Eksamensoppgaver – Forventningsverdi, varians og fordelinger (S2)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 1 – Oppgave 5

Uten hjelpemidler – 6 poeng

I en kasse ligger det tre typer kuler. Disse veier henholdsvis 4 kg, 5 kg og 10 kg. Dersom vi trekker tilfeldig én kule, er sannsynligheten $\frac{1}{4}$ for at kulen veier 4 kg og $\frac{1}{2}$ for at den veier 5 kg. Vi lar $X$ være vekten til en tilfeldig kule.

a) Vis at $E(X) = 6$ kg. Regn ut variansen til $X$ .

Vi trekker tilfeldig en kule og legger den tilbake igjen. Dette gjør vi to ganger. La $X_1$ være vekten til den første kulen vi trekker, og $X_2$ vekten til den andre kulen vi trekker. La $Y = X_1 + X_2$ .

b) Sett opp sannsynlighetsfordelingen til $Y$ .

c) Bestem $P(Y > 10)$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi først finne sannsynligheten for den TREDJE kuletypen (10 kg, siden de to andre er oppgitt), deretter regne ut forventningsverdi og varians for $X$ . I b) og c) skal vi bygge sannsynlighetsfordelingen for SUMMEN av to uavhengige trekninger av $X$ , og bruke den til å finne en konkret sannsynlighet.

Strategi og formel: a) Sannsynlighetene må summere til $1$ , så $P(X=10)$ finnes ved subtraksjon. Bruk deretter definisjonene $E(X)=\sum x\cdot P(X=x)$ og $\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$ . b) $Y=X_1+X_2$ kan bare ta verdiene $4+4$ , $4+5$ , $4+10$ , $5+5$ , $5+10$ og $10+10$ – finn sannsynligheten for hver kombinasjon (og husk at f.eks. $4+5$ og $5+4$ begge gir $Y=9$ , så sannsynlighetene legges sammen). c) Summer sannsynlighetene for de $Y$ -verdiene som er større enn $10$ .

Trinnvis utregning:

a) $P(X=10)=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
$E(X)=4\cdot\frac{1}{4}+5\cdot\frac{1}{2}+10\cdot\frac{1}{4}=1+2{,}5+2{,}5=6$ kg ✓
$E(X^2)=4^2\cdot\frac{1}{4}+5^2\cdot\frac{1}{2}+10^2\cdot\frac{1}{4}=4+12{,}5+25=41{,}5$
$\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=41{,}5-36=5{,}5$ kg². b) Mulige $Y$ -verdier og sannsynligheter (siden trekningene er uavhengige, ganges sannsynlighetene, og like utfall i ulik rekkefølge legges sammen): $Y=8$ ( $4+4$ ): $\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$ $Y=9$ ( $4+5$ eller $5+4$ ): $2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ $Y=10$ ( $5+5$ ): $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ $Y=14$ ( $4+10$ eller $10+4$ ): $2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$ $Y=15$ ( $5+10$ eller $10+5$ ): $2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ $Y=20$ ( $10+10$ ): $\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$ Kontroll: $\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=1$ . ✓ c) $P(Y>10)=P(Y=14)+P(Y=15)+P(Y=20)=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{2}{16}+\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\frac{7}{16}=0{,}4375$ .

Svar: a) $E(X)=6$ kg (vist), $\mathrm{Var}(X)=$ $5{,}5$ kg². b) $Y\in\{8,9,10,14,15,20\}$ med sannsynligheter $\frac{1}{16},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{16}$ . c) $P(Y>10)=$ $\frac{7}{16}=0{,}4375$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Finner riktig $P(X=10)=\frac{1}{4}$ , viser $E(X)=6$ og regner ut riktig varians $5{,}5$ i a), setter opp en fullstendig og korrekt sannsynlighetsfordeling for $Y$ i b) (alle seks verdier, riktig summerte sannsynligheter), og finner riktig $P(Y>10)=\frac{7}{16}$ i c).
4/6	Riktig i a), men glemmer i b) å legge sammen sannsynlighetene for kombinasjoner som kan skje i to rekkefølger (f.eks. oppgir $P(Y=9)=\frac{1}{8}$ i stedet for $\frac{1}{4}$ ), som gir feil (men konsistent) svar i c).
2/6	Riktig $E(X)=6$ i a), men gjør en feil i variansutregningen (f.eks. bruker $E(X)-\big(E(X)\big)^2$ i stedet for $E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$ ), og har ingen fungerende strategi for b)/c).
0/6	Klarer ikke å finne $P(X=10)$ ved subtraksjon, eller bruker feil formel for $E(X)$ helt fra start.

Sensor-tips

Den vanligste feilen i b) er å GLEMME at $X_1=4,X_2=5$ og $X_1=5,X_2=4$ er TO forskjellige utfall som begge gir $Y=9$ – sjekk at eleven har doblet sannsynligheten for alle usymmetriske kombinasjoner ( $8$ , $9$ , $14$ , $15$ , $20$ … vent, kun $9$ , $14$ og $15$ er usymmetriske; $8$ og $20$ kommer bare fra én kombinasjon hver).
Kontrollsummen $\sum P(Y=y)=1$ er en rask og pålitelig sjekk av om b) er riktig satt opp – bruk den til å avgjøre delvis uttelling.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S2 matematikk, Høst 2023, Del 1, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 1 – Oppgave 6

Uten hjelpemidler – 4 poeng

Hilde kaster en terning med seks sider. La $X$ være antall øyne hun får på terningen.

a) Bestem forventningsverdien $E(X)$ .

Hilde regner ut at standardavviket $SD(X)=1{,}7$ . Hun vil kaste terningen flere ganger og summere antall øyne fra hvert kast.

b) Hvor mange ganger må Hilde kaste terningen før det er omtrent 32 % sannsynlighet for at summen av antall øyne er mer enn 17 unna forventningsverdien for summen?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi finne forventningsverdien til ETT terningkast. I b) skal vi bruke standardavviket til å finne hvor mange kast som trengs for at et gitt AVVIK fra forventningsverdien (for SUMMEN av mange kast) skal svare til en bestemt sannsynlighet – dette bruker normaltilnærmingen for en sum av mange uavhengige stokastiske variabler.

Strategi og formel: a) $X$ er uniformt fordelt på $\{1,2,\ldots,6\}$ – bruk definisjonen $E(X)=\sum x\cdot P(X=x)$ . b) Standardavviket til SUMMEN av $n$ uavhengige kast er $SD(\text{sum})=\sqrt{n}\cdot SD(X)$ . Ved normaltilnærmingen tilsvarer «ca. 32 % sannsynlighet for at avviket er MER ENN én standardavvik» nettopp $P(|Z|>1)$ for en standardnormalfordelt $Z$ . Bruk dette til å koble $17$ til $SD(\text{sum})$ .

Trinnvis utregning:

a) $E(X)=\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=\dfrac{21}{6}=3{,}5$ . b) For en standardnormalfordelt $Z$ er $P(|Z|>1)\approx 2\cdot(1-0{,}8413)=2\cdot 0{,}1587\approx 0{,}317$ , altså omtrent $32\,\%$ – nettopp sannsynligheten oppgaven beskriver, med grensen liggende ETT standardavvik unna forventningsverdien
det betyr at $17$ tilsvarer NØYAKTIG ett standardavvik for summen: $SD(\text{sum})=17$
med $n$ kast: $SD(\text{sum})=\sqrt{n}\cdot SD(X)=\sqrt{n}\cdot 1{,}7$
$\sqrt{n}\cdot 1{,}7=17$
$\sqrt{n}=10$
$n=100$ .

Svar: a) $E(X)=$ $3{,}5$ . b) Hilde må kaste terningen $100$ ganger.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Finner riktig $E(X)=3{,}5$ i a), og kobler i b) riktig $32\,\%$ -sannsynligheten til «ett standardavvik unna forventningsverdien» ( $P(\|Z\|>1)\approx 32\,\%$ ), setter opp $\sqrt{n}\cdot 1{,}7=17$ riktig, og finner $n=100$ .
2/4	Riktig $E(X)$ i a), men klarer ikke å koble $32\,\%$ til «ett standardavvik» i b) (f.eks. prøver å bruke $17$ direkte som standardavviket for ETT kast i stedet for summen).
0/4	Bruker feil formel for $E(X)$ i a) (f.eks. $\frac{6}{2}=3$ uten å faktisk summere øynene), og ingen fungerende strategi i b).

Sensor-tips

Nøkkelinnsikten i b) er at «omtrent 32 % sannsynlighet for et avvik på mer enn X» er en STANDARDFRASE for «ett standardavvik» ved normaltilnærming ( $P(|Z|>1)\approx 31{,}7\,\%$ ) – dette MÅ gjenkjennes, det oppgis ikke eksplisitt i oppgaveteksten. Godta også løsninger som bruker $z\approx 1$ direkte uten å utlede $31{,}7\,\%$ fra tabellverdier, så lenge koblingen til standardavvik er riktig.
En vanlig feil er å bruke $SD(X)=1{,}7$ direkte som standardavviket for SUMMEN, uten å multiplisere med $\sqrt{n}$ – dette gir feil (og urimelig lite) svar for $n$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen S2 matematikk, Vår 2024, Del 1, Oppgave 6