sammenhengende graf.

Vis fasit

x=0 er utenfor definisjonsområdet
grafen har to atskilte deler, én for x>0 og én for x<0
hver gren har sitt eget kritiske punkt og må analyseres for seg

Hvorfor grenene analyseres separat
Grunn	Konsekvens
x = 0 er utenfor definisjonsområdet	To atskilte grener, hver med eget kritisk punkt

V-33Sammenlign topp-/bunnpunktene til $f(x) = x + \frac{4}{x}$ ved $x=2$ og $x=-2$ : hvorfor er verdiene $f(2)=4$ og $f(-2)=-4$ nøyaktig motsatte tall?

Vis fasit

f(-x) = -x + 4/(-x) = -x - 4/x = -(x+4/x) = -f(x)
f er en odde funksjon, så f(-2) = -f(2) = -4

f(2) og f(-2) som motsatte tall
Egenskap	Betydning
f er en odde funksjon	f(−2) = −f(2) = −4