Eksamensoppgaver – Forventningsverdi, varians og fordelinger (S2)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 1 – Oppgave 5

Uten hjelpemidler – 6 poeng

I en kasse ligger det tre typer kuler. Disse veier henholdsvis 4 kg, 5 kg og 10 kg. Dersom vi trekker tilfeldig én kule, er sannsynligheten $\frac{1}{4}$ for at kulen veier 4 kg og $\frac{1}{2}$ for at den veier 5 kg. Vi lar $X$ være vekten til en tilfeldig kule.

a) Vis at $E(X) = 6$ kg. Regn ut variansen til $X$ .

Vi trekker tilfeldig en kule og legger den tilbake igjen. Dette gjør vi to ganger. La $X_1$ være vekten til den første kulen vi trekker, og $X_2$ vekten til den andre kulen vi trekker. La $Y = X_1 + X_2$ .

b) Sett opp sannsynlighetsfordelingen til $Y$ .

c) Bestem $P(Y > 10)$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi først finne sannsynligheten for den TREDJE kuletypen (10 kg, siden de to andre er oppgitt), deretter regne ut forventningsverdi og varians for $X$ . I b) og c) skal vi bygge sannsynlighetsfordelingen for SUMMEN av to uavhengige trekninger av $X$ , og bruke den til å finne en konkret sannsynlighet.

Strategi og formel: a) Sannsynlighetene må summere til $1$ , så $P(X=10)$ finnes ved subtraksjon. Bruk deretter definisjonene $E(X)=\sum x\cdot P(X=x)$ og $\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$ . b) $Y=X_1+X_2$ kan bare ta verdiene $4+4$ , $4+5$ , $4+10$ , $5+5$ , $5+10$ og $10+10$ : finn sannsynligheten for hver kombinasjon (og husk at f.eks. $4+5$ og $5+4$ begge gir $Y=9$ , så sannsynlighetene legges sammen). c) Summer sannsynlighetene for de $Y$ -verdiene som er større enn $10$ .

Trinnvis utregning:

a) $P(X=10)=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
$E(X)=4\cdot\frac{1}{4}+5\cdot\frac{1}{2}+10\cdot\frac{1}{4}=1+2{,}5+2{,}5=6$ kg ✓
$E(X^2)=4^2\cdot\frac{1}{4}+5^2\cdot\frac{1}{2}+10^2\cdot\frac{1}{4}=4+12{,}5+25=41{,}5$
$\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=41{,}5-36=5{,}5$ kg². b) Mulige $Y$ -verdier og sannsynligheter (siden trekningene er uavhengige, ganges sannsynlighetene, og like utfall i ulik rekkefølge legges sammen): $Y=8$ ( $4+4$ ): $\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$ $Y=9$ ( $4+5$ eller $5+4$ ): $2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ $Y=10$ ( $5+5$ ): $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ $Y=14$ ( $4+10$ eller $10+4$ ): $2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$ $Y=15$ ( $5+10$ eller $10+5$ ): $2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ $Y=20$ ( $10+10$ ): $\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$ Kontroll: $\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=1$ . ✓ c) $P(Y>10)=P(Y=14)+P(Y=15)+P(Y=20)=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{2}{16}+\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\frac{7}{16}=0{,}4375$ .

Svar: a) $E(X)=6$ kg (vist), $\mathrm{Var}(X)=$ $5{,}5$ kg². b) $Y\in\{8,9,10,14,15,20\}$ med sannsynligheter $\frac{1}{16},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{16}$ . c) $P(Y>10)=$ $\frac{7}{16}=0{,}4375$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Finner riktig $P(X=10)=\frac{1}{4}$ , viser $E(X)=6$ og regner ut riktig varians $5{,}5$ i a), setter opp en fullstendig og korrekt sannsynlighetsfordeling for $Y$ i b) (alle seks verdier, riktig summerte sannsynligheter), og finner riktig $P(Y>10)=\frac{7}{16}$ i c).
4/6	Riktig i a), men glemmer i b) å legge sammen sannsynlighetene for kombinasjoner som kan skje i to rekkefølger (f.eks. oppgir $P(Y=9)=\frac{1}{8}$ i stedet for $\frac{1}{4}$ ), som gir feil (men konsistent) svar i c).
2/6	Riktig $E(X)=6$ i a), men gjør en feil i variansutregningen (f.eks. bruker $E(X)-\big(E(X)\big)^2$ i stedet for $E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$ ), og har ingen fungerende strategi for b)/c).
0/6	Klarer ikke å finne $P(X=10)$ ved subtraksjon, eller bruker feil formel for $E(X)$ helt fra start.

Sensor-tips

Den vanligste feilen i b) er å GLEMME at $X_1=4,X_2=5$ og $X_1=5,X_2=4$ er TO forskjellige utfall som begge gir $Y=9$ : sjekk at eleven har doblet sannsynligheten for alle usymmetriske kombinasjoner ( $8$ , $9$ , $14$ , $15$ , $20$ … vent, kun $9$ , $14$ og $15$ er usymmetriske; $8$ og $20$ kommer bare fra én kombinasjon hver).
Kontrollsummen $\sum P(Y=y)=1$ er en rask og pålitelig sjekk av om b) er riktig satt opp: bruk den til å avgjøre delvis uttelling.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S2 matematikk, Høst 2023, Del 1, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 1 – Oppgave 6

Uten hjelpemidler – 4 poeng

Hilde kaster en terning med seks sider. La $X$ være antall øyne hun får på terningen.

a) Bestem forventningsverdien $E(X)$ .

Hilde regner ut at standardavviket $SD(X)=1{,}7$ . Hun vil kaste terningen flere ganger og summere antall øyne fra hvert kast.

b) Hvor mange ganger må Hilde kaste terningen før det er omtrent 32 % sannsynlighet for at summen av antall øyne er mer enn 17 unna forventningsverdien for summen?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi finne forventningsverdien til ETT terningkast. I b) skal vi bruke standardavviket til å finne hvor mange kast som trengs for at et gitt AVVIK fra forventningsverdien (for SUMMEN av mange kast) skal svare til en bestemt sannsynlighet. Dette bruker normaltilnærmingen for en sum av mange uavhengige stokastiske variabler. Forvarsel: del b) bygger på normalfordelingen, som du først møter i neste tema («Normalfordeling og hypotesetesting»). Har du ikke vært der ennå, er det nok å vite at «omtrent 32 % sannsynlighet for et avvik på mer enn X» betyr at X tilsvarer ETT standardavvik.

Strategi og formel: a) $X$ er uniformt fordelt på $\{1,2,\ldots,6\}$ : bruk definisjonen $E(X)=\sum x\cdot P(X=x)$ . b) Standardavviket til SUMMEN av $n$ uavhengige kast er $SD(\text{sum})=\sqrt{n}\cdot SD(X)$ . Ved normaltilnærmingen tilsvarer «ca. 32 % sannsynlighet for at avviket er MER ENN én standardavvik» nettopp $P(|Z|>1)$ for en standardnormalfordelt $Z$ . Bruk dette til å koble $17$ til $SD(\text{sum})$ .

Trinnvis utregning:

a) $E(X)=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{21}{6}=3{,}5$ . b) For en standardnormalfordelt $Z$ er $P(|Z|>1)\approx 2\cdot(1-0{,}8413)=2\cdot 0{,}1587\approx 0{,}317$ , altså omtrent $32\,\%$ – nettopp sannsynligheten oppgaven beskriver, med grensen liggende ETT standardavvik unna forventningsverdien
det betyr at $17$ tilsvarer NØYAKTIG ett standardavvik for summen: $SD(\text{sum})=17$
med $n$ kast: $SD(\text{sum})=\sqrt{n}\cdot SD(X)=\sqrt{n}\cdot 1{,}7$
$\sqrt{n}\cdot 1{,}7=17$
$\sqrt{n}=10$
$n=100$ .

Svar: a) $E(X)=$ $3{,}5$ . b) Hilde må kaste terningen $100$ ganger.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Finner riktig $E(X)=3{,}5$ i a), og kobler i b) riktig $32\,\%$ -sannsynligheten til «ett standardavvik unna forventningsverdien» ( $P(\|Z\|>1)\approx 32\,\%$ ), setter opp $\sqrt{n}\cdot 1{,}7=17$ riktig, og finner $n=100$ .
2/4	Riktig $E(X)$ i a), men klarer ikke å koble $32\,\%$ til «ett standardavvik» i b) (f.eks. prøver å bruke $17$ direkte som standardavviket for ETT kast i stedet for summen).
0/4	Bruker feil formel for $E(X)$ i a) (f.eks. $\frac{6}{2}=3$ uten å faktisk summere øynene), og ingen fungerende strategi i b).

Sensor-tips

Nøkkelinnsikten i b) er at «omtrent 32 % sannsynlighet for et avvik på mer enn X» er en STANDARDFRASE for «ett standardavvik» ved normaltilnærming ( $P(|Z|>1)\approx 31{,}7\,\%$ ). Dette MÅ gjenkjennes, det oppgis ikke eksplisitt i oppgaveteksten. Godta også løsninger som bruker $z\approx 1$ direkte uten å utlede $31{,}7\,\%$ fra tabellverdier, så lenge koblingen til standardavvik er riktig.
En vanlig feil er å bruke $SD(X)=1{,}7$ direkte som standardavviket for SUMMEN, uten å multiplisere med $\sqrt{n}$ . Dette gir feil (og urimelig lite) svar for $n$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S2 matematikk, Vår 2024, Del 1, Oppgave 6