Varians og standardavvik

VARIANSEN $\text{Var}(X)$ måler hvor mye en stokastisk variabel $X$ typisk AVVIKER fra forventningsverdien sin, kvadrert (slik at positive og negative avvik ikke kansellerer hverandre). STANDARDAVVIKET $\sigma$ er kvadratroten av variansen, og har samme MÅLEENHET som $X$ selv. Derfor er standardavviket ofte lettere å tolke i praksis enn variansen.

Varians

$\text{Var}(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$

Standardavvik

$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

Varians og standardavvik for et terningkast
Størrelse	Verdi
E(X)	3,5
E(X²)	≈15,17
Var(X) = E(X²) − E(X)²	≈2,92
Standardavvik σ = $\sqrt{Var(X)}$	≈1,71

Tips

Regn ALLTID $E(X^2)$ separat (summen av $x^2 \cdot P(X=x)$ ) FØR du trekker fra $\left(E(X)\right)^2$ . De to leddene ser like ut, men er ulike størrelser.
Standardavviket har samme ENHET som $X$ selv (kr, øyne, cm), mens variansen har enheten i ANNEN POTENS. Derfor er standardavviket oftest det som brukes til å beskrive spredning i praksis.

Eksempel: Finne varians og standardavvik for et terningkast

Et terningkast har $X$ = antall øyne, med verdiene $1$ til $6$ , hver med sannsynlighet $\frac{1}{6}$ . Finn variansen og standardavviket til $X$ .

Løsning:

Terningen har verdiene $1$ til $6$
vi vet fra før at $E(X) = 3{,}5$
finn $E(X^2)$ : summen av $x^2 \cdot P(X=x)$ for hver verdi: $\frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15{,}17$
bruk variansformelen: $\text{Var}(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 \approx 15{,}17 - 3{,}5^2 = 15{,}17 - 12{,}25$
standardavviket er kvadratroten av variansen: $\sigma = \sqrt{2{,}92}$ . Variansen er $\approx 2{,}92$ , og standardavviket er $\approx 1{,}71$ øyne.

Fra E(X²) til standardavvik
Steg	Verdi
E(X²)	≈15,17
(E(X))²	12,25
Var(X)	≈2,92
σ = $\sqrt{Var(X)}$	≈1,71

Alternativ forklaring/metode: Bruk den opprinnelige definisjonen av varians

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regne avvik fra gjennomsnittet direkte

I stedet for snarveiformelen $E(X^2) - (E(X))^2$ , kan du bruke variansens opprinnelige definisjon direkte: $\text{Var}(X) = \sum (x - E(X))^2 \cdot P(X=x)$ . For terningkastet: $(1-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (2-3{,}5)^2 \cdot \frac{1}{6} + \ldots$ , som også gir $\approx 2{,}92$ . Denne versjonen viser TYDELIGERE hva varians faktisk MÅLER (kvadrert avstand fra gjennomsnittet), men krever flere regnesteg enn snarveiformelen.

Regne avvik fra gjennomsnittet direkte
x	(x − 3,5)² · $\frac{1}{6}$
1	1,04
2	0,38
3	0,04
4	0,04
5	0,38
6	1,04
Sum	≈2,92

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva måler variansen til en stokastisk variabel?

Vis fasit

Varians beskriver spredning rundt forventningsverdien
kvadrert avvik fra E(X)

L-12Hva er sammenhengen mellom varians og standardavvik?

Vis fasit

σ er definert som
kvadratroten av Var(X)

L-13En stokastisk variabel har $E(X) = 5$ og $E(X^2) = 30$ . Finn variansen.

Vis fasit

Var(X) = E(X²) - (E(X))² = 30 - 25 = 5

Middels(3)

M-11En stokastisk variabel har

E(X) = 4

E(X^2) = 20

. Finn varians og standardavvik.

Vis fasit

Var(X) = 20 - 16 = 4
σ = $\sqrt{4}$ = 2

M-12Et lotteri gir $X=100$ kr med sannsynlighet $0{,}1$ , ellers $X=0$ . Finn $E(X^2)$ .

Vis fasit

E(X²) = 100² gange 0,1 + 0² gange 0,9 = 1 000

M-13Et lotteri gir

X=100

kr med sannsynlighet

0{,}1

, ellers

X=0

. Da er

E(X)=10

E(X^2)=1\,000

. Finn variansen og standardavviket.

Vis fasit

Var(X) = 1 000 - 10² = 1 000-100 = 900
σ = $\sqrt{900}$ = 30

Vanskelig(3)

V-11To myntkast gir $X$ = antall kron, med $P(X=0)=0{,}25$ , $P(X=1)=0{,}5$ , $P(X=2)=0{,}25$ . Finn $E(X)$ og $E(X^2)$ .

Vis fasit

E(X) = 0·0,25+1·0,5+2·0,25 = 1
E(X²) = 0·0,25+1·0,5+4·0,25 = 1,5

V-12To myntkast gir $X$ = antall kron, med $P(X=0)=0{,}25$ , $P(X=1)=0{,}5$ , $P(X=2)=0{,}25$ . Da er $E(X)=1$ og $E(X^2)=1{,}5$ . Finn variansen og standardavviket.

Vis fasit

Var(X) = 1,5 - 1² = 0,5
σ = $\sqrt{0{,}5}$ ≈ 0,71

V-13Hvorfor kan man ikke bare bruke $E(X - E(X))$ (uten kvadrering) som et spredningsmål?

Vis fasit

Avvik over og under gjennomsnittet balanserer alltid ut
uten kvadrering blir spredningsmålet alltid null, ubrukelig