Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2009, Del 1 – Oppgave 15

Uten hjelpemidler – 0.5 poeng

Hvilket funksjonsuttrykk passer med grafen i koordinatsystemet?

$y = -x + 0{,}5$
$y = -2x + 1$
$y = 2x + 1$
$y = -x + 1$

y = -2x + 1

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hvilket av de fire funksjonsuttrykkene som passer med den tegnede grafen.

Strategi og formel: Vi leser av to punkter grafen går tydelig gjennom, og bruker dem til å finne stigningstallet $a$ og konstantleddet $b$ i $y = ax + b$ . Da kan vi sammenligne med alternativene.

Trinnvis utregning:

Grafen går gjennom $(0, 1)$ og $(1, -1)$
konstantleddet er $b = 1$ (verdien der grafen krysser $y$ -aksen)
stigningstallet er $a = \frac{-1 - 1}{1 - 0} = \frac{-2}{1} = -2$
funksjonsuttrykket er $y = -2x + 1$

Svar: $y = -2x + 1$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 0.5 poeng)

Poeng	Krav
0,5/0,5	Krysser av for $y = -2x + 1$ .
0/0,5	Krysser av for et annet alternativ.

Sensor-tips

En vanlig feil er å lese av riktig konstantledd ( $b=1$ ) men glemme at grafen SYNKER fra venstre mot høyre, og dermed velge et alternativ med positivt stigningstall (f.eks. $y=2x+1$ ).
Alternativet $y=-x+0{,}5$ har feil konstantledd (grafen krysser $y$ -aksen i 1, ikke 0,5): en rask sjekk av skjæringspunktet med $y$ -aksen utelukker dette alternativet umiddelbart.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2009, Del 1, Oppgave 15

Utdanningsdirektoratet

Vår 2010, Del 1 – Oppgave 12

Uten hjelpemidler – 0.5 poeng

Hva er funksjonsuttrykket til grafen?

$y = x - 1$
$y = 2x + \frac{1}{2}$
$y = -x + 2$
$y = 2x - 1$

y = 2x − 1

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hvilket av de fire funksjonsuttrykkene som passer med den tegnede grafen.

Strategi og formel: Vi leser av to punkter grafen går tydelig gjennom, akkurat som i forrige oppgave, og bruker dem til å finne stigningstallet $a$ og konstantleddet $b$ i $y = ax + b$ .

Trinnvis utregning:

Grafen går gjennom $(0, -1)$ og $(1, 1)$
konstantleddet er $b = -1$ (verdien der grafen krysser $y$ -aksen)
stigningstallet er $a = \frac{1 - (-1)}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2$
funksjonsuttrykket er $y = 2x - 1$

Svar: $y = 2x - 1$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 0.5 poeng)

Poeng	Krav
0,5/0,5	Krysser av for $y = 2x - 1$ .
0/0,5	Krysser av for et annet alternativ.

Sensor-tips

Alternativet $y = 2x + \frac{1}{2}$ har riktig stigningstall men feil konstantledd: en vanlig feil er å bytte om fortegnet på konstantleddet (lese av $+1$ i stedet for $-1$ der grafen krysser $y$ -aksen).
Alternativet $y = x - 1$ har riktig konstantledd men feil stigningstall (1 i stedet for 2): sjekk stigningstallet ved å telle hvor mange ruter grafen stiger for hver rute den går til høyre, ikke bare øyemål.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2010, Del 1, Oppgave 12

Utdanningsdirektoratet

Vår 2016, Del 2 – Oppgave 6

Med hjelpemidler – 4 poeng

Familien stopper ved Det skjeve tårn i Pisa.

Det blir fortalt at Galileo slapp tunge blykuler fra den laveste siden av tårnet.

Hele fallhøyden er 44,4 m.

Hvis vi slipper en kule fra toppen og ser bort fra luftmotstanden, vil kulen falle $h$ meter på $t$ sekunder. Galileo viste at

$h = 4{,}9t^2$

a) Vi setter $h = 44{,}4$ m. Vis ved regning at det tar ca. 3 s fra vi slipper kulen, til den treffer bakken.
b) Vis ved regning at kulen faller ca. 25 m i løpet av det siste sekundet.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal vise at fallet tar ca. 3 sekunder, og at kulen faller ca. 25 m det siste sekundet.

Strategi og formel: I a) setter vi $h = 44{,}4$ i formelen og løser for $t$ . I b) finner vi hvor langt kulen har falt etter $t - 1$ sekunder, og trekker det fra hele fallhøyden.

Trinnvis utregning:

a) $44{,}4 = 4{,}9t^2$
$t^2 = \frac{44{,}4}{4{,}9} \approx 9{,}06$
$t = \sqrt{9{,}06} \approx 3{,}01$ s, altså ca. $3$ s
b) etter $t - 1 \approx 2{,}01$ s har kulen falt: $h = 4{,}9 \cdot 2{,}01^2 \approx 19{,}8$ m
det siste sekundet faller kulen: $44{,}4 - 19{,}8 \approx 24{,}6$ m, altså ca. $25$ m

Svar: a) Fallet tar ca. 3 s (3,01 s). b) Kulen faller ca. 25 m (24,6 m) det siste sekundet.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	a) vist at t ≈ 3 s, og b) vist at kulen faller ca. 25 m det siste sekundet.
2-3/4	a) riktig og b) delvis riktig.
1/4	Bare noen riktige delberegninger.
0/4	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

I b) er det ikke riktig å regne $4{,}9 \cdot 1^2 = 4{,}9$ m. Det er avstanden kulen faller det FØRSTE sekundet. Det siste sekundet er forskjellen mellom hele fallet og fallet etter $t - 1$ sekunder.
Kulen faller stadig fortere, så strekningen per sekund øker.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 8. trinn matematikk, Vår 2016, Del 2, Oppgave 6