Simulere og tolke statistiske fordelinger

For en BINOMISK fordeling (kjent fra S1) finnes det en direkte formel for variansen: $\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$ – du slipper å regne $E(X^2)$ separat. Digitale verktøy kan i tillegg SIMULERE en fordeling mange ganger (som å «kaste en mynt» tusenvis av ganger digitalt), og den simulerte variansen/ standardavviket vil nærme seg de teoretiske verdiene jo flere simuleringer som kjøres.

Varians for binomisk fordeling

$\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1-p)$

Standardavvik for binomisk fordeling

$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

Variansformel for binomisk fordeling
Størrelse	Formel
Forventningsverdi	E(X) = n·p
Varians	Var(X) = n·p·(1−p)

Tips

Bruk ALLTID binomisk-formelen direkte for varians når situasjonen faktisk er binomisk (uavhengige forsøk, konstant $p$ ) – den er raskere enn å regne $E(X^2)$ fra bunnen av.
En SIMULERING gir aldri EKSAKT samme svar som den teoretiske formelen, men jo FLERE simuleringer, jo nærmere kommer den – dette kalles store talls lov.

Eksempel: Varians for en binomisk fordeling

En elev gjetter tilfeldig på $10$ flervalgsoppgaver, hver med $20\ \%$ sjanse for riktig svar. Finn variansen og standardavviket for antall riktige svar.

Fra n og p til varians/standardavvik
Størrelse	Verdi
n	10
p	0,2
Var(X) = n·p·(1−p)	1,6
σ = $\sqrt{Var(X)}$	≈1,26

Løsning:

Dette er en binomisk situasjon med $n = 10$ og $p = 0,2$
bruk variansformelen direkte: $\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1-p) = 10 \cdot 0,2 \cdot 0,8$
regn ut: $10 \cdot 0,2 = 2$ , og $2 \cdot 0,8 = 1,6$
standardavviket er $\sigma = \sqrt{1,6} \approx 1,26$ . Variansen er $1,6$ , og standardavviket er ca. $1,26$ riktige svar.

Alternativ forklaring/metode: Anslå variansen ved digital simulering

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Simulere med en tilfeldig tallgenerator

I stedet for formelen, kan du SIMULERE eleven som gjetter på $10$ oppgaver mange ganger (for eksempel $10\ 000$ simulerte «elever» digitalt), telle antall riktige svar hver gang, og regne ut variansen til DISSE simulerte resultatene. Med nok simuleringer vil den simulerte variansen nærme seg $1,6$ – den teoretiske verdien. Simulering er spesielt nyttig når situasjonen er for komplisert til å ha en enkel formel, som for mange sammensatte eller avhengige stokastiske hendelser.

Formel vs. simulering
Metode	Fremgangsmåte	Resultat
Formel	Var(X) = n·p·(1−p)	1,6 (eksakt)
Simulering	10 000 simulerte forsøk, regn varians av utfallene	≈1,6 (tilnærmet)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er variansformelen for en binomisk fordeling?

Vis fasit

Steg	Resultat
Binomisk varians har en direkte formel
==Var(X)	n · p · (1−p)==

Binomisk varians har en direkte formel
Var(X) = n · p · (1−p)

L-32En mynt kastes

5

ganger (

n=5

p=0,5

). Finn variansen for antall kron.

Vis fasit

Steg	Resultat
Var(X) = 5 gange 0,5 gange 0,5	1,25

Var(X) = 5 gange 0,5 gange 0,5 = 1,25

L-33Hva skjer med den simulerte variansen når du øker antall simuleringer?

Vis fasit

Steg
Flere simuleringer gir et mer nøyaktig anslag
nærmer seg det teoretiske svaret

Flere simuleringer gir et mer nøyaktig anslag
nærmer seg det teoretiske svaret

Middels(3)

M-31En mynt kastes

8

ganger. Finn variansen og standardavviket for antall kron.

Vis fasit

Steg	Resultat
Var(X) = 8 gange 0,5 gange 0,5	2
==σ	kvadratroten av 2 ≈ 1,41==

Var(X) = 8 gange 0,5 gange 0,5 = 2
σ = kvadratroten av 2 ≈ 1,41

M-32En prøve har

10

oppgaver, hver med

20\ \%

gjettesjanse. Finn standardavviket for antall riktige, avrundet til to desimaler.

Vis fasit

Steg	Resultat
Var(X) = 10 gange 0,2 gange 0,8	1,6
==σ	kvadratroten av 1,6 ≈ 1,26==

Var(X) = 10 gange 0,2 gange 0,8 = 1,6
σ = kvadratroten av 1,6 ≈ 1,26

M-33Hvorfor gir binomisk-formelen for varians samme svar som å regne

E(X^2) - (E(X))^2

fra bunnen av, men raskere?

Vis fasit

Steg
Begge bruker E(X^2) - (E(X))^2 som opphav, opphøyd i 2
binomisk-formelen er MATEMATISK UTLEDET fra den generelle definisjonen
gir samme svar, men uten å måtte regne E(X²) separat

Begge bruker E(X^2) - (E(X))^2 som opphav, opphøyd i 2
binomisk-formelen er MATEMATISK UTLEDET fra den generelle definisjonen
gir samme svar, men uten å måtte regne E(X²) separat

Vanskelig(3)

V-31En kvalitetskontroll tester

20

enheter, med

5\ \%

sjanse for at hver enhet er defekt. Finn variansen for antall defekte enheter.

Vis fasit

Steg	Resultat
Var(X) = 20 gange 0,05 gange 0,95	0,95

Var(X) = 20 gange 0,05 gange 0,95 = 0,95

V-32Finn standardavviket for kvalitetskontrollen i forrige oppgave, avrundet til to desimaler.

Vis fasit

Steg	Resultat
σ	kvadratroten av 0,95 ≈ 0,97

σ = kvadratroten av 0,95 ≈ 0,97

V-33Forklar hvorfor en simulering med KUN

10

gjentakelser ofte gir et upålitelig anslag på variansen, mens

10\ 000

gjentakelser gir et mye bedre anslag.

Vis fasit

Steg
Med kun 10 gjentakelser gir tilfeldig variasjon et upresist anslag
mange (10 000) gjentakelser gir et mer stabilt og pålitelig anslag, jf. store talls lov

Med kun 10 gjentakelser gir tilfeldig variasjon et upresist anslag
mange (10 000) gjentakelser gir et mer stabilt og pålitelig anslag, jf. store talls lov