NumiSum

Den deriverte i et punkt – tre metoder

Den deriverte i et punkt kan bestemmes på tre måter som alle gir SAMME svar: GEOMETRISK (stigningstallet til tangentlinjen, avlest eller anslått fra grafen), ALGEBRAISK (deriveringsregler, som gir et EKSAKT svar), og NUMERISK (regne ut f(a+h)−f(a−h)2h\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} for en liten hh, som gir en god TILNÆRMING uten å måtte derivere i det hele tatt).

Numerisk sentraldifferanse

f′(a)≈f(a+h)−f(a−h)2hf'(a) \approx \dfrac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}

Tre metoder for f'(2), samme svar
MetodeFremgangsmåte
GeometriskLes av/anslå stigningstallet til tangenten på grafen
AlgebraiskBruk deriveringsregler for et eksakt svar
NumeriskRegn ut (f(a+h)−f(a−h))/(2h) for liten h

Tips

  • Sentraldifferansen (bruker punkter på BEGGE sider av aa) er mer nøyaktig enn å bare bruke f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h)-f(a)}{h} (kun ett punkt til høyre) for samme hh.
  • Jo mindre hh er, jo nærmere det EKSAKTE svaret kommer den numeriske tilnærmingen, men for veldig små hh kan avrundingsfeil i kalkulatoren bli et problem.

Eksempel: Sammenligne algebraisk og numerisk metode

For f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x: finn f′(2)f'(2) algebraisk med potensregelen, og bekreft svaret numerisk med sentraldifferansen for h=0,01h = 0{,}01.

Løsning:
  1. Algebraisk: f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^2 - 2
  2. f′(2)=3⋅22−2=12−2=10f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 = 12 - 2 = 10
  3. numerisk med h=0,01h = 0{,}01: f(2,01)=2,013−2⋅2,01≈8,120601−4,02=4,100601f(2{,}01) = 2{,}01^3 - 2 \cdot 2{,}01 \approx 8{,}120601 - 4{,}02 = 4{,}100601
  4. f(1,99)=1,993−2⋅1,99≈7,880599−3,98=3,900599f(1{,}99) = 1{,}99^3 - 2 \cdot 1{,}99 \approx 7{,}880599 - 3{,}98 = 3{,}900599
  5. 4,100601−3,9005992⋅0,01=0,2000020,02\frac{4{,}100601 - 3{,}900599}{2 \cdot 0{,}01} = \frac{0{,}200002}{0{,}02}. Algebraisk gir f′(2)=10f'(2) = 10 eksakt, og den numeriske sentraldifferansen gir ≈10,0001\approx 10{,}0001, ekstremt nær det eksakte svaret.
Algebraisk vs. numerisk
MetodeResultat
Algebraisk (eksakt)f'(2) = 10
Numerisk, h=0,01≈10,0001
Alternativ forklaring/metode: Sammenligne flere h-verdier numerisk

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Se hvordan h påvirker nøyaktigheten

Regner du sentraldifferansen for flere hh-verdier, ser du konvergensen tydelig: h=0,1h = 0{,}1 gir ≈10,01\approx 10{,}01, h=0,01h = 0{,}01 gir ≈10,0001\approx 10{,}0001, og h=0,001h = 0{,}001 gir ≈10,000001\approx 10{,}000001. Jo mindre hh, jo nærmere det eksakte svaret 1010: en konkret illustrasjon av at den numeriske metoden er en TILNÆRMING til grenseverdien den algebraiske definisjonen bygger på.

Sentraldifferanse for ulike h-verdier
hTilnærming til f'(2)
0,1≈10,01
0,01≈10,0001
0,001≈10,000001

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva er de tre metodene for å bestemme den deriverte i et punkt?

Vis fasit
  1. Alle tre metodene gir samme svar
  2. geometrisk, algebraisk, numerisk
De tre metodene
MetodeKjennetegn
GeometriskLes av tangentens stigning
AlgebraiskEksakt via deriveringsregler
NumeriskTilnærming via sentraldifferanse

L-12Hvilken av de tre metodene gir et EKSAKT svar, ikke bare en tilnærming?

Vis fasit
  1. Deriveringsregler gir et nøyaktig uttrykk
  2. algebraisk metode er eksakt, geometrisk og numerisk er tilnærminger
Hvilken metode er eksakt
MetodeType svar
AlgebraiskEksakt
Geometrisk og numeriskTilnærming

L-13Deriver f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x algebraisk, og finn f′(1)f'(1).

Vis fasit
  1. f'(x) = 3x² - 2
  2. f'(1) = 3·1 - 2 = 1
Deriver f(x)=x³-2x, finn f'(1)
StegUttrykk
f'(x)3x² − 2
f'(1)3·1 − 2
Svar1
Middels(3)

M-11For f(x)=x2f(x) = x^2: bruk sentraldifferansen f(3,1)−f(2,9)0,2\frac{f(3{,}1) - f(2{,}9)}{0{,}2} til å anslå f′(3)f'(3).

Vis fasit
  1. Bruker a=3, h=0,1
  2. f(3,1)=9,61, f(2,9)=8,41
  3. 9,61−8,410,2=\frac{9{,}61-8{,}41}{0{,}2} = 6,0
Sentraldifferanse for f(x)=x² ved a=3
StegVerdi
f(3,1)9,61
f(2,9)8,41
(f(3,1) − f(2,9)) / 0,2≈6,0

M-12For f(x)=x2f(x) = x^2 gir sentraldifferansen f(3,1)−f(2,9)0,2\frac{f(3{,}1) - f(2{,}9)}{0{,}2} anslaget f′(3)≈6f'(3) \approx 6. Kontroller dette algebraisk med potensregelen for f(x)=x2f(x) = x^2.

Vis fasit
  1. f'(x) = 2x
  2. f'(3) = 2·3 = 6, stemmer med den numeriske tilnærmingen
Kontroll algebraisk
StegVerdi
f'(x)2x
f'(3)2·3
Svar6, stemmer

M-13Hvorfor er sentraldifferansen f(a+h)−f(a−h)2h\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} ofte mer nøyaktig enn f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h)-f(a)}{h} for samme hh?

Vis fasit
  1. Sentraldifferansen (med 2h i nevneren) bruker to nabopunkter, ensidig differanse bruker kun ett
  2. symmetrisk bruk av nabopunkter gir mindre feil
Hvorfor sentraldifferansen er mer nøyaktig
MetodeBruker
SentraldifferanseTo nabopunkter (begge sider)
Ensidig differanseEtt nabopunkt (kun én side)
Vanskelig(3)

V-11For f(x)=x3−2xf(x) = x^3 - 2x: regn ut sentraldifferansen med h=0,001h = 0{,}001 ved a=2a = 2, og sammenlign med det eksakte svaret f′(2)=10f'(2) = 10.

Vis fasit
  1. Ved a=2 med h=0,001 blir avviket fra det eksakte svaret enda mindre enn med h=0,01
  2. ≈10,000001, konvergerer mot 10 når h minker
Sentraldifferanse med h=0,001
hAvvik fra eksakt svar
0,01Liten
0,001Enda mindre

V-12Forklar hvorfor den numeriske metoden ALDRI kan erstatte den algebraiske metoden fullstendig, selv om den kan bli svært nøyaktig.

Vis fasit
  1. Numerisk metode gir ett tallsvar for én bestemt a
  2. algebraisk metode gir en FORMEL f'(x) som gjelder for ALLE x
  3. numerisk kan aldri erstatte det generelle, symbolske uttrykket
Hvorfor numerisk aldri kan erstatte algebraisk
MetodeGir
NumeriskEtt tallsvar for én bestemt a
AlgebraiskEn formel som gjelder for ALLE x

V-13En bils posisjon er målt til s(4,9)=24,5s(4{,}9) = 24{,}5 m og s(5,1)=26,01s(5{,}1) = 26{,}01 m. Bruk sentraldifferansen til å anslå farten ved t=5t = 5 s. Svar i m/s.

Vis fasit
  1. Ved t=5, sentraldifferanse: 26,01−24,55,1−4,9=1,510,2\frac{26{,}01 - 24{,}5}{5{,}1-4{,}9} = \frac{1{,}51}{0{,}2}
  2. ≈7,55 m/s
Fart fra sentraldifferanse
StegVerdi
s(4,9)24,5 m
s(5,1)26,01 m
Fart ved t = 5≈7,55 m/s