NumiSum

Tolke spredning i praksis

To stokastiske variabler kan ha PRESIS SAMME forventningsverdi, og likevel oppføre seg helt ulikt i praksis: en med LAV varians holder seg nær forventningsverdien, en med HØY varians svinger mye. I finans kalles dette gjerne RISIKO: en investering med høy standardavvik er mer USIKKER, selv om den forventede avkastningen er den samme som en tryggere investering.

Sammenligne spredning

samme E(X), ulik σ⇒ulik risiko\text{samme } E(X), \text{ ulik } \sigma \Rightarrow \text{ulik risiko}

Samme forventning, ulik risiko
InvesteringE(X)σ
A (risikabel)400 kr600 kr
B (trygg)400 kr100 kr

Tips

  • Sammenlign ALDRI to stokastiske variabler kun på forventningsverdien: to svært ulike situasjoner kan ha samme E(X)E(X), mens standardavviket avslører den reelle forskjellen.
  • Et HØYT standardavvik betyr ikke automatisk at noe er «dårlig». Det betyr USIKKERHET. Om det er ønskelig eller ikke avhenger av situasjonen (høy risiko kan også bety høyt mulig gevinstpotensial).

Eksempel: Sammenligne to investeringer med samme forventning

Investering A gir 1 0001\ 000 kr med sannsynlighet 0,50{,}5 og −200-200 kr med sannsynlighet 0,50{,}5. Investering B gir 500500 kr med sannsynlighet 0,50{,}5 og 300300 kr med sannsynlighet 0,50{,}5. Sammenlign forventningsverdi og standardavvik for de to.

Løsning:
  1. For investering A: E(XA)=1 000⋅0,5+(−200)⋅0,5=500−100=400E(X_A) = 1\ 000 \cdot 0{,}5 + (-200) \cdot 0{,}5 = 500 - 100 = 400 kr
  2. E(XA2)=1 0002⋅0,5+2002⋅0,5=500 000+20 000=520 000E(X_A^2) = 1\ 000^2 \cdot 0{,}5 + 200^2 \cdot 0{,}5 = 500\ 000 + 20\ 000 = 520\ 000
  3. Var(XA)=520 000−4002=520 000−160 000=360 000\text{Var}(X_A) = 520\ 000 - 400^2 = 520\ 000 - 160\ 000 = 360\ 000, så σA=360 000=600\sigma_A = \sqrt{360\ 000} = 600 kr
  4. for investering B: E(XB)=500⋅0,5+300⋅0,5=400E(X_B) = 500 \cdot 0{,}5 + 300 \cdot 0{,}5 = 400 kr (SAMME forventning)
  5. Var(XB)=10 000\text{Var}(X_B) = 10\ 000, så σB=100\sigma_B = 100 kr. Begge investeringene har samme forventningsverdi (400400 kr), men A har langt høyere standardavvik (600600 kr mot 100100 kr): A er den mer risikable investeringen.
Samme forventning, svært ulik risiko
InvesteringE(X)σ
A400 kr600 kr
B400 kr100 kr
Alternativ forklaring/metode: Sammenlign de mulige utfallenes spennvidde

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Se på ytterpunktene i stedet for standardavviket

En raskere (men grovere) sammenligning: se på AVSTANDEN mellom de mulige utfallene. Investering A spenner fra −200-200 til 1 0001\ 000 kr (et spenn på 1 2001\ 200 kr), mens B spenner fra 300300 til 500500 kr (et spenn på bare 200200 kr). Denne spennvidde-sammenligningen peker i samme retning som standardavviket (A er mer variabel), men tar ikke hensyn til SANNSYNLIGHETENE for hvert utfall slik standardavviket gjør, og er derfor en mindre presis metode.

Spennvidde – en grovere sammenligning
InvesteringLaveste utfallHøyeste utfallSpenn
A−200 kr1 000 kr1 200 kr
B300 kr500 kr200 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva kan to stokastiske variabler ha til felles, selv om de oppfører seg svært ulikt i praksis?

Vis fasit
  1. Forventningsverdi alene skjuler forskjeller i spredning
  2. de kan ha samme E(X), men ulik varians

L-22Hva kalles usikkerheten/spredningen til en investering ofte i finans?

Vis fasit
  1. Spredning i mulig avkastning kalles i finans
  2. risiko

L-23Investering A har σ=600\sigma = 600 kr, investering B har σ=100\sigma = 100 kr. Hvilken er mest risikabel?

Vis fasit
  1. 600 kr mot 100 kr i standardavvik
  2. høyere standardavvik betyr mer spredning
  3. A er mest risikabel
Middels(3)

M-21To investeringer har samme E(X)=400E(X) = 400 kr. Er det nok informasjon til å si at de er like gode?

Vis fasit
  1. Begge har E(X) = 400 kr
  2. samme E(X) sier ingenting om spredningen
  3. nei, sjekk også standardavviket

M-22Investering C gir 200200 kr med sannsynlighet 0,50{,}5 og 600600 kr med sannsynlighet 0,50{,}5. Finn E(XC)E(X_C). Svar i kroner.

Vis fasit
  1. E(X_C) = 200⋅0,5+600⋅0,5200 \cdot 0{,}5 + 600 \cdot 0{,}5
  2. = 100+300 = 400 kr

M-23Investering C gir 200200 kr med sannsynlighet 0,50{,}5 og 600600 kr med sannsynlighet 0,50{,}5, og E(XC)=400E(X_C)=400 kr. Finn E(XC2)E(X_C^2) og variansen.

Vis fasit
  1. Kvadrerer hver verdi (opphøyd i 2)
  2. E(X²) = 200² gange 0,5 + 600² gange 0,5 = 20 000+180 000 = 200 000
  3. Var(X) = 200 000 - 400² = 40 000
Vanskelig(3)

V-21Finn standardavviket for investering C, og ranger A (σ=600\sigma=600), B (σ=100\sigma=100) og C fra minst til mest risikabel.

Vis fasit
  1. A har σ=600, B har σ=100
  2. σ_C = 40 000\sqrt{40\,000} = 200 kr
  3. B er tryggest, deretter C, A er mest risikabel

V-22Hvorfor er det MISVISENDE å si at en investering med høyere standardavvik alltid er «dårligere» enn en med lavere?

Vis fasit
  1. Standardavvik måler USIKKERHET, ikke kvalitet i seg selv
  2. høyere risiko kan være et bevisst, akseptabelt valg avhengig av situasjonen

V-23Forklar hvorfor spennvidde-metoden (se alternativ metode) kan gi et MISVISENDE bilde sammenlignet med standardavviket, hvis ett utfall har svært lav sannsynlighet.

Vis fasit
  1. Et sjeldent, ekstremt utfall påvirker spennvidden fullt ut, men standardavviket kun i forhold til sannsynligheten
  2. standardavvik gir et mer representativt bilde av typisk spredning