NumiSum

Tallmengdene N, Z, Q og R

Tall deles inn i mengder etter hva slags tall det er. De naturlige tallene N\mathbb{N} er telletallene 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots (noen lærebøker tar også med 00). Legger vi til null og de negative tallene, får vi heltallene Z\mathbb{Z}. Alle tall som kan skrives som en brøk ab\frac{a}{b} med heltall aa og b≠0b \neq 0, kalles rasjonale tall, Q\mathbb{Q}. Et rasjonalt tall har en desimalutvikling som enten stopper (14=0,25\frac{1}{4} = 0{,}25) eller gjentar seg (13=0,333…\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots). Tall som IKKE kan skrives som en brøk, som 2\sqrt{2} og π\pi, kalles irrasjonale: desimalene fortsetter uten slutt og uten mønster. Rasjonale og irrasjonale tall sammen utgjør de reelle tallene R\mathbb{R}, altså alle punktene på tallinja.

Tallmengdene, fra minst til størst

N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Rasjonalt tall

ab,a,b∈Z,  b≠0\frac{a}{b}, \quad a, b \in \mathbb{Z}, \; b \neq 0

Tips

  • Hvert tall hører til flere mengder samtidig: 55 er et naturlig tall, men også et heltall, et rasjonalt tall og et reelt tall. Spør deg selv: «hva er den minste mengden tallet hører til?»
  • 16=4\sqrt{16} = 4 er IKKE irrasjonalt, for 44 er et helt tall. Bare røtter som ikke går opp, som 2\sqrt{2} og 20\sqrt{20}, er irrasjonale.
  • Kalkulatoren viser bare noen siffer av π\pi og 2\sqrt{2}. Avrundingen 1,4141{,}414 er rasjonal, men 2\sqrt{2} selv er det ikke.

Eksempel: Plassere tall i mengdene

Hvilke av tallmengdene N\mathbb{N}, Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q} og R\mathbb{R} hører tallene 55, −3-3, 23\frac{2}{3}, 0,250{,}25 og 2\sqrt{2} til?

Løsning:
  1. 55 er et telletall, så det hører til N\mathbb{N} og dermed også til Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q} og R\mathbb{R}
  2. −3-3 er et helt tall, men ikke et telletall, så det hører til Z\mathbb{Z}, Q\mathbb{Q} og R\mathbb{R}
  3. 23\frac{2}{3} er en brøk av heltall, men ikke selv et helt tall, så det hører til Q\mathbb{Q} og R\mathbb{R}
  4. 0,25=140{,}25 = \frac{1}{4} er også en brøk av heltall, så det hører til Q\mathbb{Q} og R\mathbb{R}
  5. 2\sqrt{2} kan ikke skrives som en brøk, så det hører bare til R\mathbb{R}. Svaret er at 2\sqrt{2} er det eneste irrasjonale tallet.
Hvilke mengder hører tallet til?
TallN\mathbb{N}Z\mathbb{Z}Q\mathbb{Q}R\mathbb{R}
55✓✓✓✓
−3-3–✓✓✓
23\frac{2}{3}––✓✓
0,250{,}25––✓✓
2\sqrt{2}–––✓
Alternativ forklaring/metode: Fra gjentakende desimaler til brøk

Tilleggsinformasjon – ikke pensum på dette nivået

Standard lærebokmetode

Forutsetninger:

  • Ikke eget kompetansemål i 1T. Bruker likninger med én ukjent fra tidligere trinn.

Dette er en forhåndsvisning som viser HVORFOR et tall med gjentakende desimaler er rasjonalt. La x=0,333…x = 0{,}333\ldots → gang med 1010: 10x=3,333…10x = 3{,}333\ldots → trekk fra xx: 9x=39x = 3 → x=39=13x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}. Siden vi fikk en brøk av heltall, er 0,333…0{,}333\ldots et rasjonalt tall.

Utregningen steg for steg
LikningVerdi
xx0,333…0{,}333\ldots
10x10x3,333…3{,}333\ldots
10x−x=9x10x - x = 9x33

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Er −7-7 et naturlig tall?

Vis fasit
  1. −7-7 er negativt
  2. telletallene er 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots
  3. nei, −7-7 er et heltall, men ikke et naturlig tall

L-12Hvilken tallmengde er den minste som inneholder 34\frac{3}{4}?

Vis fasit
  1. 34\frac{3}{4} er en brøk av heltall
  2. ikke et helt tall
  3. Q\mathbb{Q}

L-13Hvor mange av tallene 33, −2-2, 77 og 0,50{,}5 er naturlige tall?

Vis fasit
  1. 33 og 77 er telletall
  2. −2-2 er negativt og 0,50{,}5 er ikke helt
  3. 2
Middels(3)

M-11Er 16\sqrt{16} et rasjonalt tall?

Vis fasit
  1. 4⋅4=164 \cdot 4 = 16
  2. 16=4\sqrt{16} = 4 er et helt tall
  3. rasjonalt

M-12Hvilket av disse tallene er irrasjonalt?

Vis fasit
  1. 25=5\sqrt{25} = 5 og 0,125=180{,}125 = \frac{1}{8} og 79\frac{7}{9} er brøker
  2. 2020 er ikke et kvadrattall (42=164^2 = 16 og 52=255^2 = 25)
  3. 20\sqrt{20}

M-13Skriv 0,60{,}6 som en brøk i enklest mulig form.

Vis fasit
  1. 0,6=6100{,}6 = \frac{6}{10}
  2. forkort med 22
  3. 35\frac{3}{5}
Vanskelig(3)

V-11Er summen 2+(−2)\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) et rasjonalt tall?

Vis fasit
  1. 2+(−2)=0\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0
  2. 0=010 = \frac{0}{1} er en brøk av heltall
  3. ja, summen er rasjonal

V-12Hvilken påstand er riktig?

Vis fasit
  1. Et heltall nn kan skrives n1\frac{n}{1}
  2. en brøk av heltall
  3. alle heltall er rasjonale tall

V-13Hvilket av tallene har en desimalutvikling som aldri stopper, men er likevel rasjonalt?

Vis fasit
  1. 23=0,666…\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots gjentar seg
  2. 34=0,75\frac{3}{4} = 0{,}75 stopper
  3. 3\sqrt{3} og π\pi er irrasjonale
  4. 23\frac{2}{3}