Sjekke en matematisk sammenheng med kode

Kode kan sjekke om en matematisk PÅSTAND stemmer for MANGE tilfeller raskt. Dette gir sterkere støtte for at påstanden er sann (selv om det ikke er et fullstendig bevis for ALLE tall, bare for dem som faktisk er testet).

Tips

Test påstanden på flere ulike typer tall (små, store, partall, oddetall): en påstand som stemmer for tallene 1-5 kan likevel svikte for et større eller spesielt tall.
Husk at kode som stemmer for MANGE testede tilfeller ikke er det samme som et matematisk BEVIS for at det stemmer for absolutt alle tall.

Eksempel: Sjekke om summen av oddetall gir kvadrattall

Skriv pseudokode som sjekker om summen av de $n$ første oddetallene er lik $n^2$ , for $n$ fra 1 til 5.

Løsning:

Pseudokoden er: «FOR HVERT $n$ fra 1 til 5: regn ut summen av de $n$ første oddetallene, sjekk om summen er lik $n^2$ .»
vi sporer den: $n=1$ : sum 1, $1^2=1$ , stemmer
$n=2$ : sum $1+3=4$ , $2^2=4$ , stemmer
$n=3$ : sum $1+3+5=9$ , $3^2=9$ , stemmer
mønsteret fortsetter for $n=4$ og $n=5$
svaret er påstanden stemmer for alle testede n fra 1 til 5.

Sjekke summen av oddetall mot n²
n	Sum av oddetall	n²	Stemmer?
1	1	1	Ja
2	1+3=4	4	Ja
3	1+3+5=9	9	Ja
4	1+3+5+7=16	16	Ja
5	1+3+5+7+9=25	25	Ja

Alternativ forklaring/metode: Vis sammenhengen med et algebraisk bevis

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Bevise sammenhengen algebraisk i stedet

Kode viser at påstanden stemmer for de testede verdiene, men et ALGEBRAISK bevis (som area-argumentet for trekanttall i monster-og-generalisering/9) viser at den stemmer for ALLE $n$ , uten unntak: kode og algebraisk bevis utfyller hverandre: koden gir rask, konkret bekreftelse, beviset gir fullstendig sikkerhet.

Metode	Gir
Kode (testede verdier)	rask, konkret bekreftelse
Algebraisk bevis (alle n)	fullstendig sikkerhet

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Sjekk om summen av de 2 første oddetallene (1, 3) er lik 2².

Vis fasit

1+3=4, og 2²=4
ja, stemmer

n	Verdi
1+3	4
2²	4
Konklusjon	Ja, stemmer

L-32Sjekk om summen av de 3 første oddetallene (1, 3, 5) er lik 3².

Vis fasit

1+3+5=9, og 3²=9
ja, stemmer

n	Verdi
1+3+5	9
3²	9
Konklusjon	Ja, stemmer

L-33Hva kalles det når en kode tester en påstand på mange tilfeller, men ikke beviser den for absolutt alle tall?

Vis fasit

Testing av mange tilfeller styrker troen på påstanden
men det er ikke det samme som et fullstendig matematisk bevis

n	Verdi
Testing av mange tilfeller	styrker troen
Fullstendig bevis	noe annet enn testing

Middels(3)

M-31Sjekk om summen av de 4 første trekanttallene (1, 3, 6, 10) er delelig med 4.

Vis fasit

1+3+6+10=20, og 20:4=5 uten rest
ja, delelig med 4

n	Verdi
1+3+6+10	20
20 : 4	5, delelig med 4

M-32En elev sjekker påstanden «n² + n + 1 er alltid et oddetall» for n=1,2,3 og finner 3, 7, 13. Alle oddetall. Er dette et fullstendig bevis?

Vis fasit

3 stemmende eksempler (n=1,2,3) styrker påstanden, men dekker ikke alle mulige n
nei, ikke et fullstendig bevis

n	Verdi
n=1,2,3	3, 7, 13 (alle oddetall)
Konklusjon	Nei, ikke fullstendig bevis

M-33Sjekk om $n^2 - n$ alltid er et partall for n=1,2,3,4 (regn ut alle fire verdiene).

Vis fasit

n=1: 1-1=0. n=2: 4-2=2. n=3: 9-3=6. n=4: 16-4=12
alle er partall

n	Verdi
n=1	0
n=2	2
n=3	6
n=4	12, alle partall

Vanskelig(3)

V-31Skriv pseudokode (i samme stil som i eksempelet) som sjekker om påstanden «summen av tre påfølgende hele tall er delelig med 3» stemmer for tallene som starter på 1, 2, 3, 4 og 5.

Vis fasit

Løkken må teste hvert starttall s, regne summen av s, s+1, s+2, og sjekke restedeling på 3
gjenta for hvert starttall: sjekk om summen er delelig med 3

n	Verdi
Starttall	1, 2, 3, 4, 5
Pseudokode	sjekk om s+(s+1)+(s+2) er delelig med 3

V-32Bruk pytagoreiske tripler til å sjekke koden fra pytagoras-setningen/9: for hvert par (a, b) = (3,4), (6,8), (5,12), er

\sqrt{a^2+b^2}

alltid et helt tall?

Vis fasit

3,4
$\sqrt{25}$ =5. 6,8
$\sqrt{100}$ =10. 5,12
$\sqrt{169}$ =13
ja, alle gir hele tall

Par	Verdi
(3,4)	kvadratroten av 25 = 5
(6,8)	kvadratroten av 100 = 10
(5,12)	kvadratroten av 169 = 13

V-33Forklar hvorfor det å teste en påstand med kode for n fra 1 til 1 000 gir sterkere støtte enn å teste for n fra 1 til 5, men fortsatt ikke er et fullstendig matematisk bevis.

Vis fasit

1 000 tester dekker langt flere tilfeller enn 5, men det finnes fortsatt uendelig mange tall som IKKE er testet
flere tester styrker påstanden, men beviser den ikke fullstendig

n	Verdi
1 000 tester	sterkere støtte
Fortsatt utestet	uendelig mange tall, ikke fullstendig bevis