Tolke spredning i praksis

To stokastiske variabler kan ha PRESIS SAMME forventningsverdi, og likevel oppføre seg helt ulikt i praksis – en med LAV varians holder seg nær forventningsverdien, en med HØY varians svinger mye. I finans kalles dette gjerne RISIKO: en investering med høy standardavvik er mer USIKKER, selv om den forventede avkastningen er den samme som en tryggere investering.

Sammenligne spredning

$\text{samme } E(X), \text{ ulik } \sigma \Rightarrow \text{ulik risiko}$

Samme forventning, ulik risiko
Investering	E(X)	σ
A (risikabel)	400 kr	600 kr
B (trygg)	400 kr	100 kr

Tips

Sammenlign ALDRI to stokastiske variabler kun på forventningsverdien – to svært ulike situasjoner kan ha samme $E(X)$ , mens standardavviket avslører den reelle forskjellen.
Et HØYT standardavvik betyr ikke automatisk at noe er «dårlig» – det betyr USIKKERHET. Om det er ønskelig eller ikke avhenger av situasjonen (høy risiko kan også bety høyt mulig gevinstpotensial).

Eksempel: Sammenligne to investeringer med samme forventning

Investering A gir $1\ 000$ kr med sannsynlighet $0,5$ og $-200$ kr med sannsynlighet $0,5$ . Investering B gir $500$ kr med sannsynlighet $0,5$ og $300$ kr med sannsynlighet $0,5$ . Sammenlign forventningsverdi og standardavvik for de to.

Samme forventning, svært ulik risiko
Investering	E(X)	σ
A	400 kr	600 kr
B	400 kr	100 kr

Løsning:

For investering A: $E(X_A) = 1\ 000 \cdot 0,5 + (-200) \cdot 0,5 = 500 - 100 = 400$ kr
$E(X_A^2) = 1\ 000^2 \cdot 0,5 + 200^2 \cdot 0,5 = 500\ 000 + 20\ 000 = 520\ 000$
$\text{Var}(X_A) = 520\ 000 - 400^2 = 520\ 000 - 160\ 000 = 360\ 000$ , så $\sigma_A = \sqrt{360\ 000} = 600$ kr
for investering B: $E(X_B) = 500 \cdot 0,5 + 300 \cdot 0,5 = 400$ kr (SAMME forventning)
$\text{Var}(X_B) = 10\ 000$ , så $\sigma_B = 100$ kr. Begge investeringene har samme forventningsverdi ( $400$ kr), men A har langt høyere standardavvik ( $600$ kr mot $100$ kr) – A er den mer risikable investeringen.

Alternativ forklaring/metode: Sammenlign de mulige utfallenes spennvidde

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Se på ytterpunktene i stedet for standardavviket

En raskere (men grovere) sammenligning: se på AVSTANDEN mellom de mulige utfallene. Investering A spenner fra $-200$ til $1\ 000$ kr (et spenn på $1\ 200$ kr), mens B spenner fra $300$ til $500$ kr (et spenn på bare $200$ kr). Denne spennvidde-sammenligningen peker i samme retning som standardavviket (A er mer variabel), men tar ikke hensyn til SANNSYNLIGHETENE for hvert utfall slik standardavviket gjør, og er derfor en mindre presis metode.

Spennvidde – en grovere sammenligning
Investering	Laveste utfall	Høyeste utfall	Spenn
A	−200 kr	1 000 kr	1 200 kr
B	300 kr	500 kr	200 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva kan to stokastiske variabler ha til felles, selv om de oppfører seg svært ulikt i praksis?

Vis fasit

Steg
Forventningsverdi alene skjuler forskjeller i spredning
de kan ha samme E(X), men ulik varians

Forventningsverdi alene skjuler forskjeller i spredning
de kan ha samme E(X), men ulik varians

L-22Hva kalles usikkerheten/spredningen til en investering ofte i finans?

Vis fasit

Steg
Spredning i mulig avkastning kalles i finans
risiko

Spredning i mulig avkastning kalles i finans
risiko

L-23Investering A har

\sigma = 600

kr, investering B har

\sigma = 100

kr. Hvilken er mest risikabel?

Vis fasit

Steg
600 kr mot 100 kr i standardavvik
høyere standardavvik betyr mer spredning
A er mest risikabel

600 kr mot 100 kr i standardavvik
høyere standardavvik betyr mer spredning
A er mest risikabel

Middels(3)

M-21To investeringer har samme

E(X) = 400

kr. Er det nok informasjon til å si at de er like gode?

Vis fasit

Steg	Resultat
Begge har E(X)	400 kr
samme E(X) sier ingenting om spredningen
nei, sjekk også standardavviket

Begge har E(X) = 400 kr
samme E(X) sier ingenting om spredningen
nei, sjekk også standardavviket

M-22Investering C gir

200

kr med sannsynlighet

0,5

600

kr med sannsynlighet

0,5

. Finn

E(X_C)

Vis fasit

Steg	Resultat
E(X_C)	200 gange 0,5 + 600 gange 0,5
= 100+300	400 kr

E(X_C) = 200 gange 0,5 + 600 gange 0,5
= 100+300 = 400 kr

M-23Finn

E(X_C^2)

og variansen for investering C i forrige oppgave.

Vis fasit

Steg	Resultat
Kvadrerer hver verdi (opphøyd i 2)
E(X²) = 200² gange 0,5 + 600² gange 0,5 = 20 000+180 000	200 000
==Var(X) = 200 000 - 400²	40 000==

Kvadrerer hver verdi (opphøyd i 2)
E(X²) = 200² gange 0,5 + 600² gange 0,5 = 20 000+180 000 = 200 000
Var(X) = 200 000 - 400² = 40 000

Vanskelig(3)

V-21Finn standardavviket for investering C, og ranger A (

\sigma=600

), B (

\sigma=100

) og C fra minst til mest risikabel.

Vis fasit

Steg	Resultat
A har σ=600, B har σ=100
σ_C = kvadratroten av 40 000	200 kr
B er tryggest, deretter C, A er mest risikabel

A har σ=600, B har σ=100
σ_C = kvadratroten av 40 000 = 200 kr
B er tryggest, deretter C, A er mest risikabel

V-22Hvorfor er det MISVISENDE å si at en investering med høyere standardavvik alltid er «dårligere» enn en med lavere?

Vis fasit

Steg
Standardavvik måler USIKKERHET, ikke kvalitet i seg selv
høyere risiko kan være et bevisst, akseptabelt valg avhengig av situasjonen

Standardavvik måler USIKKERHET, ikke kvalitet i seg selv
høyere risiko kan være et bevisst, akseptabelt valg avhengig av situasjonen

V-23Forklar hvorfor spennvidde-metoden (se alternativ metode) kan gi et MISVISENDE bilde sammenlignet med standardavviket, hvis ett utfall har svært lav sannsynlighet.

Vis fasit

Steg
Et sjeldent, ekstremt utfall påvirker spennvidden fullt ut, men standardavviket kun i forhold til sannsynligheten
standardavvik gir et mer representativt bilde av typisk spredning

Et sjeldent, ekstremt utfall påvirker spennvidden fullt ut, men standardavviket kun i forhold til sannsynligheten
standardavvik gir et mer representativt bilde av typisk spredning