Eksamensoppgaver – Funksjoner (2P-Y)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 6 poeng

En bedrift produserer iste. Funksjonen $F$ gitt ved

$F(x) = 620 \cdot 1{,}045^{x}$

er en modell som viser hvor mange flasker av isteen bedriften regner med å selge hver måned fra og med desember 2024.

For å regne ut salget i desember 2024 kan vi sette $x=0$ , for å regne ut salget i januar 2025 kan vi sette $x=1$ og så videre.

a) Vis hvordan du på to ulike måter kan svare på spørsmål 1) og på spørsmål 2) nedenfor.

Hvor mange flasker iste regner bedriften med å selge i desember 2025 ifølge modellen?
Når vil bedriften for første gang selge mer enn 2 000 flasker iste i løpet av en måned ifølge modellen?

b) Hvor mange prosent vil salget øke med fra desember 2024 til desember 2026 ifølge modellen?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne salget i desember 2025 og det første tidspunktet salget passerer 2 000 flasker (a), og den prosentvise økningen i salget fra desember 2024 til desember 2026 (b).

Strategi og formel: Desember 2025 svarer til $x=12$ (12 måneder etter $x=0$ ). De «to ulike måtene» kan være å regne direkte med formelen, og å lese av/ bygge opp verdien i en tabell eller graf i et digitalt verktøy. For spørsmål 2) prøver vi oss fram med økende $x$ til $F(x)$ passerer 2000. For b) sammenlignes $F(24)$ (desember 2026) med $F(0)$ .

Trinnvis utregning:

1) $F(12) = 620 \cdot 1{,}045^{12} \approx 1 051$ flasker
2) $F(26) \approx 1 947$ (under 2 000), $F(27) \approx 2 035$ (over 2 000)
bedriften passerer 2 000 flasker for første gang i måned 27 etter desember 2024, altså mars 2027
b) $F(0)=620$ , $F(24) = 620 \cdot 1{,}045^{24} \approx 1 783$
prosentvis økning: $\dfrac{1 783-620}{620} \cdot 100\ \% \approx 188\ \%$

Svar: 1) I desember 2025 regner bedriften med å selge omtrent 1 051 flasker. 2) Salget passerer for første gang 2 000 flasker i mars 2027 (måned 27). b) Salget øker med omtrent 188 % fra desember 2024 til desember 2026.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
5–6/6	Begge delspørsmålene i a) løst med to REELT ulike metoder (f.eks. direkte utregning og en tabell/graf), riktig svar på begge, og riktig prosentvis økning i b).
2–4/6	Riktige svar i a) med bare én metode vist (ikke to ulike), eller riktig metode i b) med en avrundingsfeil.
0–1/6	Feil bruk av $x$ (f.eks. setter $x=2025$ i stedet for $x=12$ for desember 2025), som gir urimelig store/små svar gjennomgående.

Sensor-tips

Sjekk at $x$ -verdiene faktisk telles fra desember 2024 ( $x=0$ ) – den vanligste feilen er å bruke årstall direkte som $x$ -verdi.
«To ulike måter» i a) betyr at eleven må vise to reelt forskjellige tilnærminger (f.eks. algebraisk utregning OG en tabell med økende $x$ -verdier, eller en graf) – to nesten identiske utregninger med små notasjonsforskjeller bør ikke telle som to metoder.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 2P-Y matematikk, Høst 2024, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 4

Med hjelpemidler – 6 poeng

Tuva har en profil på Instagram. Tabellen nedenfor viser hvor mange følgere hun har hatt de siste seks månedene.

November: 5 335. Desember: 7 035. Januar: 9 467. Februar: 12 780. Mars: 17 208. April: 24 008.

Tuva har laget en modell som viser at antallet følgere har økt med ca. 35 % hver måned i perioden november 2023–april 2024.

a) La $x$ være antall måneder etter november 2023, og vis hvordan Tuva kan ha laget denne modellen.

For å få antall følgere til å øke raskere vil Tuva gjøre noen endringer i innholdet hun legger ut. Hun har som mål at økningen i antall følgere ikke skal fortsette å være på 35 % etter april 2024, men øke med 5 prosentpoeng hver måned.

b) Vis at antall følgere vil være 33 611 i mai og 48 736 i juni dersom Tuva klarer å nå målet sitt for disse månedene.

c) Hvor mange prosent flere følgere vil Tuva ha i august 2024 dersom hun klarer å nå det nye målet sitt for hver måned, sammenliknet med om økningen fortsetter å være på 35 % hver måned?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal vise hvordan den omtrentlige månedlige vekstraten på 35 % kan utledes fra tabellen (a), bekrefte to konkrete framskrivninger med en økende vekstrate (b), og sammenligne to ulike scenarioer for august 2024 (c).

Strategi og formel: For a): regn ut den prosentvise økningen fra måned til måned, og ta gjennomsnittet. For b) og c): ta utgangspunkt i den FAKTISKE april-verdien (24 008) og gang med de nye, økende vekstfaktorene måned for måned.

Trinnvis utregning:

a) Månedlige økninger: $\frac{7 035}{5 335}\approx1{,}32$ , $\frac{9 467}{7 035}\approx1{,}35$ , $\frac{12 780}{9 467}\approx1{,}35$ , $\frac{17 208}{12 780}\approx1{,}35$ , $\frac{24 008}{17 208}\approx1{,}40$
gjennomsnittlig vekstfaktor $\approx 1{,}35$ , altså ca. 35 %
b) Mai: $24\ 008 \cdot 1{,}40 \approx 33\ 611$
Juni: $33\ 611 \cdot 1{,}45 \approx 48\ 736$
c) Juli (50 %): $48\ 736 \cdot 1{,}50 \approx 73\ 104$
August (55 %): $73\ 104 \cdot 1{,}55 \approx 113\ 312$
Med uendret 35 %: $24\ 008 \cdot 1{,}35^{4} \approx 79\ 743$
Prosentvis forskjell: $\dfrac{113\ 312-79\ 743}{79\ 743} \cdot 100\ \% \approx 42\ \%$

Svar: a) Den gjennomsnittlige månedlige veksten i tabellen er omtrent 35 %, som stemmer med Tuvas modell. b) Beregningene bekrefter 33 611 følgere i mai og 48 736 følgere i juni. c) Med det nye målet vil Tuva ha omtrent 42 % flere følgere i august enn om veksten hadde fortsatt å være 35 % hver måned.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
5–6/6	Riktig utledning av ca. 35 % i a) (basert på månedlige vekstrater, ikke gjettet), riktig bekreftelse av begge tallene i b), og riktig prosentsammenligning i c) med begge scenarioene korrekt framskrevet fra april-verdien.
2–4/6	a) og b) riktige, men c) blander sammen de to scenarioene (f.eks. bruker feil vekstfaktor i ett av dem), eller mangler en tydelig prosentvis sammenligning til slutt.
0–1/6	a) mangler en reell utledning (bare oppgir at 35 % «stemmer» uten beregning), eller b)/c) tar utgangspunkt i feil startverdi.

Sensor-tips

I c) må BEGGE scenarioene regnes fram fra SAMME utgangspunkt (april-verdien 24 008) med fire måneders framskrivning – den vanligste feilen er å blande inn den avrundede mai/juni-verdien fra b) på en inkonsekvent måte, eller å glemme at det er FIRE måneder (mai, juni, juli, august) fra april til august.
a) skal vise en UTLEDNING av 35 %, ikke bare bekrefte at tallet stemmer – en fullgod besvarelse regner ut de månedlige vekstratene enkeltvis og tar gjennomsnittet, slik at eleven viser HVOR tallet 35 % kommer fra.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 2P-Y matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 4