Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 1 – Oppgave 7

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Alex har lagd programmet nedenfor.

Programmet (som tekst):

c =    # skriv inn lengden av trekantens lengste side
a =    # skriv inn lengden av en av de andre sidene i trekanten
b =    # skriv inn lengden av den siste siden i trekanten

if c**2 == a**2 + b**2:      # pytagoras' læresetning c^2=a^2+b^2
    print("Trekanten er rettvinklet")
else:
    print("Trekanten er ikke rettvinklet")

a) Forklar hva som skjer når Alex kjører programmet.

b) Alex skal finne ut om en trekant med sidekantene 5 cm, 6 cm og 8 cm er rettvinklet. Hvilket svar vil Alex få fra programmet?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Hva programmet gjør når det kjøres (a), og hvilket svar det gir for en trekant med sidene 5 cm, 6 cm og 8 cm (b).

Strategi og formel: Vi leser koden linje for linje: programmet leser inn tre sidelengder, tester Pytagoras' setning på dem, og skriver ut om trekanten er rettvinklet. For b) settes den lengste siden inn som $c$ og de to andre som $a$ og $b$ , og vi sjekker om testen i koden stemmer.

Trinnvis utregning:

a) Programmet leser inn tre sidelengder ( $c$ = den lengste, $a$ og $b$ = de to andre)
sjekker om $c^2 = a^2+b^2$ (Pytagoras' setning)
skriver ut «Trekanten er rettvinklet» hvis testen stemmer, ellers «Trekanten er ikke rettvinklet»
b) med $c=8$ (lengste side), $a=5$ , $b=6$ : $c^2 = 8^2 = 64$
$a^2+b^2 = 5^2+6^2 = 25+36 = 61$
$64 \neq 61$

Svar: a) Programmet sjekker om en trekant er rettvinklet ved å teste Pytagoras' setning på sidelengdene. b) Siden $64 \neq 61$ er svaret «Trekanten er ikke rettvinklet»

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Forklarer at programmet tester Pytagoras' setning (a) OG regner riktig ut at $64 \neq 61$ , slik at svaret blir «Trekanten er ikke rettvinklet» (b).
1/2	Får riktig svar på ett av delspørsmålene, f.eks. riktig forklaring i a) uten riktig utregning i b), eller riktig sluttsvar i b) uten en presis forklaring av hva koden gjør i a).
0/2	Feil forklaring av hva koden gjør, eller feil svar i b) (f.eks. ved å bytte om hvilken side som er $c$ , eller ved regnefeil i $8^2$ , $5^2$ eller $6^2$ ).

Sensor-tips

Sjekk at eleven identifiserer $c$ riktig som DEN LENGSTE siden (8 cm): koden krever at brukeren selv taster inn hvilken side som er lengst, programmet sjekker ikke dette automatisk.
En vanlig feil er å regne $5^2+6^2+8^2$ under ett, eller å sette $c=6$ (feil side som lengst): sjekk at eleven bruker riktig tilordning før testen vurderes.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2025, Del 1, Oppgave 7

Utdanningsdirektoratet

Vår 2026, Del 1 – Oppgave 8

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Zara skal spare penger i banken. Hun har laget programmet nedenfor for å utforske sparingen.

Program i tekst:

sparebeløp = 6000
vekstfaktor = 1.10
år = 0

while år < 5:
    sparebeløp = sparebeløp * vekstfaktor
    år = år + 1
    print(sparebeløp)

Program i blokk:

sparebeløp = 6000
vekstfaktor = 1.10
år = 0

så lenge år < 5:
    sparebeløp = sparebeløp * vekstfaktor
    år = år + 1
    skriv ut (sparebeløp)

a) Forklar hva programmet regner ut.
b) Zara sparer 6 000 kroner med en vekstfaktor på 1,10 per år. Hvor mange kroner har hun etter to år?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forklare hva sparingsprogrammet regner ut, og finne hvor mye 6 000 kroner har vokst til etter to år med vekstfaktor 1,10.

Strategi og formel: Vi følger programmet linje for linje. Variabelen sparebeløp ganges med vekstfaktoren i hver runde av løkken, og år teller rundene. I b) bruker vi det samme som programmet gjør, men stopper etter to runder.

Trinnvis utregning:

Startverdier: sparebeløp = $6\ 000$ , vekstfaktor = $1{,}10$ og år = $0$
løkken kjører så lenge år < 5, altså fem ganger
i hver runde ganges beløpet med $1{,}10$ (en økning på $10\ \%$ ), år øker med $1$ , og beløpet skrives ut
utskriften er beløpet etter 1, 2, 3, 4 og 5 år: $6\ 600$ , $7\ 260$ , $7\ 986$ , $8\ 784{,}60$ og $9\ 663{,}06$ kroner (Python skriver ut små avvik som 6600.000000000001, fordi datamaskinen regner med avrundede desimaltall)
b) etter to år: $6\ 000 \cdot 1{,}10 \cdot 1{,}10 = 6\ 000 \cdot 1{,}21 = 7\ 260$

Svar: a) Programmet regner ut hvor mange kroner Zara har på kontoen etter hvert av de fem første årene, når 6 000 kroner vokser med $10\ \%$ per år. Siste utskrift er beløpet etter fem år, ca. $9\ 663$ kroner. b) Etter to år har Zara $7\ 260$ kroner.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	a) Forklarer at programmet viser hvor mye som står på kontoen etter hvert år (til sammen fem år) når beløpet vokser med vekstfaktoren 1,10, og b) regner riktig ut at 6 000 kroner blir 7 260 kroner etter to år, med utregning.
1/2	Én av delene riktig, eller riktig svar i b) uten utregning.
0/2	Ingen av delene riktig.

Sensor-tips

Vekstfaktoren 1,10 betyr 10 % økning per år. Eleven som regner 6 000 + 1,10 + 1,10 har ikke forstått at beløpet ganges for hvert år.
Forklaringen i a) må få med at beløpet gjelder konto etter flere år, ikke bare at programmet «regner ut sparing». Sensor: «Programmet gir beløp på konto etter fem år.»

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2026, Del 1, Oppgave 8

Utdanningsdirektoratet

Vår 2022, Del 2 – Oppgave 8

Med hjelpemidler

Bildet viser et dataprogram.

a) Forklar hva som skjer når programmet blir kjørt.
b) Tegn figuren og sett riktige mål på figuren din.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forklare hva programmet gjør steg for steg, og tegne figuren det lager med riktige mål.

Strategi og formel: Programmet gjentar to instruksjoner like mange ganger som verdien av $b$ : tegn et linjestykke med lengde $a$ , og snu $360 : b$ grader til høyre. Vi setter inn $a = 4$ og $b = 5$ og følger instruksjonene.

Trinnvis utregning:

$a = 4$ og $b = 5$
programmet gjentar $b = 5$ ganger
i hver runde tegnes et linjestykke med lengde $a = 4$
deretter snur det $360 : b = 360 : 5 = 72^\circ$ til høyre
etter fem runder har det snudd $5 \cdot 72^\circ = 360^\circ$ og er tilbake der det startet
figuren er lukket og har fem like lange sider
en regulær femkant
utvendig vinkel $72^\circ$ gir innvendig vinkel $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$
omkretsen er $5 \cdot 4 = 20$

Svar: a) Programmet tegner et linjestykke med lengde 4, snur $72^\circ$ til høyre, og gjentar dette fem ganger, slik at figuren lukkes. b) Figuren er en regulær femkant med alle sider lik 4 og alle vinkler lik $108^\circ$ .

Vurdering

Poeng	Krav
Fullt svar	Forklarer at linjestykke og snuing gjentas fem ganger, at hver snuing er $72^\circ$ , og tegner en regulær femkant med sidelengde 4 (innvendige vinkler $108^\circ$ ).
Delvis svar	Forklarer hva programmet gjør, men tegner figuren feil eller uten mål, eller omvendt.
Lite eller ingen	Verken en forklaring av programmet eller en riktig figur.

Sensor-tips

Udir har ikke oppgitt poeng for denne oppgaven, så vurderingen over er Numisums egen.
Den vanligste feilen er å tegne den utvendige vinkelen $72^\circ$ som innvendig vinkel i figuren. Snuvinkelen i programmet er IKKE vinkelen inne i femkanten.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2022, Del 2, Oppgave 8

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2022, Del 2 – Oppgave 5

Bildet viser en algoritme som kan programmeres.

Forklar hva algoritmen undersøker.

Gi eksempler på tallverdier for a, b og c som gir Output_1

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forklare hva flytskjemaet undersøker, og finne tre sett med tall $a$ , $b$ og $c$ som gir Output_1.

Strategi og formel: Vi følger flytskjemaet fra Start. Brukeren skriver inn tre sidelengder, og algoritmen sjekker betingelsen $a^2 + b^2 = c^2$ . Er den sann, går algoritmen til Output_1 (veien «Ja»). Dette er Pytagoras-setningen: betingelsen er oppfylt nøyaktig når trekanten er rettvinklet med $c$ som hypotenus.

Trinnvis utregning:

$c$ er den lengste siden og $a$ og $b$ er de to andre
algoritmen undersøker om $a^2 + b^2 = c^2$
for å få Output_1 må betingelsen stemme
prøver $a = 3$ , $b = 4$ og $c = 5$ : $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ , så det stemmer
prøver $a = 5$ , $b = 12$ og $c = 13$ : $25 + 144 = 169 = 13^2$ , så det stemmer
prøver $a = 6$ , $b = 8$ og $c = 10$ : $36 + 64 = 100 = 10^2$ , så det stemmer

Svar: Algoritmen undersøker om en trekant med sidene $a$ , $b$ og $c$ er rettvinklet, altså om $a^2 + b^2 = c^2$ (med $c$ som lengste side). Output_1 får vi for eksempel når ( $a$ , $b$ , $c$ ) er ( $3$ , $4$ , $5$ ), ( $5$ , $12$ , $13$ ) eller ( $6$ , $8$ , $10$ ).

Vurdering

Poeng	Krav
Fullt svar	Forklarer at algoritmen sjekker om trekanten er rettvinklet (Pytagoras-setningen), og gir minst ett riktig tallsett som oppfyller $a^2 + b^2 = c^2$ .
Delvis svar	Gir riktige tall uten forklaring, eller forklarer at algoritmen sjekker en sammenheng mellom sidene uten å nevne rettvinklet trekant.
Lite eller ingen	Tallsett som ikke oppfyller betingelsen, og ingen forklaring.

Sensor-tips

Udir har ikke oppgitt poeng for eksempeloppgaven, så vurderingen over er Numisums egen. Oppgaven kalles «Oppgave 5» i Udirs eksempeloppgavesett til MAT01-05 fra 14. januar 2022.
Elever som setter $c$ til en av de korte sidene får aldri «Ja»: $c$ må være den lengste siden. Algoritmen ber nettopp om «den lengste siden» som første innlesing.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2022, Del 2, Oppgave 5

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2021, Del 2 – Oppgave 7

Bildet viser en algoritme som kan programmeres.

Kommuniser hva algoritmen undersøker.

Gi eksempler på output når h, k1 og k2 får forskjellige verdier.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal beskrive hva algoritmen undersøker og vise hvilken output vi får for ulike verdier av $h$ , $k_1$ og $k_2$ .

Strategi og formel: Algoritmen leser inn tre sidelengder og sjekker om $k_1^2 + k_2^2 = h^2$ . Er det sant (Ja), blir output «a», ellers (Nei) blir output «b». Vi velger verdier som gir begge utfall.

Trinnvis utregning:

$h$ er den lengste siden, $k_1$ og $k_2$ er de to andre
algoritmen undersøker om $k_1^2 + k_2^2 = h^2$ , altså om trekanten er rettvinklet
eksempel som gir Output a: $h = 5$ , $k_1 = 3$ og $k_2 = 4$ , fordi $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
eksempel som gir Output b: $h = 6$ , $k_1 = 4$ og $k_2 = 5$ , fordi $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$ , og $41 \neq 36 = 6^2$

Svar: Algoritmen undersøker om en trekant med sidene $h$ , $k_1$ og $k_2$ er rettvinklet (Pytagoras-setningen med $h$ som lengste side). Med $h = 5$ , $k_1 = 3$ og $k_2 = 4$ blir output a (trekanten er rettvinklet), og med $h = 6$ , $k_1 = 4$ og $k_2 = 5$ blir output b (trekanten er ikke rettvinklet).

Vurdering

Poeng	Krav
Fullt svar	Beskriver at algoritmen tester om trekanten er rettvinklet ( $k_1^2 + k_2^2 = h^2$ ), og gir eksempler som viser både output a og output b.
Delvis svar	Beskriver testen, men gir bare eksempler på ett av utfallene, eller gir eksempler uten å si hva algoritmen undersøker.
Lite eller ingen	Beskriver ikke hva algoritmen undersøker.

Sensor-tips

Udir har ikke oppgitt poeng for eksempeloppgaven, så vurderingen over er Numisums egen. Oppgaven er «Oppgave 7» (oppgavetype 2) i Udirs eksempeloppgaver til eksamen på ungdomstrinnet, vår 2021, og er nesten identisk med en eksempeloppgave fra 2022 i samme tema.
Husk at «Output b» også er et riktig og ønsket utfall for en trekant som ikke er rettvinklet. Gode svar viser begge veiene ut av flytskjemaet.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2021, Del 2, Oppgave 7