NumiSum

Mengder og listeform

En mengde er en samling av ting som kalles elementer. I listeform skriver vi elementene mellom krøllparenteser: A={2,4,6,8}A = \{2, 4, 6, 8\}. Rekkefølgen spiller ingen rolle, og hvert element teller bare én gang. Vi skriver 4∈A4 \in A («4 er element i AA») og 5∉A5 \notin A («5 er ikke element i AA»). Mengden uten elementer kalles den tomme mengden, ∅\emptyset. Er alle elementene i BB også med i AA, er BB en delmengde av AA, skrevet B⊂AB \subset A. To mengder kan også settes sammen: snittet A∩BA \cap B inneholder elementene som er med i begge, og unionen A∪BA \cup B inneholder elementene som er med i minst én av dem.

Element og ikke element

4∈A,5∉A4 \in A, \quad 5 \notin A

Delmengde

B⊂AB \subset A

Snitt og union

A∩B,A∪BA \cap B, \quad A \cup B

Tips

  • {1,2,2,3}\{1, 2, 2, 3\} er den samme mengden som {1,2,3}\{1, 2, 3\}: hvert element teller bare én gang, og rekkefølgen spiller ingen rolle.
  • Snitt betyr «og» (bare det som er med i begge), union betyr «eller» (alt som er med i minst én). Det er det samme «og» og «eller» som når du løser ulikheter.

Eksempel: Snitt og union

La A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} og B={4,5,6,7}B = \{4, 5, 6, 7\}. Finn A∩BA \cap B og A∪BA \cup B.

Løsning:
  1. A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\} og B={4,5,6,7}B = \{4, 5, 6, 7\}
  2. snittet er tallene som er med i BÅDE AA og BB
  3. 44 og 55
  4. unionen er tallene som er med i minst én av mengdene, men hvert tall skrives bare én gang
  5. 1,2,3,4,5,6,71, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Svaret er A∩B={4,5}A \cap B = \{4, 5\} og A∪B={1,2,3,4,5,6,7}A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}.
Hvor hører hvert tall hjemme?
TallI AAI BBI snittetI unionen
11✓––✓
22✓––✓
33✓––✓
44✓✓✓✓
55✓✓✓✓
66–✓–✓
77–✓–✓

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21La A={2,4,6,8}A = \{2, 4, 6, 8\}. Er 6∈A6 \in A?

Vis fasit
  1. A={2,4,6,8}A = \{2, 4, 6, 8\}
  2. 66 står i listen
  3. ja, 6∈A6 \in A

L-22Hvor mange elementer har mengden {1,2,2,3,3,3}\{1, 2, 2, 3, 3, 3\}?

Vis fasit
  1. {1,2,2,3,3,3}\{1, 2, 2, 3, 3, 3\}
  2. hvert element teller bare én gang
  3. elementene er 11, 22 og 33
  4. 3

L-23Hvilken mengde inneholder alle partall mellom 11 og 99?

Vis fasit
  1. Partall mellom 11 og 99
  2. 2,4,6,82, 4, 6, 8
  3. {2,4,6,8}\{2, 4, 6, 8\}
Middels(3)

M-21La A={1,3,5,7}A = \{1, 3, 5, 7\} og B={3,4,5,6}B = \{3, 4, 5, 6\}. Finn A∩BA \cap B.

Vis fasit
  1. A={1,3,5,7}A = \{1, 3, 5, 7\} og B={3,4,5,6}B = \{3, 4, 5, 6\}
  2. snittet er det som er med i begge
  3. 33 og 55 står i både AA og BB
  4. {3,5}\{3, 5\}

M-22La A={1,3,5,7}A = \{1, 3, 5, 7\} og B={3,4,5,6}B = \{3, 4, 5, 6\}. Finn A∪BA \cup B.

Vis fasit
  1. A={1,3,5,7}A = \{1, 3, 5, 7\} og B={3,4,5,6}B = \{3, 4, 5, 6\}
  2. unionen er alt som er med i minst én mengde
  3. hvert tall skrives bare én gang
  4. {1,3,4,5,6,7}\{1, 3, 4, 5, 6, 7\}

M-23Hvor mange elementer har unionen A∪BA \cup B når A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} og B={3,4}B = \{3, 4\}?

Vis fasit
  1. A∪B={1,2,3,4}A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}
  2. 33 er med i begge, men teller bare én gang
  3. 4
Vanskelig(3)

V-21Hvilken påstand om tallmengdene er riktig?

Vis fasit
  1. Alle naturlige tall er også heltall
  2. N\mathbb{N} er en delmengde av Z\mathbb{Z}
  3. N⊂Z\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}

V-22La A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}. Hvor mange delmengder av AA har nøyaktig to elementer?

Vis fasit
  1. Skriv dem opp: {1,2}\{1, 2\}, {1,3}\{1, 3\}, {1,4}\{1, 4\}, {2,3}\{2, 3\}, {2,4}\{2, 4\}, {3,4}\{3, 4\}
  2. 6

V-23Hva er snittet A∩BA \cap B når A={1,2}A = \{1, 2\} og B={3,4}B = \{3, 4\}?

Vis fasit
  1. A={1,2}A = \{1, 2\} og B={3,4}B = \{3, 4\} har ingen felles elementer
  2. snittet har ingen elementer
  3. ∅\emptyset, den tomme mengden