Fra eksempler til generell formel

Noen ganger får du ikke oppgitt fastbeløp og sats direkte – du får bare noen EKSEMPLER, og må selv finne mønsteret. Fremgangsmåten er å regne ut hvor mye verdien øker per steg (stigningen), og deretter finne fastbeløpet ved å regne baklengs fra ett av eksemplene. To eksempler holder til å finne formelen, men et TREDJE bør alltid brukes til å kontrollere at mønsteret faktisk stemmer – ikke bare tilfeldigvis passer for de to første.

Stigning (endring per enhet)

$b = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Generalisert formel

$P(x) = a + b \cdot x$

Kabelinnkjøp – tre eksempler
Lengde (m)	Pris (kr)
10	800
20	1 100
30	1 400

Tips

Regn stigningen fra to punkter som ligger langt fra hverandre – det gjør regnefeil lettere å oppdage.
Sjekk ALLTID formelen mot et tredje datapunkt. To punkter passer alltid en rett linje – det er det tredje som beviser at mønsteret er ekte.

Eksempel: Finne formelen fra en tabell

Et firma fakturerer kabelinnkjøp slik: $10$ m koster $800$ kr, $20$ m koster $1\ 100$ kr, $30$ m koster $1\ 400$ kr. Finn en generell formel $P(x)$ , der $x$ er antall meter.

Kontroll mot det tredje punktet
x	Formel	Stemmer med tabellen?
10	500 + 300 = 800	ja
20	500 + 600 = 1 100	ja
30	500 + 900 = 1 400	ja

Løsning:

Vi finner stigningen mellom de to første punktene: fra $10$ til $20$ m øker prisen fra $800$ til $1\ 100$ kr
stigning $\frac{1\ 100 - 800}{20 - 10} = \frac{300}{10} = 30$ kr per meter
fastbeløpet finner vi ved å sette inn $x = 10$ : $800 = a + 30 \cdot 10$ , altså $a = 800 - 300 = 500$
formelen blir $P(x) = 500 + 30x$
kontroller mot det tredje punktet: $P(30) = 500 + 900 = 1\ 400$ , som stemmer. Formelen er $P(x) = 500 + 30x$ .

Alternativ forklaring/metode: La et regneark finne formelen automatisk

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Digitalt verktøy med regresjon

Legger du de tre punktene inn i et regneark og ber om en «trendlinje» (lineær regresjon), finner programmet stigning og konstantledd for deg. Det er raskt og nyttig for større datasett, men det er lett å be om feil kurvetype (for eksempel en eksponentiell trendlinje der data faktisk er lineære) uten å forstå hvorfor. Å kunne regne det manuelt først gjør deg i stand til å avgjøre om regnearkets svar faktisk gir mening.

Metode	Finner formelen ved å	Risiko
Manuelt	Regne stigning/konstantledd fra to punkter	Ingen, men tar lengre tid
Regneark (regresjon)	Be om en trendlinje	Feil kurvetype uten at du merker det

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Et verksted tar $150$ kr per dekk skiftet. Hva koster $3$ dekk?

Vis fasit

Steg	Resultat
150 kr per dekk og 3 dekk
150 gange 3	450 kr

150 kr per dekk og 3 dekk
150 gange 3 = 450 kr

L-22Samme verksted: hva koster

5

dekk?

Vis fasit

Steg	Resultat
150 kr per dekk og 5 dekk
150 gange 5	750 kr

150 kr per dekk og 5 dekk
150 gange 5 = 750 kr

L-23Skriv en formel for prisen ved

n

dekk skiftet.

Vis fasit

Steg	Resultat
150 kr per dekk, n dekk
==P(n)	150n==

150 kr per dekk, n dekk
P(n) = 150n

Middels(3)

M-21

10

m kabel koster

800

kr,

20

m koster

1\ 100

kr. Hva er stigningen (prisøkning per meter)?

Vis fasit

Steg	Resultat
1 100 kr minus 800 kr er 300 kr over 10 m
300 delt på 10	30 kr per meter

1 100 kr minus 800 kr er 300 kr over 10 m
300 delt på 10 = 30 kr per meter

M-22Med stigning

30

kr/m og fastbeløp

500

kr, hva koster

40

m kabel?

Vis fasit

Steg	Resultat
500 kr fast og 30 kr per meter for 40 m
500 + 30 gange 40	1 700 kr

500 kr fast og 30 kr per meter for 40 m
500 + 30 gange 40 = 1 700 kr

M-23Sett opp formelen

P(x)

for kabelkostnaden ut fra tabellen med

10

20

30

meter.

Vis fasit

Steg	Resultat
Stigning 30 kr/m og fastbeløp 500 kr
==P(x)	500 + 30x==

Stigning 30 kr/m og fastbeløp 500 kr
P(x) = 500 + 30x

Vanskelig(3)

V-21Et snekkerfirma har disse prisene:

2

timer

= 900

kr,

4

timer

= 1\ 500

kr,

6

timer

= 2\ 100

kr. Finn en generell formel

P(t)

Vis fasit

Steg	Resultat
Stigning fra 2 til 4 timer: (1 500 - 900) delt på (4 - 2)	300 kr/time
fastbeløp: 900 - 300 gange 2	300 kr
==P(t)	300 + 300t==

Stigning fra 2 til 4 timer: (1 500 - 900) delt på (4 - 2) = 300 kr/time
fastbeløp: 900 - 300 gange 2 = 300 kr
P(t) = 300 + 300t

V-22Kontroller formelen

P(t) = 300 + 300t

fra forrige oppgave mot

6

timer.

Vis fasit

Steg	Resultat
300 + 300 gange 6
300 + 1 800	2 100 kr, som stemmer med tabellen

300 + 300 gange 6
300 + 1 800 = 2 100 kr, som stemmer med tabellen

V-23Hvorfor er det lurt å sjekke formelen mot ALLE datapunktene, ikke bare to?

Vis fasit

Steg
2 punkter passer alltid en rett linje uansett
et tredje punkt beviser at mønsteret faktisk stemmer

2 punkter passer alltid en rett linje uansett
et tredje punkt beviser at mønsteret faktisk stemmer