Varians og standardavvik

VARIANSEN $\text{Var}(X)$ måler hvor mye en stokastisk variabel $X$ typisk AVVIKER fra forventningsverdien sin, kvadrert (slik at positive og negative avvik ikke kansellerer hverandre). STANDARDAVVIKET $\sigma$ er kvadratroten av variansen, og har samme MÅLEENHET som $X$ selv – derfor er standardavviket ofte lettere å tolke i praksis enn variansen.

Varians

$\text{Var}(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$

Standardavvik

$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$

Varians og standardavvik for et terningkast
Størrelse	Verdi
E(X)	3,5
E(X²)	≈15,17
Var(X) = E(X²) − E(X)²	≈2,92
Standardavvik σ = $\sqrt{Var(X)}$	≈1,71

Tips

Regn ALLTID $E(X^2)$ separat (summen av $x^2 \cdot P(X=x)$ ) FØR du trekker fra $\left(E(X)\right)^2$ – de to leddene ser like ut, men er ulike størrelser.
Standardavviket har samme ENHET som $X$ selv (kr, øyne, cm), mens variansen har enheten i ANNEN POTENS – derfor er standardavviket oftest det som brukes til å beskrive spredning i praksis.

Eksempel: Finne varians og standardavvik for et terningkast

Et terningkast har $X$ = antall øyne, med verdiene $1$ til $6$ , hver med sannsynlighet $\frac{1}{6}$ . Finn variansen og standardavviket til $X$ .

Fra E(X²) til standardavvik
Steg	Verdi
E(X²)	≈15,17
(E(X))²	12,25
Var(X)	≈2,92
σ = $\sqrt{Var(X)}$	≈1,71

Løsning:

Terningen har verdiene $1$ til $6$
vi vet fra før at $E(X) = 3,5$
finn $E(X^2)$ : summen av $x^2 \cdot P(X=x)$ for hver verdi: $\frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6} \approx 15,17$
bruk variansformelen: $\text{Var}(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2 \approx 15,17 - 3,5^2 = 15,17 - 12,25$
standardavviket er kvadratroten av variansen: $\sigma = \sqrt{2,92}$ . Variansen er $\approx 2,92$ , og standardavviket er $\approx 1,71$ øyne.

Alternativ forklaring/metode: Bruk den opprinnelige definisjonen av varians

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Regne avvik fra gjennomsnittet direkte

I stedet for snarveiformelen $E(X^2) - (E(X))^2$ , kan du bruke variansens opprinnelige definisjon direkte: $\text{Var}(X) = \sum (x - E(X))^2 \cdot P(X=x)$ . For terningkastet: $(1-3,5)^2 \cdot \frac{1}{6} + (2-3,5)^2 \cdot \frac{1}{6} + \ldots$ , som også gir $\approx 2,92$ . Denne versjonen viser TYDELIGERE hva varians faktisk MÅLER (kvadrert avstand fra gjennomsnittet), men krever flere regnesteg enn snarveiformelen.

Regne avvik fra gjennomsnittet direkte
x	(x − 3,5)² · $\frac{1}{6}$
1	1,04
2	0,38
3	0,04
4	0,04
5	0,38
6	1,04
Sum	≈2,92

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva måler variansen til en stokastisk variabel?

Vis fasit

Steg
Varians beskriver spredning rundt forventningsverdien
kvadrert avvik fra E(X)

Varians beskriver spredning rundt forventningsverdien
kvadrert avvik fra E(X)

L-12Hva er sammenhengen mellom varians og standardavvik?

Vis fasit

Steg
σ er definert som
kvadratroten av Var(X)

σ er definert som
kvadratroten av Var(X)

L-13En stokastisk variabel har

E(X) = 5

E(X^2) = 30

. Finn variansen.

Vis fasit

Steg	Resultat
Var(X) = E(X²) - (E(X))² = 30 - 25	5

Var(X) = E(X²) - (E(X))² = 30 - 25 = 5

Middels(3)

M-11En stokastisk variabel har

E(X) = 4

E(X^2) = 20

. Finn varians og standardavvik.

Vis fasit

Steg	Resultat
Var(X) = 20 - 16	4
==σ = kvadratroten av 4	2==

Var(X) = 20 - 16 = 4
σ = kvadratroten av 4 = 2

M-12Et lotteri gir

X=100

kr med sannsynlighet

0,1

, ellers

X=0

. Finn

E(X^2)

Vis fasit

Steg	Resultat
E(X²) = 100² gange 0,1 + 0² gange 0,9	1 000

E(X²) = 100² gange 0,1 + 0² gange 0,9 = 1 000

M-13For lotteriet i forrige oppgave (E(X)=10, E(X²)=1 000): finn variansen og standardavviket.

Vis fasit

Steg	Resultat
Var(X) = 1 000 - 10² = 1 000-100	900
==σ = kvadratroten av 900	30==

Var(X) = 1 000 - 10² = 1 000-100 = 900
σ = kvadratroten av 900 = 30

Vanskelig(3)

V-11To myntkast gir

X

= antall kron, med

P(X=0)=0,25

P(X=1)=0,5

P(X=2)=0,25

. Finn

E(X)

E(X^2)

Vis fasit

Steg	Resultat
E(X) = 0·0,25+1·0,5+2·0,25	1
==E(X²) = 0·0,25+1·0,5+4·0,25	1,5==

E(X) = 0·0,25+1·0,5+2·0,25 = 1
E(X²) = 0·0,25+1·0,5+4·0,25 = 1,5

V-12Finn variansen og standardavviket for de to myntkastene i forrige oppgave.

Vis fasit

Steg	Resultat
Var(X) = 1,5 - 1²	0,5
==σ	kvadratroten av 0,5 ≈ 0,71==

Var(X) = 1,5 - 1² = 0,5
σ = kvadratroten av 0,5 ≈ 0,71

V-13Hvorfor kan man ikke bare bruke

E(X - E(X))

(uten kvadrering) som et spredningsmål?

Vis fasit

Steg
Avvik over og under gjennomsnittet balanserer alltid ut
uten kvadrering blir spredningsmålet alltid null, ubrukelig

Avvik over og under gjennomsnittet balanserer alltid ut
uten kvadrering blir spredningsmålet alltid null, ubrukelig