Den deriverte i et punkt – tre metoder – Funksjonsanalyse og deriverbarhet (R1)

Den deriverte i et punkt – tre metoder

Den deriverte i et punkt kan bestemmes på tre måter som alle gir SAMME svar: GEOMETRISK (stigningstallet til tangentlinjen, avlest eller anslått fra grafen), ALGEBRAISK (deriveringsregler, som gir et EKSAKT svar), og NUMERISK (regne ut $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ for en liten $h$ , som gir en god TILNÆRMING uten å måtte derivere i det hele tatt).

Numerisk sentraldifferanse

$f'(a) \approx \dfrac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$

Tre metoder for f'(2), samme svar
Metode	Fremgangsmåte
Geometrisk	Les av/anslå stigningstallet til tangenten på grafen
Algebraisk	Bruk deriveringsregler for et eksakt svar
Numerisk	Regn ut (f(a+h)−f(a−h))/(2h) for liten h

Tips

Sentraldifferansen (bruker punkter på BEGGE sider av $a$ ) er mer nøyaktig enn å bare bruke $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (kun ett punkt til høyre) for samme $h$ .
Jo mindre $h$ er, jo nærmere det EKSAKTE svaret kommer den numeriske tilnærmingen – men for veldig små $h$ kan avrundingsfeil i kalkulatoren bli et problem.

Eksempel: Sammenligne algebraisk og numerisk metode

For $f(x) = x^3 - 2x$ : finn $f'(2)$ algebraisk med potensregelen, og bekreft svaret numerisk med sentraldifferansen for $h = 0{,}01$ .

Algebraisk vs. numerisk
Metode	Resultat
Algebraisk (eksakt)	f'(2) = 10
Numerisk, h=0,01	≈10,0001

Løsning:

Algebraisk: $f'(x) = 3x^2 - 2$
$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 = 12 - 2 = 10$
numerisk med $h = 0{,}01$ : $f(2{,}01) = 2{,}01^3 - 2 \cdot 2{,}01 \approx 8{,}120601 - 4{,}02 = 4{,}100601$
$f(1{,}99) = 1{,}99^3 - 2 \cdot 1{,}99 \approx 7{,}880599 - 3{,}98 = 3{,}900599$
$\frac{4{,}100601 - 3{,}900599}{2 \cdot 0{,}01} = \frac{0{,}200002}{0{,}02}$ . Algebraisk gir $f'(2) = 10$ eksakt, og den numeriske sentraldifferansen gir $\approx 10{,}0001$ , ekstremt nær det eksakte svaret.

Alternativ forklaring/metode: Sammenligne flere h-verdier numerisk

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Se hvordan h påvirker nøyaktigheten

Regner du sentraldifferansen for flere $h$ -verdier, ser du konvergensen tydelig: $h = 0{,}1$ gir $\approx 10{,}01$ , $h = 0{,}01$ gir $\approx 10{,}0001$ , og $h = 0{,}001$ gir $\approx 10{,}000001$ . Jo mindre $h$ , jo nærmere det eksakte svaret $10$ – en konkret illustrasjon av at den numeriske metoden er en TILNÆRMING til grenseverdien den algebraiske definisjonen bygger på.

Sentraldifferanse for ulike h-verdier
h	Tilnærming til f'(2)
0,1	≈10,01
0,01	≈10,0001
0,001	≈10,000001

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva er de tre metodene for å bestemme den deriverte i et punkt?

Vis fasit

De tre metodene
Metode	Kjennetegn
Geometrisk	Les av tangentens stigning
Algebraisk	Eksakt via deriveringsregler
Numerisk	Tilnærming via sentraldifferanse

Alle tre metodene gir samme svar
geometrisk, algebraisk, numerisk

L-12Hvilken av de tre metodene gir et EKSAKT svar, ikke bare en tilnærming?

Vis fasit

Hvilken metode er eksakt
Metode	Type svar
Algebraisk	Eksakt
Geometrisk og numerisk	Tilnærming

Deriveringsregler gir et nøyaktig uttrykk
algebraisk metode er eksakt, geometrisk og numerisk er tilnærminger

L-13Deriver

f(x) = x^3 - 2x

algebraisk, og finn

f'(1)

Vis fasit

Deriver f(x)=x³-2x, finn f'(1)
Steg	Uttrykk
f'(x)	3x² − 2
f'(1)	3·1 − 2
Svar	1

f'(x) = 3x² - 2
f'(1) = 3·1 - 2 = 1

Middels(3)

M-11For

f(x) = x^2

: bruk sentraldifferansen

\frac{f(3{,}1) - f(2{,}9)}{0{,}2}

til å anslå

f'(3)

Vis fasit

Sentraldifferanse for f(x)=x² ved a=3
Steg	Verdi
f(3,1)	9,61
f(2,9)	8,41
(f(3,1) − f(2,9)) / 0,2	≈6,0

Bruker a=3, h=0,1
f(3,1)=9,61, f(2,9)=8,41
(9,61-8,41) delt på 0,2 = 6,0

M-12Kontroller svaret i forrige oppgave algebraisk med potensregelen for

f(x) = x^2

Vis fasit

Kontroll algebraisk
Steg	Verdi
f'(x)	2x
f'(3)	2·3
Svar	6, stemmer

f'(x) = 2x
f'(3) = 2·3 = 6, stemmer med den numeriske tilnærmingen

M-13Hvorfor er sentraldifferansen

\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}

ofte mer nøyaktig enn

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

for samme

h

Vis fasit

Hvorfor sentraldifferansen er mer nøyaktig
Metode	Bruker
Sentraldifferanse	To nabopunkter (begge sider)
Ensidig differanse	Ett nabopunkt (kun én side)

Sentraldifferansen (med 2h i nevneren) bruker to nabopunkter, ensidig differanse bruker kun ett
symmetrisk bruk av nabopunkter gir mindre feil

Vanskelig(3)

V-11For

f(x) = x^3 - 2x

: regn ut sentraldifferansen med

h = 0{,}001

ved

a = 2

, og sammenlign med det eksakte svaret

f'(2) = 10

Vis fasit

Sentraldifferanse med h=0,001
h	Avvik fra eksakt svar
0,01	Liten
0,001	Enda mindre

Ved a=2 med h=0,001 blir avviket fra det eksakte svaret enda mindre enn med h=0,01
≈10,000001, konvergerer mot 10 når h minker

V-12Forklar hvorfor den numeriske metoden ALDRI kan erstatte den algebraiske metoden fullstendig, selv om den kan bli svært nøyaktig.

Vis fasit

Hvorfor numerisk aldri kan erstatte algebraisk
Metode	Gir
Numerisk	Ett tallsvar for én bestemt a
Algebraisk	En formel som gjelder for ALLE x

Numerisk metode gir ett tallsvar for én bestemt a
algebraisk metode gir en FORMEL f'(x) som gjelder for ALLE x
numerisk kan aldri erstatte det generelle, symbolske uttrykket

V-13En bils posisjon er målt til

s(4{,}9) = 24{,}5

m og

s(5{,}1) = 26{,}01

m. Bruk sentraldifferansen til å anslå farten ved

t = 5

Vis fasit

Fart fra sentraldifferanse
Steg	Verdi
s(4,9)	24,5 m
s(5,1)	26,01 m
Fart ved t = 5	≈7,55 m/s

Ved t=5, sentraldifferanse: (26,01 - 24,5) delt på (5,1-4,9) = 1,51 delt på 0,2
≈7,55 m/s