Fra eksempler til generell formel

Noen ganger får du ikke oppgitt fastbeløp og sats direkte. Du får bare noen EKSEMPLER, og må selv finne mønsteret. Fremgangsmåten er å regne ut hvor mye verdien øker per steg (stigningen), og deretter finne fastbeløpet ved å regne baklengs fra ett av eksemplene. To eksempler holder til å finne formelen, men et TREDJE bør alltid brukes til å kontrollere at mønsteret faktisk stemmer. Ikke bare tilfeldigvis passer for de to første.

Stigning (endring per enhet)

$b = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Generalisert formel

$P(x) = a + b \cdot x$

Kabelinnkjøp – tre eksempler
Lengde (m)	Pris (kr)
10	800
20	1 100
30	1 400

Tips

Regn stigningen fra to punkter som ligger langt fra hverandre. Det gjør regnefeil lettere å oppdage.
Sjekk ALLTID formelen mot et tredje datapunkt. To punkter passer alltid en rett linje. Det er det tredje som beviser at mønsteret er ekte.

Eksempel: Finne formelen fra en tabell

Et firma fakturerer kabelinnkjøp slik: $10$ m koster $800$ kr, $20$ m koster $1\ 100$ kr, $30$ m koster $1\ 400$ kr. Finn en generell formel $P(x)$ , der $x$ er antall meter.

Løsning:

Vi finner stigningen mellom de to første punktene: fra $10$ til $20$ m øker prisen fra $800$ til $1\ 100$ kr
stigning $\frac{1\ 100 - 800}{20 - 10} = \frac{300}{10} = 30$ kr per meter
fastbeløpet finner vi ved å sette inn $x = 10$ : $800 = a + 30 \cdot 10$ , altså $a = 800 - 300 = 500$
formelen blir $P(x) = 500 + 30x$
kontroller mot det tredje punktet: $P(30) = 500 + 900 = 1\ 400$ , som stemmer. Formelen er $P(x) = 500 + 30x$ .

Kontroll mot det tredje punktet
x	Formel	Stemmer med tabellen?
10	500 + 300 = 800	ja
20	500 + 600 = 1 100	ja
30	500 + 900 = 1 400	ja

Alternativ forklaring/metode: La et regneark finne formelen automatisk

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Digitalt verktøy med regresjon

Legger du de tre punktene inn i et regneark og ber om en «trendlinje» (lineær regresjon), finner programmet stigning og konstantledd for deg. Det er raskt og nyttig for større datasett, men det er lett å be om feil kurvetype (for eksempel en eksponentiell trendlinje der data faktisk er lineære) uten å forstå hvorfor. Å kunne regne det manuelt først gjør deg i stand til å avgjøre om regnearkets svar faktisk gir mening.

Metode	Finner formelen ved å	Risiko
Manuelt	Regne stigning/konstantledd fra to punkter	Ingen, men tar lengre tid
Regneark (regresjon)	Be om en trendlinje	Feil kurvetype uten at du merker det

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Et verksted tar $150$ kr per dekk skiftet. Hva koster $3$ dekk? Svar i kroner.

Vis fasit

150 kr per dekk og 3 dekk
$150 \cdot 3 =$ 450 kr

L-32Samme verksted: hva koster $5$ dekk? Svar i kroner.

Vis fasit

150 kr per dekk og 5 dekk
$150 \cdot 5 =$ 750 kr

L-33Skriv en formel for prisen ved $n$ dekk skiftet.

Vis fasit

150 kr per dekk, n dekk
P(n) = 150n

Middels(3)

M-31

10

m kabel koster

800

kr,

20

m koster

1\ 100

kr. Hva er stigningen (prisøkning per meter)? Svar i kr per meter.

Vis fasit

$1\,100\ \text{kr} - 800\ \text{kr}$ er 300 kr over 10 m
$\frac{300}{10} =$ 30 kr per meter

M-32Med stigning $30$ kr/m og fastbeløp $500$ kr, hva koster $40$ m kabel? Svar i kroner.

Vis fasit

500 kr fast og 30 kr per meter for 40 m
$500 + 30 \cdot 40 =$ 1 700 kr

M-33Sett opp formelen $P(x)$ for kabelkostnaden ut fra tabellen med $10$ , $20$ og $30$ meter.

Vis fasit

Stigning 30 kr/m og fastbeløp 500 kr
P(x) = 500 + 30x

Vanskelig(3)

V-31Et snekkerfirma har disse prisene:

2

timer

= 900

kr,

4

timer

= 1\ 500

kr,

6

timer

= 2\ 100

kr. Finn en generell formel

P(t)

Vis fasit

Stigning fra 2 til 4 timer: $\frac{1\ 500 - 900}{4 - 2} = 300$ kr/time
fastbeløp: $900 - 300 \cdot 2 = 300$ kr
P(t) = 300 + 300t

V-32Et snekkerfirma har disse prisene: $2$ timer $= 900$ kr, $4$ timer $= 1\ 500$ kr, $6$ timer $= 2\ 100$ kr. Formelen er $P(t) = 300 + 300t$ . Kontroller formelen mot $6$ timer.

Vis fasit

$300 + 300 \cdot 6$
300 + 1 800 = 2 100 kr, som stemmer med tabellen

V-33Hvorfor er det lurt å sjekke formelen mot ALLE datapunktene, ikke bare to?

Vis fasit

2 punkter passer alltid en rett linje uansett
et tredje punkt beviser at mønsteret faktisk stemmer